频率域滤波·4.1背景·4.22基本概念4.3取样和取样函数的傅立叶变换·4.4单变量的离散傅立叶变换·4.5两个变量的扩展·4.6二维离散傅立叶变换的一些性质·4.7频率域滤波基础·4.8频率域滤波器平滑图像·4.9频率域滤波器锐化图像·4.10选择性滤波
• 4.1 背景 • 4.2 基本概念 • 4.3 取样和取样函数的傅立叶变换 • 4.4 单变量的离散傅立叶变换 • 4.5 两个变量的扩展 • 4.6 二维离散傅立叶变换的一些性质 • 4.7 频率域滤波基础 • 4.8 频率域滤波器平滑图像 • 4.9 频率域滤波器锐化图像 • 4.10 选择性滤波 频率域滤波
f(t) = f(t)Sar(t)(DFT)s4.4单变量的离散傅立叶变换Zf(t)(t -nAT)取样后的函数f（t）的傅里叶变换：n=-000O1n>F(u) = F(μ) ★S(μ) =F(t))dtF(t)s(u - t)dt s(u-T4TATX00n=-0000(0)ssr(0)1nZF(μATATn=-00由傅里叶变换定义得2AT-AT0AT2A700F(μ)Tf(t)e-2jinμt dtF(u) =f(t)8(t-n△T)e-2jnutdt00-77.=0Z1/A72/471/△T2/μ7f(t)8(t -n△T)e-2jnμt dt00F(u)是周期为二的无限周期连续函数，对808017Zf(n△T)e-j2nμn△Tfne-j2nμn△T>F(u)进行一个周期的取样是DFT的基础n=-00n=-80
§4.4 单变量的离散傅立叶变换（DFT） 取样后的函数𝒇෨(𝒕)的傅里叶变换： 由傅里叶变换定义得 𝐹෨ 𝜇 = න −∞ ∞ 𝑓ሚ 𝑡 𝑒 −2𝑗𝜋𝜇𝑡𝑑𝑡 𝐹෨ 𝑢 是周期为 1 ∆𝑇 的无限周期连续函数，对 𝑭෩ 𝒖 进行一个周期的取样是DFT的基础 𝐹෨ 𝜇 = 𝐹(𝜇)𝑆(𝜇) = න −∞ ∞ 𝐹 𝜏 𝑆 𝜇 − 𝜏 𝑑𝜏 = 1 ∆𝑇 න −∞ ∞ 𝐹 𝜏 𝑛=−∞ ∞ 𝛿(𝜇 − 𝜏 − 𝑛 ∆𝑇 ) 𝑑𝜏 = 1 ∆𝑇 𝑛=−∞ ∞ 𝐹(𝜇 − 𝑛 ∆𝑇 ) = න −∞ ∞ 𝑛=−∞ ∞ 𝑓(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑛 △ 𝑇)𝑒 −2𝑗𝜋𝜇𝑡𝑑𝑡 = 𝑛=−∞ ∞ 𝑓(𝑛 △ 𝑇)𝑒 −𝑗2𝜋𝜇𝑛△𝑇 = 𝑛=−∞ ∞ න −∞ ∞ 𝑓(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑛 △ 𝑇)𝑒 −2𝑗𝜋𝜇𝑡𝑑𝑡 = 𝑛=−∞ ∞ 𝑓𝑛𝑒 −𝑗2𝜋𝜇𝑛△𝑇
(DFT)S4.4单变量的离散傅立叶变换假设在周期u=0到1/△T之间得到F(u)的M个等间距的样本。可通过在如下频率处取样得到：m00WiWM △T,m = 0,1,2, ,M - 1u=f(nAT)e-j2nunATF(u) =M-1fne-jznunamYfne-j2元元"mnFmt,m=0,1,2,,M-1nn=0给定一个由f（t)的M个样本组成的集合(fn),可以得到一个与输入样本集合离散傅里叶变换相对应的MF(μ)个复数离散值的样本集合(F㎡}。M-112Fmei2mmn/M,n = 0,1,2,.., M 1Ffn =M2/AT-1/AT1/A72/AT0m=0
假设在周期𝜇 = 0到𝟏/△ 𝑻之间得到𝐹෨ 𝑢 的M个等间距的样本。可通过在如下频率处取样得到： 𝜇 = 𝑚 𝑀 △ 𝑇 , 𝑚 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1 𝐹𝑚 = 𝑛=0 𝑀−1 𝑓𝑛𝑒 −𝑗2𝜋 𝑚 𝑀 𝑛 , 𝑚 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1 给定一个由𝑓(𝑡)的M个样本组成的集合 𝑓𝑛 ,可以得到一个与输入样本集合离散傅里叶变换相对应的M 个复数离散值的样本集合 𝐹𝑚 。 𝐹෨ 𝜇 = 𝑛=−∞ ∞ 𝑓(𝑛 △ 𝑇)𝑒 −𝑗2𝜋𝜇𝑛△𝑇 = 𝑛=−∞ ∞ 𝑓𝑛𝑒 −𝑗2𝜋𝜇𝑛△𝑇 §4.4 单变量的离散傅立叶变换（DFT） 𝑓𝑛 = 1 𝑀 𝑚=0 𝑀−1 𝐹𝑚𝑒 𝑗2𝜋𝑚𝑛/𝑀 , 𝑛 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1
S4.4单变量的离散傅立叶变换(DFT)离散傅里叶变换(DFT)适用于任何均匀取样的有限离散样本集。离散傅里叶变换（DFT）M-1M-1m-j2元(x)e-j2rux/M,u = 0,1,2, .., M - 1MnF(u) =Fm=,m=0,12,..,M-12nX=0n=0离散傅里叶变换（IDFT，inversediscretefouriertransform）M-1M-11MFmej2mmn/M, n = 0,1,2,., M --1F(u)ej2rux/M, x = 0,1,2, ., M - 1f(x)=MZfn =u=0m=0具有周期性F(u) =F(u+kM)f(x) = f(x + kM)
离散傅里叶变换(DFT)适用于任何均匀取样的有限离散样本集。 𝐹 𝑢 = 𝑥=0 𝑀−1 𝑓(𝑥)𝑒 −𝑗2𝜋𝑢𝑥/𝑀 , 𝑢 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1 𝑓 𝑥 = 1 𝑀 𝑢=0 𝑀−1 𝐹(𝑢)𝑒 𝑗2𝜋𝑢𝑥/𝑀 , 𝑥 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1 §4.4 单变量的离散傅立叶变换（DFT） 𝐹𝑚 = 𝑛=0 𝑀−1 𝑓𝑛𝑒 −𝑗2𝜋 𝑚 𝑀 𝑛 , 𝑚 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1 𝑓𝑛 = 1 𝑀 𝑚=0 𝑀−1 𝐹𝑚𝑒 𝑗2𝜋𝑚𝑛/𝑀 , 𝑛 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1 离散傅里叶变换 (DFT) 离散傅里叶变换 (IDFT, inverse discrete fourier transform) 具有周期性 𝐹 𝑢 = 𝐹 𝑢 + 𝑘𝑀 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑘𝑀
(DFT)s4.4单变量的离散傅立叶变换城如果f(x)由函数f(t)以VT为单位间隔取样后的M个样本组成，则包含集合(f(x)),m=0,1,2,,M-1的记录的持续时间为T=MAT离散频率域中的相应间隔：M-1f(x)e-jzmux/M, u = 0,1,2, ,M - 11F(u) =11Au=X=0TMATmMAT,m= 0,1,2,, M- 1u=由DFT的M个分量跨越的整个频率范围：12=Mu=△T
§4.4 单变量的离散傅立叶变换（DFT） 如果𝑓 𝑥 由函数𝑓 𝑡 以𝛻𝑇为单位间隔取样后的M个样本组成，则包含集合 𝑓 𝑥 , 𝑚 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1的记录的持续时间为 𝑇 = 𝑀 △ 𝑇 △ 𝑢 = 1 𝑀 △ 𝑇 = 1 𝑇 Ω = 𝑀 △ 𝑢 = 1 △ 𝑇 离散频率域中的相应间隔： 由DFT的M个分量跨越的整个频率范围： 𝐹 𝑢 = 𝑥=0 𝑀−1 𝑓(𝑥)𝑒 −𝑗2𝜋𝑢𝑥/𝑀 , 𝑢 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1 𝑢 = 𝑚 𝑀 △ 𝑇 , 𝑚 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1
频率域滤波·4.1背景· 4.22基本概念·4.3取样和取样函数的傅立叶变换·4.4单变量的离散傅立叶变换4.5两个变量的扩展·4.65二维离散傅立叶变换的一些性质·4.7频率域滤波基础·4.8频率域滤波器平滑图像·4.9频率域滤波器锐化图像·4.10选择性滤波
• 4.1 背景 • 4.2 基本概念 • 4.3 取样和取样函数的傅立叶变换 • 4.4 单变量的离散傅立叶变换 • 4.5 两个变量的扩展 • 4.6 二维离散傅立叶变换的一些性质 • 4.7 频率域滤波基础 • 4.8 频率域滤波器平滑图像 • 4.9 频率域滤波器锐化图像 • 4.10 选择性滤波 频率域滤波
$4.5两个变量的离散里叶变换二维冲激及其取样特性一连续变量两个连续变量t和Z的冲激定义为8,t=z=o8(t,z)dtdz=1(t,z) :0,other00二维冲激在积分下也有一维情况下的取样特性f(t,z)s(t,z)dtdz=f(o,0)o更一般地，位于坐标（to,Zo)处的冲激f(t,z)s(t-to,z-zo)dtdz=f(to,zo)-00
二维冲激在积分下也有一维情况下的取样特性 න −∞ ∞ න −∞ ∞ 𝑓(𝑡, 𝑧)𝛿 𝑡, 𝑧 𝑑𝑡𝑑𝑧 = 𝑓(0,0) 更一般地，位于坐标 𝑡0, 𝑧0 处的冲激 න −∞ ∞ න −∞ ∞ 𝑓(𝑡, 𝑧)𝛿 𝑡 − 𝑡0, 𝑧 − 𝑧0 𝑑𝑡𝑑𝑧 = 𝑓(𝑡0, 𝑧0) 二维冲激及其取样特性—连续变量 𝛿 𝑡, 𝑧 = ቊ ∞， 𝑡 = 𝑧 = 0 0, 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟 න −∞ ∞ න −∞ ∞ 𝛿 𝑡, 𝑧 𝑑𝑡𝑑𝑧 = 1 两个连续变量 t 和 z 的冲激定义为 §4.5 两个变量的离散傅里叶变换
s4.5两个变量的离散傅里叶变换二维冲激及其取样特性一离散变量88(x-xo, y-yo)二维离散冲激定义x=y=0s(x,y)0other二维离散冲激也有一维情况下的取样特性00Z.2f(x,y)8(x,y) = f(0,0)α00-VZZf(x,y)s(x - xo,y-yo) = f(xo,yo)更一般地，位于坐标(xo,yo)处的冲激X=-080y=-α
二维离散冲激也有一维情况下的取样特性 𝑥=−∞ ∞ 𝑦=−∞ ∞ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝛿 𝑥, 𝑦 = 𝑓(0,0) 更一般地，位于坐标 𝑥0, 𝑦0 处的冲激 𝑥=−∞ ∞ 𝑦=−∞ ∞ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝛿 𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0 = 𝑓(𝑥0, 𝑦0) §4.5 两个变量的离散傅里叶变换 𝛿 𝑥, 𝑦 = ቊ 1 ， 𝑥 = 𝑦 = 0 0, 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟 二维离散冲激定义 二维冲激及其取样特性—离散变量
图像（二维离散函数的傅立叶变换(DFT）对二维连续函数的傅立叶变换对f(x, y)e-j2n(ux+vy)dxdyF(u,v) =F(u, v)ej2n(ux+y)dudvf(x,y) =0离散化二维图像的傅立叶变换(DFT)对M-1N-22f(x, y)e-j2n(+)F(u,v) =N是图像的高度x=0 y=0M是图像的宽度MN1F(u, )e /2n(+%)22f(x,y)=MNu=0V=0
二维连续函数的傅立叶变换对 二维图像的傅立叶变换(DFT)对 离散化 N是图像的高度 M是图像的宽度 𝐹 𝑢, 𝑣 = 𝑥=0 𝑀−1 𝑦=0 𝑁−1 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑒 −𝑗2𝜋( 𝑢𝑥 𝑀 + 𝑣𝑦 𝑁 ) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 1 𝑀𝑁 𝑢=0 𝑀−1 𝑣=0 𝑁−1 𝐹(𝑢, 𝑣)𝑒 𝑗2𝜋( 𝑢𝑥 𝑀 + 𝑣𝑦 𝑁 ) 图像(二维离散函数)的傅立叶变换(DFT)对 𝑓(𝑥, 𝑦) = න −∞ ∞ න −∞ ∞ 𝐹(𝑢, 𝑣)𝑒 𝑗2𝜋(𝑢𝑥+𝑣𝑦)𝑑𝑢𝑑𝑣 𝐹(𝑢, 𝑣) = න −∞ ∞ න −∞ ∞ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑒 −𝑗2𝜋(𝑢𝑥+𝑣𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
f(t, z)s4.5两个变量的离散傅里叶变换例4.5一个简单函数的二维傅里叶变换4f(t,z)e-j2n(ut+vz)dtdzF(u,V) =Z/2T/200TZIN[F(μ,v)2Ae-j2n(μt+vz) dtdzATZ212nTI22r2-jznμtdte-j2vzdzA2Z2j2元μTj2元uT[e-j2vz-ej2vz]2sin(πμT)sin(vZ)sin(元uTsin(vz)在频谱中零的位置=ATATZ7TuTTVZTuTTVZ与T和Z的值成反比
𝐹 𝜇, 𝑣 = න −∞ ∞ න −∞ ∞ 𝑓 𝑡, 𝑧 𝑒 −𝑗2𝜋(𝜇𝑡+𝑣𝑧)𝑑𝑡𝑑𝑧 = න − 𝑇 2 𝑇 2 න − 𝑍 2 𝑍 2 𝐴𝑒 −𝑗2𝜋(𝜇𝑡+𝑣𝑧)𝑑𝑡𝑑𝑧 = 𝐴 න − 𝑇 2 𝑇 2 𝑒 −𝑗2𝜋𝜇𝑡𝑑𝑡 න − 𝑍 2 𝑍 2 𝑒 −𝑗2𝜋𝑣𝑧𝑑𝑧 = 𝐴𝑇 sin(𝜋𝜇𝑇) 𝜋𝜇𝑇 𝑍 sin(𝜋𝑣𝑍) 𝜋𝑣𝑍 = 𝐴𝑇𝑍 sin(𝜋𝜇𝑇) 𝜋𝜇𝑇 sin(𝜋𝑣𝑍) 𝜋𝑣𝑍 在频谱中零的位置 与T和Z的值成反比 §4.5 两个变量的离散傅里叶变换 例4.5 一个简单函数的二维傅里叶变换 = −𝐴 𝑗2𝜋𝜇 𝑒 −𝑗2𝜋𝜇𝑇 − 𝑒 𝑗2𝜋𝜇𝑇 −1 𝑗2𝜋𝑣 [𝑒 −𝑗2𝜋𝑣𝑍 − 𝑒 𝑗2𝜋𝑣𝑍]