频率域滤波·4.1背景· 4.22基本概念·4.3取样和取样函数的傅立叶变换·4.41单变量的离散傅立叶变换·4.5两个变量的扩展·4.65二维离散傅立叶变换的一些性质·4.7频率域滤波基础·4.8频率域滤波器平滑图像·4.9频率域滤波器锐化图像·4.10选择性滤波
• 4.1 背景 • 4.2 基本概念 • 4.3 取样和取样函数的傅立叶变换 • 4.4 单变量的离散傅立叶变换 • 4.5 两个变量的扩展 • 4.6 二维离散傅立叶变换的一些性质 • 4.7 频率域滤波基础 • 4.8 频率域滤波器平滑图像 • 4.9 频率域滤波器锐化图像 • 4.10 选择性滤波 频率域滤波
s4.8频域平滑滤波器基本思想图像的边缘和其它灰度变化剧烈的部分对应着频域的高频成分，所以可以通过减弱高频成分就可以实现图像的平滑（模糊）基本手段频域中低通滤波（频域相乘）傅里叶变滤波函数逆傅里叶G(u, V) = H(u,V)F(u,v)厂换变换H(u,v)G(u,v) =F(u,v)H(u,v)F(u,v)平滑的图像预处理后处理f1(x,y)=f(x,y) *(-1)*+)关键是H(u,)设计= 3-1[H(u, V)F(u, v)]增强后的图像f(x,y)g(x,y)
频域中低通滤波 (频域相乘) 平滑的图像 §4.8 频域平滑滤波器 基本思想 图像的边缘和其它灰度变化剧烈的部分对应着频域的高频成分，所以 可以通过减弱高频成分就可以实现图像的平滑(模糊) 基本手段 𝑮(𝒖, 𝒗ሻ = 𝑯(𝒖, 𝒗ሻ𝑭(𝒖, 𝒗ሻ = 𝕴 −𝟏 𝑯(𝒖, 𝒗ሻ𝑭(𝒖, 𝒗ሻ 关键是𝑯(𝒖, 𝒗ሻ设计
s4.8频域平滑滤波器频域低通滤波器H(u,V)的设计方法ff(n,eHMP·理想低通滤波器Dar)(Idea)低通滤波器H(a,e)巴特沃斯滤波器(Butterworth)D(a, w)H(u,e)高斯滤波器(Gaussian)(n.e)
频域低通滤波器𝑯(𝒖, 𝒗ሻ的设计方法 理想低通滤波器 (Idea) 巴特沃斯滤波器 (Butterworth) 高斯滤波器 (Gaussian) 低 通 滤 波 器 §4.8 频域平滑滤波器
$4.8.1理想低通滤波器(Ideal Lowpass Filters)理想低通滤波器传递函数方法：从高频处截断，只保留低频部分71/2if D(u, v) ≤ DoD(uH(u, v)Cif D(u, v) > DoH(u,v)H(u,o)截断频率(cut-offfrequency)D(u,v)D(u,v)是(u,v)到原点(0,0)的距离H(u,v)的幅频谱图H(u,v)的三维显示
方法:从高频处截断,只保留低频部分 理想低通滤波器传递函数 截断频率 (cut-off frequency) H(u,v)的三维显示 H(u,v)的幅频谱图 D(u,v)是(u,v)到原点(0,0)的距离 𝐻(𝑢, 𝑣ሻ = ቊ 1 𝑖𝑓𝐷(𝑢, 𝑣ሻ ≤ 𝐷0 0 𝑖𝑓𝐷(𝑢, 𝑣ሻ > 𝐷0 𝐷(𝑢, 𝑣ሻ = 𝑢 − 𝑀 2 2 + 𝑣 − 𝑁 2 2 1Τ2 §4.8.1理想低通滤波器 (Ideal Lowpass Filters)
$4.8.1理想低通滤波器(IdealLowpassFilters)如何选择截止频率D.？H(u,)if D(u,v) ≤ DoH(u,v)截断频率if D(u, v) > Do(cut-off frequency)D(u,v)用能量比α选择截止频率D。丢弃高频能量例如选取α=95%%。 2=0 1F(r,0)2图像区域能量低频能量所占比重：0× 100Dmax12元图像所有能量高频能量：1-αZ= IF(r,0)27
用能量比选择截止频率 D0 (丢弃高频能量) = 图像区域能量 图像所有能量 例如选取=95% 低频能量所占比重: 高频能量: §4.8.1理想低通滤波器 (Ideal Lowpass Filters) 如何选择截止频率 D0? 𝐻(𝑢, 𝑣ሻ = ቊ 1 𝑖𝑓𝐷(𝑢, 𝑣ሻ ≤ 𝐷0 0 𝑖𝑓𝐷(𝑢, 𝑣ሻ > 𝐷0 截断频率 (cut-off frequency) = 𝑟=0 𝐷0 𝜃=0 2𝜋 |𝐹(𝑟, 𝜃ሻ| 2 𝑟=0 𝐷max 𝜃=0 2𝜋 |𝐹(𝑟, 𝜃ሻ| 2 × 100 1 − 𝛼
$4.8.1理想低通滤波器(IdealLowpassFilters)举例：选取截止频率D.丢弃高频能量Z= F(r,0)2图像区域能量×100YDmax2=0 F(r,0)2图像所有能量H(u,v)92.0%Da94.6%96.4%98%aaaaaaaa99.5%
98% 92.0% r H u v ( , ) D0 94.6% D0 96.4% D0 99.5% D0 §4.8.1理想低通滤波器 (Ideal Lowpass Filters) 举例:选取截止频率D0丢弃高频能量 = 图像区域能量 图像所有能量 = 𝑟=0 𝐷0 𝜃=0 2𝜋 |𝐹(𝑟, 𝜃ሻ| 2 𝑟=0 𝐷max 𝜃=0 2𝜋 |𝐹(𝑟, 𝜃ሻ| 2 × 100
$4.8.1理想低通滤波器(IdealLowpassFilters)举例：选取截止频率D.丢弃高频能量aaaao-aaaaaaaaaaaaaaannaa1-99.2%=0.8%1-95.7%=4.3%1-93.1%=6.9%1-87%=13%-100%=0%振铃效应程度平滑程度平滑程度和振铃（环）效应的矛盾丢弃高频能量
1-100%=0% 1-93.1%=6.9% 丢弃高频能量 平滑程度 振铃效应程度 1-99.2%=0.8% 1-95.7%=4.3% 1-87%=13% 平滑程度和振铃(环)效应的矛盾 §4.8.1理想低通滤波器 (Ideal Lowpass Filters) 举例:选取截止频率D0丢弃高频能量
s4.8.1理想低通滤波器(Ideal Lowpass Filters理想低通滤波器特点Do半径内的频率分量无损通过圆外的频率分量被滤除若滤除的高频分量有大量的边缘信息，会导致图像边缘模糊在D。半径包含的范围内包含大部分能量，大部分尖锐细节信息存在于被去除的能量中被平滑的图像导致一种非常严重的振铃效果
§4.8.1理想低通滤波器 (Ideal Lowpass Filters) • 𝐷0 半径内的频率分量无损通过 • 圆外的频率分量被滤除 • 若滤除的高频分量有大量的边缘信息，会导致图像边缘模糊 • 在𝐷0 半径包含的范围内包含大部分能量，大部分尖锐细节信 息存在于被去除的能量中 • 被平滑的图像导致一种非常严重的振铃效果 理想低通滤波器特点
S4.8.1理想低通滤波器(IdealLowpassFilters.a..a为什么有振铃效应？观察H(u,V)的空域形式(PSF)可找到直观解释H(u,0)H(ueH(u,v)Frequency DomainD(u,w)Deh(x)A平滑作用h(x,y)Spatial DomainRinging振铃X
H(u,v) Frequency Domain Spatial Domain 平滑作用 Ringing 振铃 h(x) h(x,y) x y x §4.8.1理想低通滤波器 (Ideal Lowpass Filters) 为什么有振铃效应? 观察H(u,v)的空域形式(PSF)可找到直观解释
s4.8.1理想低通滤波器(IdealLowpassFilters.a..a为什么有振铃效应？观察H(u.V)的空域形式(PSF)可找到直观解释卷积滤波原始图像（黑色背景上有5个脉冲）滤波图像
原始图像(黑色背景上有5个脉冲) 滤波图像 卷积滤波 §4.8.1理想低通滤波器 (Ideal Lowpass Filters) 为什么有振铃效应? 观察H(u,v)的空域形式(PSF)可找到直观解释