沈阳师范大学：《电动力学》课程教学资源（教案）第四章 电磁波的传播

第四章电磁波的传播随时间变化的运动电荷和电流辐射电磁场，电磁场在空间互相激发，在空间以波动的形式存在，这就是电磁波。传播问题是指研究电磁场在空间存在一定介质和导体的情况下的波动情况。在真空与介质、介质与介质、介质与导体的分界面上电磁波会产生反射、折射、衍射和衰减等，这些问题本质上是边值问题。电磁波传播问题在无线电通讯、光信息处理、微波技术、雷达和激光等领域都起着重要的作用。s4.1平面电磁波教学目标：1.理解电磁场波动方程，深刻理解平面电磁波特性；2.会推导时谐波满足的麦克斯韦方程、亥姆霍兹方程，能够依据平面电磁波性质分析实际平面电磁波；3.能够用时变电磁场理论解释电磁场的波动性；4.了解时变电磁场在实际应用中的重要意义。课程思政：激发爱国情怀，民族自信心，自豪感，认识电磁波技术在社会生产生活中应用广泛而重要，学习应用电磁波理论为社会发展贡献力量。教学时长：2学时教学重点：波动方程，时谐波麦克斯韦方程，亥姆霍兹方程，平面电磁波的特性

第四章 电磁波的传播 随时间变化的运动电荷和电流辐射电磁场，电磁场在空间互相 激发，在空间以波动的形式存在，这就是电磁波。 传播问题是指研究电磁场在空间存在一定介质和导体的情况下 的波动情况。在真空与介质、介质与介质、介质与导体的分界面上， 电磁波会产生反射、折射、衍射和衰减等，这些问题本质上是边值 问题。 电磁波传播问题在无线电通讯、光信息处理、微波技术、雷达 和激光等领域都起着重要的作用。 §4.1 平面电磁波 教学目标： 1.理解电磁场波动方程，深刻理解平面电磁波特性； 2.会推导时谐波满足的麦克斯韦方程、亥姆霍兹方程，能够依据 平面电磁波性质分析实际平面电磁波； 3.能够用时变电磁场理论解释电磁场的波动性； 4.了解时变电磁场在实际应用中的重要意义。 课程思政：激发爱国情怀，民族自信心，自豪感，认识电磁波技术在 社会生产生活中应用广泛而重要，学习应用电磁波理论为社会发展贡 献力量。 教学时长：2学时 教学重点：波动方程，时谐波麦克斯韦方程，亥姆霍兹方程，平面电 磁波的特性

教学难点：时谐波麦克斯韦方程、亥姆霍兹方程。教学方法：讲授法、讨论法、演示法。教学内容：电磁波在空间传播有各种各样的形式，最简单、最基本的波型是平面电磁波。一、电磁场的波动方程1.自由空间电磁场的基本方程自由空间指p=0，j=0的空间，麦氏方程为VxE--OBatVxH-ODatV.D=0V.B=02．真空中的波动方程真空中，D=SE，B=μH，故x(×)-v(v.E)-=-(×B)--M0%(×)atata?Da?E=-μo ar?2=-0oarVE-1E1(其中c=-=0?at?Vcollo同理可推：VB-10B-0c? at?3.介质的色散对均匀各向同性介质，=()，μ=μ()的现象称为介质的色

教学难点：时谐波麦克斯韦方程、亥姆霍兹方程。 教学方法：讲授法、讨论法、演示法。 教学内容： 电磁波在空间传播有各种各样的形式，最简单、最基本的波型 是平面电磁波。 一、电磁场的波动方程 1．自由空间电磁场的基本方程 自由空间指  = 0， J = 0  的空间，麦氏方程为            =   =     =     = − 0 0 B D t D H t B E       2．真空中的波动方程 真空中，D E   0 =  ，B H   = 0 ，故 ( ) ( ) ( ) ( H ) t B t E E E          = −     =    −  = − 0 2  2 2 2 0 0 2 0 t E t D   = −   = −      0 1 2 2 2 2 =    − t E c E   （其中 0 0 1   c = ） 同理可推： 0 1 2 2 2 2 =    − t B c B   3．介质的色散 对均匀各向同性介质， =  ()， = () 的现象称为介质的色

散。电磁波动在介质中时一般频率成分不是单一的，可能含有各种成分。一般情况下，对于一种成分D(0)=(0)E(0) ,B(0)= μ(0)H(0)成立；但是若具有各种成分的波，则：D(x,t)E(,t) ,B(X,t)μH(,t)。实际上具有各种成分的电磁波可以写为：E(,t)-E(o)be-ion do D(,)=D(o)e-ion do其中D(o)、E(o)是电磁场量在频率域中的表示形式。由此可知，由于D+&以及Bu，而不能将真空中的波动方程简单地用：代u代u.转化为介质中的波动方程。4.时谐波（又称定态波）及其波动方程定态波是指以单一频率の做正弦（或余弦）振荡的电磁波（又称为单色波或者时谐电磁波）。这种波的空间分布与时间t无关，时间部分可以表示为e-ior(=cosot-isinot)，因此有以下关系成立：E(,1)=E(x)e-iou B(x,1)= B()e-ion ;D(,t)= D()e-iα,H(,1)=H(x)e-o。在这种情况下，由于是单一频率的波，则D=E、B=μ成立。介质中波动方程为[2E-2%-0-2at2v(0)V2B-102BVs=0120t2

散。 电磁波动在介质中时一般频率成分不是单一的，可能含有各 种成分。一般情况下，对于一种成分： D()  ()E()   = ， B() ()H()   = 成立；但是若具有各种成分的波，则： D(x,t) E(x,t)       ， B(x,t) H(x,t)       。 实际上具有各种成分的电磁波可以写为： ( ) ()   E x t E e d −i t  =    , ( ) ()   D x t D e d −i t  =    , 其中 D()  、E()  是电磁场量在频率域中的表示形式。由此可知， 由于 D E     以及 B H     ，而不能将真空中的波动方程简单地用  代 0  、  代  0 转化为介质中的波动方程。 4．时谐波（又称定态波）及其波动方程 定态波是指以单一频率  做正弦（或余弦）振荡的电磁波（又称 为单色波或者时谐电磁波）。这种波的空间分布与时间 t 无关，时间部 分可以表示为 e ( t i t) i t    = cos − sin − ，因此有以下关系成立： ( ) ( ) i t E x t E x e −  =     , ， ( ) ( ) i t B x t B x e −  =     , ； ( ) ( ) i t D x t D x e −  =     , ， ( ) ( ) i t H x t H x e −  =     , 。 在这种情况下，由于是单一频率的波，则 D E   =  、B H   =  成立。 介质中波动方程为        =    − =    − 0 1 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 t B v B t E v E     1 v v( )   = =

二、时谐波的亥姆霍兹方程对时谐波-(-io);()=-ioB=-io,at所以VxE=ioB=ioH,iV×E)。B=-=V×E（或者H=-0ou又因为aD=-ioD,at由VxH=-ioD=-i0sE可得E-ivxH00由于V×(V×E)= V(V. E)- V?E = -V?E(aB)= iOxH=o,-Vxat令==o，则V?E+k?E=0B=--VxE0称为定态波的亥姆霍兹方程（其中k称为波矢量）。同理，可以导出另外一组方程v?B+kB=0LVxBE=-oe

二、时谐波的亥姆霍兹方程 对时谐波 ( i e )B(x) i B i H t B i t          = − = − = −   − ， 所以 E i B i H     =  =  ， E i B   = −   （或者 i H E  = −   ）。 又因为 i D t D   = −    ， 由 H i D i E     = −  = −  ， 可得 H i E   =   由于     ( E) ( ) 2 2 =    −  = − E E E B i H t     = −  =        E    2 = ， 令    = = v k ， 则     = −   + = E i B E k E      0 2 2 称为定态波的亥姆霍兹方程（其中 k 称为波矢量）。 同理，可以导出另外一组方程     =   + = B i E B k B      0 2 2

三、平面电磁波亥姆霍兹方程有多种解：平面波解，球面波解，高斯波解等。其中最简单、最基本的形式为平面波解。研究平面波解的意义：①简单、直观、物理意义明显；②一般形式的波都可以视为不同频率平面波的迭加。1.平面波解的形式由亥姆霍兹方程可得平面波解的形式：E(,) = Exe(2-a),B(x,1) = Be(kx-a)2．平面电磁波的传播特性（1）波的传播方向平面波：波前或等相面为平面，且波沿等相面法线方向传播。（2）波长与周期波长：元=2元k（3）横波：k.E=k.B=0V.E=(v.E)- +(ve)E =ik.Bge = 0所以k·E=0。同理可得k.B=0。B=ExE（4）B与E的关系：BQ证明：

三、平面电磁波 亥姆霍兹方程有多种解：平面波解，球面波解，高斯波解等。其 中最简单、最基本的形式为平面波解。 研究平面波解的意义： ①简单、直观、物理意义明显； ②一般形式的波都可以视为不同频率平面波的迭加。 1．平面波解的形式 由亥姆霍兹方程可得平面波解的形式： ( ) ( ) 0 , i k x t E x t E e  − = ， ( ) ( ) 0 , i k x t B x t B e  − = 2．平面电磁波的传播特性 （1）波的传播方向 平面波：波前或等相面为平面，且波沿等相面法线方向传播。 （2）波长与周期波长： k   2 = （3）横波： k  E = k  B = 0       = (  0 ) + ( ) 0 =  0 = 0 ik x ik x ik x E E e e E ik E e            所以 k  E = 0   。 同理可得 k  B = 0   。 （4） B  与 E  的关系： E k B    =   证明：

kB---VxE--iVxE,ek =--(veiks)E000（5）波形图：假定在某一时刻（t=t。），取E,B的实部。均匀平面电磁波特性：a)EIB，(,B,)构成右手螺旋关系(.B=E.(kxE)00b）B与E同位相；c)=?=v，振幅比为波速（因为,B,斥相互垂直，B=kE)。B-k04.平面电磁波的能量和能流能量密度：W=I(E.D+H.B)-sE?+= B?2L1’E?_B?B2因为E所以εE?=即电场能等于磁场=V:BeVeu1能,W=SE"_ Bu能流密度：S=ExH=von（n为k方向上的单位矢量）W= SE? = SE°cos (k.x - Ot),其平均值为w=1eE*;2S=VEn=VSEcos(k.X-oth平均值为EE'n-IRe(E"xH)-2Vμ2[例1]有一平面电磁波，其电场强度为E(,1)=100元,e(2m0~:-2a0)

( ) E k e E i E e i E i B ik x ik x               = −  = −  = −   =   0 0 （5）波形图：假定在某一时刻（ 0 t = t ），取 E B   , 的实部。 均匀平面电磁波特性： a) E B   ⊥ ，(E B k )    , , 构成右手螺旋关系 ( )       =   =  0  k E E B E      ； b) B  与 E  同位相； c) v B k E = =  ，振幅比为波速（因为 E B k    , , 相互垂直， E k B  = ）。 4．平面电磁波的能量和能流 能量密度： ( )         =  +  = + 2 1 2 2 1 2 1 w E D H B E B       因为  1 = v = B E ，  2 2 B E = ，所以   2 2 B E = ，即电场能等于磁场 能，   2 2 B w = E = 。 能流密度： S E H v n     =  =  （ n  为 k  方向上的单位矢量） w = E = E (k  x −t)  2 2 0 2 cos ， 其平均值为 2 0 2 1 w = E ； S v E n v E (k x t)n      =  =   − 2 2 0 2 cos ， 平均值为 S (E H ) E n     2 0 2 1 Re 2 1   =  =  [例 1]有一平面电磁波，其电场强度为 ( ) ( ) 2 6 2 10 2 10 , 100 i z t E x t e ex    −  −  =

（1）判断电场强度的方向和波传播的方向；（2）确定频率、波长和波速；（3）若介质的磁导率μ=4元×10-7（），求磁场强度（4）求在位时间内从一个与xy平面平行的单位面积通过的电磁场能量。解：（1）E沿x轴方向振荡，k.x=kz，k=2元×10-，沿z方向传播。（2）由0=2元×10°可得，频率 f==10(Hz),2元波长=2=10 (m),A~=10(m速V=波速k（3）由平面电磁波性质EB=μH ,=V，B=100元H=三，从而H。=2所以=2.54元×10-7×108ANH与E同位相同频率，与k垂直且与E垂直，故它在y轴方向。可得H = 2.5,e(2x10~-2ml0)（4）考虑同：单位时间垂直通过单位横向截面的能量，5=W= SE?_ B?=μH2=250元(J)。【例2]两个频率和振幅均相等的单色平面电磁波沿-轴传播，一个波沿x方向偏振，另一个沿y方向偏振，但其相位比前者超前元，求合成

（1）判断电场强度的方向和波传播的方向； （2）确定频率、波长和波速； （3）若介质的磁导率 7  4 10 ( ) − =  亨 米 ，求磁场强度； （4）求在位时间内从一个与 xy 平面平行的单位面积通过的电磁场能 量。 解：（1） E  沿 x 轴方向振荡， k  x = kz   ， 2 2 10− k =   ，沿 z 方向传播。 （2）由 6  = 2 10 可得， 频率 10 ( ) 2 6 f = = Hz   ， 波长 10 ( ) 2 2 m k = =   ， 波速 10 ( ) 8 s m k v = =  。 （3）由平面电磁波性质 v B E = ，B = H ， 所以 v E H  = ，从而 2.5 4 10 10 100 0 7 8 =   = −   H H  与 E  同位相同频率，与 k  垂直且与 E  垂直，故它在 y 轴方向。 可得 i( z t) y H e e 2 6 2 10 2 10 2.5  −  − =     （4）考虑 S  ：单位时间垂直通过单位横向截面的能量， S = vw  250 ( ) 2 2 2 H J B w E    =  = = = 。 [例 2]两个频率和振幅均相等的单色平面电磁波沿 z 轴传播，一个波沿 x 方向偏振，另一个沿 y 方向偏振，但其相位比前者超前 2  ，求合成

波的偏振。解：设两个电磁波分别为E, = Epe,e(k-an),E e, (-) - ela),合成波为E = E, + E, = Eo(e, +ie,)e(c-a)令复矢量E的实部也用E表示，即E = Re(E.(@e + ie,)cos(kz - ot)+ isin(kz - ot)= Eo[cos(kz - ot)e, - sin(k - ot)e,]其中e为x轴方向上的单位矢量。讨论≥=0平面上振动的合成：E(z=0)=E(cosote，+sinote,）E=Eoe,ot = 0,sE=EoéyE=-EoexOt = 元,ot=3元E=-Eoey-2可见の,=の=の，==同的平面波，沿轴比x轴波超前位相，合成左旋圆偏振波；反之，一个左旋圆偏振波可分解为两个相互垂直的线偏振波，且沿y轴波比×轴波相位超前"。教学过程设计：线上学习波动方程、亥姆霍兹方程、平面电磁波30分钟。课堂教学波动方程意义、亥姆霍兹方程和平面电磁波深入理解及应用60分钟。视学生掌握情况安排各种形式麦克斯韦方程、亥姆霍兹方程及其解、平面电磁波特性等问题讨论

波的偏振。 解：设两个电磁波分别为 i(kz t) x E E e e − =   1 0 ， i(kz t) y i kz t y E E e e iE e e    −       − + = =    0 2 2 0 合成波为 ( ) i(kz t) x y E E E E e ie e − = + = +      1 2 0 令复矢量 E  的实部也用 E  表示，即 E = ReE0 (ex + iey )cos(kz −t) + isin(kz −t)    [cos( ) sin( ) ] 0 x y E kz t e kz t e   = − − − 其中 x e  为 x 轴方向上的单位矢量。 讨论 z = 0 平面上振动的合成： ( 0) (cos sin ) 0 x y E z E te te    = =  +           = = − = = − = = = = y x y x t E E e t E E e t E E e t E E e         0 0 0 0 , 2 3 , , 2 0,        可见 1 = 2 =  ，E E E    1 = 2 = 的平面波，沿 y 轴比 x 轴波超前 2  位 相，合成左旋圆偏振波；反之，一个左旋圆偏振波可分解为两个相互 垂直的线偏振波，且沿 y 轴波比 x 轴波相位超前 2  。 教学过程设计：线上学习波动方程、亥姆霍兹方程、平面电磁波 30 分钟。课堂教学波动方程意义、亥姆霍兹方程和平面电磁波深入理解 及应用 60 分钟。视学生掌握情况安排各种形式麦克斯韦方程、亥姆 霍兹方程及其解、平面电磁波特性等问题讨论

课件设计：第一节平脑电脑波专.中a动g.-.)第四象电磁我的传括P-时器国池--F.E.0xt-5-4平面电P.J-.-E-Pxa-7.10-AP+R-A0-EB(E)(RCRITREP-t--tt.VAE.setEa70-0eP..hnaeI时动电话Ec3-anEEFE-PEOtoova.-.10ph-easEfETtieTTF+131.三，早色平面电脑减聘址288FellnstcoEUrE电寸元-0、Ft.tt-m)-w-9(2.5-8.8)-f-213.23nis-E1WE+EE工Ewk-1718020三，单热干面电话池(OEFER-8-88LEeE-n-2.-E-Ee121课后作业：推导磁感应强度表示的亥姆霍兹方程，推导平面电磁波特性。教学反思：1.由麦克斯韦方程入手，引导学生理解时变电磁场以波的形式存在和

课件设计： 课后作业：推导磁感应强度表示的亥姆霍兹方程，推导平面电磁波特 性。 教学反思： 1.由麦克斯韦方程入手，引导学生理解时变电磁场以波的形式存在和

运动变化；2.注意引导学生对时谐波的表示的物理意义解读：3.反复由理论推导深刻理解诸表达式的物理内涵；4.考虑到时变场的难度，切不可急于求成，适当举例引导学生理解分析各表达式

运动变化； 2.注意引导学生对时谐波的表示的物理意义解读； 3.反复由理论推导深刻理解诸表达式的物理内涵； 4.考虑到时变场的难度，切不可急于求成，适当举例引导学生理解分 析各表达式