频率域滤波·4.1背景·4.22基本概念·4.3取样和取样函数的傅立叶变换·4.4单变量的离散傅立叶变换·4.5两个变量的扩展·4.65二维离散傅立叶变换的一些性质·4.7频率域滤波基础·4.8频率域滤波器平滑图像·4.9频率域滤波器锐化图像·4.10选择性滤波
• 4.1 背景 • 4.2 基本概念 • 4.3 取样和取样函数的傅立叶变换 • 4.4 单变量的离散傅立叶变换 • 4.5 两个变量的扩展 • 4.6 二维离散傅立叶变换的一些性质 • 4.7 频率域滤波基础 • 4.8 频率域滤波器平滑图像 • 4.9 频率域滤波器锐化图像 • 4.10 选择性滤波 频率域滤波
s4.3取样和取样函数的傅立叶变换模拟信号与数字信号取样0.750(t0.6250.500量化量敦告0.375化信0.250AB模拟图像与oo0o0o00.125数字图像EZLUEOOo00O0.000时间aEEAE
§4.3 取样和取样函数的傅立叶变换 量 化 模拟信号与数字信号 取样 模拟图像与 数字图像
f()$4.3.1取样取样函数用以均匀间隔（△T)的冲击串代替，因此模拟取样的结果是用取样函数同连续函数相乘Sar(t)f(t) = f(t)Sar(t)24Z r(0)8(t - naT)f(osr(0)f(t)=f(t)Ssr(t)n=-8取样后的函数序列中的任意取样值f为=f(KAT)f(t)S(t-k△T)dt =f(k△T)fk =取样值o
取样函数用以均匀间隔( )的冲击串代替，因 此模拟取样的结果是用取样函数同连续函数相乘 §4.3.1 取样 T ( )= ( ) ( ) T f t f t S t 取样后的函数 序列中的任意取样值 f k 为 取样值
f(t)s4.3.2取样函数的傅立叶变换f(t) = f(t)ssr(t)Sar(t)F(μ) = 3(f(t)) = 3(f(t)Ssr(t)) =F(μu)★S(μ)-A0AT247F(μ) = F(μ)★S(μ)f(0)ssr()f(t)=f(t)Ssr(t)取样后的函数F(t)s(u-t)dt8801nZ冲激串的傅里叶变换F(u-ATΛT1nZZ-80n=SAT(t) =S(t - nAT)云SCus(μu)-ATn=-00n=-00
§4.3.2 取样函数的傅立叶变换 ൯ 𝒇෨(𝒕) = 𝒇(𝒕)𝒔𝜟𝑻(𝒕 𝑭෩(𝝁) = 𝕴{ ൟ 𝒇෨(𝒕) = 𝕴{𝒇(𝒕)𝒔 ሽ 𝜟𝑻(𝒕) =𝑭(𝝁)𝑺(𝝁) 𝑭෩(𝝁) = 𝑭(𝝁)𝑺(𝝁) = න −∞ ∞ 𝑭 𝝉 𝑺 𝝁 − 𝝉 𝒅𝝉 = 𝟏 ∆𝑻 𝒏=−∞ ∞ 𝑭(𝝁 − 𝒏 ∆𝑻 ) ( )= ( ) ( ) T f t f t S t 取样后的函数 𝒔∆𝑻 𝒕 = 𝒏=−∞ ∞ 𝜹(𝒕 − 𝒏∆𝑻) 𝑺 𝝁 = 𝟏 ∆𝑻 𝒏=−∞ ∞ 𝜹(𝝁 − 𝒏 ∆𝑻 ) 冲激串的傅里叶变换
81ns4.3.2取样函数的傅立叶变换ZF(μ)F(μATATn=-00f(t)F(μ)带限函数0f(0)/ssr(t)F(μ)f(t)-f(t)Ss(t)过取样取样后的函数1/A72/△T2/△T-1/AT0-24T-AT04724TF(u)F(μ)欠取样临界取样1/A72/A7-1/AT1/AT2/AT3/AT-2/AT1/AT03/△T-2/AT0
§4.3.2 取样函数的傅立叶变换 过取样 临界取样 欠取样 ( )= ( ) ( ) T f t f t S t 取样后的函数 带限函数 𝑭෩(𝝁) = 𝟏 ∆𝑻 𝒏=−∞ ∞ 𝑭(𝝁 − 𝒏 ∆𝑻 )
1/4T是取样函数的取样率。取样率必须足够S4.3.2取样函数的傅立叶变换高，才能使得不同周期之间有有效的间隔f(t)F(μ)带限函数0f(0)/ssr(t)F(μ)F(t)-f(t)S(t)过取样取样后的函数1/A72/△T2/△T-1/AT0-24T-AT04T24TF(u)F(μ)临界取样欠取样12/A7-1/AT1/AT2/AT3/AT-2/AT1/AT01/473/△T2/AT0
1/∆T是取样函数的取样率。取样率必须足够 高，才能使得不同周期之间有有效的间隔， §4.3.2 取样函数的傅立叶变换 过取样 临界取样 欠取样 ( )= ( ) ( ) T f t f t S t 取样后的函数 带限函数
$4.3.3取样定理如何给出适当条件，使得一个连续函数完全可由其取样集合来恢复？F(u)F(μu)μmaxμmax0-μmaxμmax101-1AT2AT2AT取样定理1max奈奎斯特准则取样率非常关键4T
如何给出适当条件，使得一个连续函数完全可由其取样集合来恢复? 取样率非常关键 1 ∆𝑇 > 2𝜇𝑚𝑎𝑥 取样定理 奈奎斯特准则 §4.3.3 取样定理
$4.3.3取样定理F(μ)·恢复/复原过程F(μ) = H(μ)F(μ)2/AT-1/AT01/△T2/AT8H(μ)F(μ)ej2μt dμf(t) =01ATf(t)必须是带限的，即必f()须从一80扩展到80F(μ)=H(μ)F(μ)限制一个函数的持续时间带限的会妨碍该函数的完美复原μmaxμmax0
• 恢复/复原过程 §4.3.3 取样定理 带限的 • 𝑓 𝑡 必须是带限的，即必 须从−∞扩展到∞ 𝒇 𝒕 = න −∞ ∞ 𝑭(𝝁)𝒆 𝒋𝟐𝝅𝝁𝒕𝒅𝝁 𝑭 𝝁 = 𝑯(𝝁)𝑭෩(𝝁) • 限制一个函数的持续时间 会妨碍该函数的完美复原
$4.3.4混淆频率混淆是由函数欠采样导致F(μ)混淆在所难免μmaxμmax实际中限制函数的时间，通过将持续时间限制在区间[0,T]内，f(t)h(t)03/A7-3/AT-2/AT-1/ATi1/AT2/AT1,0≤t≤Th(t)H(μ)O,othersf(t)h(t)的变换等于两个函数变换的卷AT积f(t)h(t)F(μ)★H(μ)F(μ) =H(μ)F(μ)无限扩展的频率分量max0μmax
第4章 第10页 混淆在所难免 𝑓 𝑡 ℎ 𝑡 ℎ 𝑡 = ቊ 1,0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 0, 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑠 𝑓 𝑡 ℎ 𝑡 的变换等于两个函数变换的卷 积 §4.3.4 混淆 频率混淆是由函数欠采样导致 𝑓(𝑡)ℎ 𝑡 𝐹 𝜇 𝐻(𝜇) 实际中限制函数的时间，通过将持续 时间限制在区间[0,T]内， 无限扩展的频率分量
$4.3.4混淆
§4.3.4 混淆