《电动力学》课程教学资源（课件讲稿）0.1 数学预备知识

数学预备知识矢量代数散度、旋度、梯度曲线坐标系中的矢量微分公式

数学预备知识 ⚫矢量代数 ⚫散度、旋度、梯度 ⚫曲线坐标系中的矢量微分公式

一、矢量代数标量、矢量1.标积：A.B= ABcosα2.矢积：A×B=CC= ABsinα方向：右手螺旋mA3.数乘：4.混合积：C.(A×B)= A.(B×C)= B.(C× A)5.三矢量矢积：C×(A× B) =(C.B)A-(C. A)B

一、矢量代数 1.标积： 2.矢积： 3.数乘： 4.混合积： 5.三矢量矢积： A B AB  = cos A B C  = C AB = sin 方向：右手螺旋 mAC A B A B C B C A   =   =   ( ) ( ) ( ) C A B C B A C A B   =  −  ( ) ( ) ( ) 标量、矢量

二、散度、旋度、梯度若在一个空间区域中，某物理系统的状态可以用一个空间位置和时间的函数来描述，即每一时刻在区域中每一点它都有一个确定值，则在该区域中确定了该物理系统的一个场。如：压力场、速度场、温度场、密度场等。若所研究的物理量是标量，即为标量场；若是矢量，则为矢量场。若该物理量与时间无关，称为静态场：否则为时变场。标量场P(x, y,z,t) =p(x,t)矢量场A(x, y,z,t) = A(x,t)

二、散度、旋度、梯度 ( , , , ) ( , ) ( , , , ) ( , ) x y z t x t A x y z t A x t   =   = 标量场 矢量场 若在一个空间区域中，某物理系统的状态可以用一个 空间位置和时间的函数来描述，即每一时刻在区域中每一 点它都有一个确定值，则在该区域中确定了该物理系统的 一个场。 如：压力场、速度场、温度场、密度场等。 若所研究的物理量是标量，即为标量场；若是矢量， 则为矢量场。 若该物理量与时间无关，称为静态场；否则为时变场

二、散度、旋度、梯度1.矢量场的散度通量：Φ=A.dsS闭合面通量的意义：标量源散度：b A.dsSdivA = lim△V△V-→>0散度的意义：表示体积入V所在点单位体积的通量即通量密度

二、散度、旋度、梯度 １.矢量场的散度 通量： 闭合面通量的意义：标量源 散度： 散度的意义： 表示体积 所在点单位体积的通量即通量密度。 S  =  A dS  0 lim S V A ds divA  → V  =    V

二、散度、旋度、梯度2.矢量场的旋度I =Φ A(r).dl环流：环流意义：若矢量场环流不为零，则回路所围面积中存在产生量场的矢量源旋度：d, A.di(rotA), = limASAS->0旋度的意义：△S所在点沿n方向单位面积的环流

２.矢量场的旋度 环流： 环流意义：若矢量场环流不为零，则回路所围面积 中存在产生矢量场的矢量源。 旋度： 旋度的意义： 所在点沿 方向单位面积的环流。 ( ) l  =  A r dl  0 ( ) lim L n S A dl rotA  → S  =   S 二、散度、旋度、梯度 n

二、散度、旋度、梯度3.标量场的梯度在标量场中，从一点出发有无穷多个方向。一般说来，标量场在同一点沿不同方向的变化率是不同的，在某个方向上，变化率最大。标量场在某点的梯度是一个矢量，其方向沿该点处变化率最大的方向，大小等于最大变化率，记为：aegradp三al

３.标量场的梯度 l grad e l    =  二、散度、旋度、梯度 在标量场中，从一点出发有无穷多个方向。一般说 来，标量场在同一点沿不同方向的变化率是不同的，在 某个方向上，变化率最大。标量场在某点的梯度是一个 矢量，其方向沿该点处变化率最大的方向，大小等于最 大变化率，记为：

二、散度、旋度、梯度4.哈密顿算符：直角坐标系中：aaaeVee十+-x1axQzay散度旋度梯度rotA= V× Agradp = VdivA= V.A

４.哈密顿算符： 直角坐标系中： 散度 旋度 梯度 x y z e e e x y z     = + +    divA A =   rotA A =  grad  =  二、散度、旋度、梯度

散度、旋度、梯度二、青aaa直角坐标系中：VeQOyazOx散度aAaaaOA.aAV.A=-Xfe+ée0+OzayOzoyaxax旋度etrerte"aA,A,aaAaaQAaAaA.2.V×A:e+é+é.=ayOzaxayOzaxOzaxayAAA梯度apapapeeayOzax

直角坐标系中： 散度 旋度 梯度 x y z e e e x y z     = + +    二、散度、旋度、梯度 ( ) x y z x y z x x y y z z A A A A e e e e A e A e A x y z x y z          = + +  + + = + +           x y z x y z e e e A x y z A A A     =    z z y y x x x y z A A A A A A eee y z z x x y             = − + − + −                   x y z e e e x y z         = + +   

二、散度、旋度、梯度5.相关定理及运算公式①高斯定理f,A.ds = .V. Adv②斯托克斯定理d, A.di = (.(V× A).ds

５.相关定理及运算公式 ①高斯定理 ②斯托克斯定理 S V A ds AdV  =     ( L S   A dl A ds  =   ） 二、散度、旋度、梯度

二、散度、旋度、梯度5.相关定理及运算公式③标量场的梯度必为无旋场。×V=0无旋场必可表示为标量场的梯度。若V×A=0则可令A=④矢量场的旋度必为无散场。√·(V×A）=(无散场必可表示为矢量场的旋度，若·A=0则可令A=V×B

５.相关定理及运算公式 ③标量场的梯度必为无旋场。 无旋场必可表示为标量场的梯度。 若 则可令 ④矢量场的旋度必为无散场。 无散场必可表示为矢量场的旋度。 若 则可令    =  0   = A 0 A =       = ( ) 0 A   = A 0 A B =   二、散度、旋度、梯度