频率域滤波·4.1背景 4.2基本概念4.3取样和取样函数的傅立叶变换·4.41单变量的离散傅立叶变换·4.5两个变量的扩展·4.6二维离散傅立叶变换的一些性质·4.7频率域滤波基础·4.8频率域滤波器平滑图像·4.9频率域滤波器锐化图像·4.10选择性滤波
• 4.1 背景 • 4.2 基本概念 • 4.3 取样和取样函数的傅立叶变换 • 4.4 单变量的离散傅立叶变换 • 4.5 两个变量的扩展 • 4.6 二维离散傅立叶变换的一些性质 • 4.7 频率域滤波基础 • 4.8 频率域滤波器平滑图像 • 4.9 频率域滤波器锐化图像 • 4.10 选择性滤波 频率域滤波
fos4.2基本概念·4.2.1复数ST(0)·4.2.2傅立叶级数的表示方式-2AT-AT0AT24T·4.2.3冲激及其取样特性f(0)SST(0)·4.2.4连续变量函数的傅立叶变换·4.2.5卷积-24T-4T0AT24Tf=FRAT← H(μ)F(u)f(t)★h(t)←H(μ)★F(μ)f(t)h(t)
• 4.2.1 复数 • 4.2.2 傅立叶级数的表示方式 • 4.2.3 冲激及其取样特性 • 4.2.4 连续变量函数的傅立叶变换 • 4.2.5 卷积 ( , ) R I Real Imag(j) R I 傅立叶级数复数形式: 𝑓(𝑥) = 𝑛=−∞ ∞ 𝑐𝑛𝑒 𝑖 𝑛𝜋𝑥 𝑙 𝑓 𝑡 = න −∞ ∞ 𝐹 𝜇 𝑒 𝑗2𝜋𝜇𝑡𝑑𝜇 𝐹 𝜇 = න −∞ ∞ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑗2𝜋𝜇𝑡𝑑𝑡 傅里叶变换形式: 𝑓(𝑡)ℎ 𝑡 𝐻 𝜇 𝐹(𝜇) 𝑓(𝑡)ℎ 𝑡 𝐻 𝜇 𝐹(𝜇) §4.2 基本概念
极坐标：$4.2.1复数C = r(cosO+ jsinの)复数：r = /R2 + [2C=R+jl9=arctan(其中 j=/-1Imag(i)Imag(i)指数形式：(R,I)C= rejo0欧拉公式Realejo=coso+jsineRReal第4章第3页
第4章 第3页 复数： 极坐标： 指数形式： §4.2.1 复数 ( , ) R I Real Imag(j) R I 其中 j 1 C r (cos jsin ) j C re Real Imag(j)
极坐标：$4.2.1复数C=CI(cose+jsino)复数：ICI = r =VR2 + 12C=R+jl=0.00其中j=-1101552025Imag(i)eit~+1,00+0.00(R,I)ezt0SRealR第4章第4页From:https:/www.youtube.com/watch?y=r6sGWTCMz2k3Blue1Brown
第4章 第4页 复数： 极坐标： 指数形式： §4.2.1 复数 ( , ) R I Real Imag(j) R I 其中 j 1 From: https://www.youtube.com/watch?v=r6sGWTCMz2k
$4.2.2傅立叶级数的表示方式满足一定条件的周期（T-21）函数均可表示成不同频率的正弦和余弦函数的加权和：三角函数形式 f(x)cos nx dx,(00(n=0,1,2,...)an=nxn元xaoZf(x)一+bnsinancos2/n元xn=1-dx,_bn=f(x) sin-(n = 1,2,3 ...)1ei = cos(0) + isin(0)cos(0) =(eio +e-i0)三角函数+指数(复数）函数欧拉公式sin(0) =-(eie -e-i0)傅立叶级数复数形式：n元xn元xVTdx,f(x)e(n = 0,±1,±2,.)f(x) =LCn=CneTn=-8
§4.2.2 傅立叶级数的表示方式 𝑓(𝑥) = 𝑎0 2 + 𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛cos 𝑛𝜋𝑥 𝑙 + 𝑏𝑛sin 𝑛𝜋𝑥 𝑙 ��− = �𝑎� 𝑙 𝑓(𝑥) cos 𝑛𝜋𝑥 𝑙 𝑑𝑥, (𝑛 = 0,1,2, . . .) 𝑏𝑛 = න −𝑙 𝑙 𝑓(𝑥) sin 𝑛𝜋𝑥 𝑙 𝑑𝑥, (𝑛 = 1,2,3 . ) 满足一定条件的周期 (T=2l) 函数均可表示成不同频率的正弦和余弦函数的加权和: 三 角 函 数 形 式 傅立叶级数复数形式: 𝑓(𝑥) = 𝑛=−∞ ∞ 𝑐𝑛𝑒 𝑖 𝑛𝜋𝑥 𝑙 𝑐𝑛 = 1 𝑇 න −𝑙 𝑙 𝑓(𝑥) 𝑒 −𝑖 𝑛𝜋𝑥 𝑙 𝑑𝑥, (𝑛 = 0, ±1, ±2, . ) 三角函数 欧拉公式 指数(复数)函数 𝑒 ൯ 𝑖𝜃 = cos(𝜃) + 𝑖sin(𝜃 cos(𝜃) = 1 2 𝑒 𝑖𝜃 + 𝑒 −𝑖𝜃 sin(𝜃) = − 𝑖 2 𝑒 𝑖𝜃 − 𝑒 −𝑖𝜃
博立叶级数三角函数形式,f(x) cos nx dx,00(n = 0,1,2,...)annxaon元xf(x) =7+bnsinancos21nπxn=1dx,(n = 1,2,3 ...)f(x)sin/傅立叶级数复数形式：81,n元x日Zf(x)edx,L(n=0,±1,±2,..)Cn =f(x) =CneTn=-00-n元xn元xc.LCeX实函数-
𝑓(𝑥) = 𝑎0 2 + 𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛cos 𝑛𝜋𝑥 𝑙 + 𝑏𝑛sin 𝑛𝜋𝑥 𝑙 ��− = �𝑎� 𝑙 𝑓(𝑥) cos 𝑛𝜋𝑥 𝑙 𝑑𝑥, (𝑛 = 0,1,2, . . .) 𝑏𝑛 = න −𝑙 𝑙 𝑓(𝑥) sin 𝑛𝜋𝑥 𝑙 𝑑𝑥, (𝑛 = 1,2,3 . ) 傅立叶级数三角函数形式： 傅立叶级数复数形式: 𝑓(𝑥) = 𝑛=−∞ ∞ 𝑐𝑛𝑒 𝑖 𝑛𝜋𝑥 𝑙 𝑐𝑛 = 1 𝑇 න −𝑙 𝑙 𝑓(𝑥) 𝑒 −𝑖 𝑛𝜋𝑥 𝑙 𝑑𝑥, (𝑛 = 0, ±1, ±2, . ) 𝑐𝑛𝑒 𝑖 𝑛𝜋𝑥 𝑙 𝑐−𝑛𝑒 𝑖 −𝑛𝜋𝑥 + 𝑙 = 实函数
博立叶级数三角函数形式f(x) cos nrx dx,00(n = 0,1,2,...)aonxn元xf(x) =+bnsinancos21n元xn=1dx(n = 1,2,3 ..)f(x)sin1傅立叶级数复数形式8n元xn元xZf(x)edx,(n = 0, ±1,±2, ..)Cnf(x) =2Cnen=-00Imag(i)Real0
𝑓(𝑥) = 𝑎0 2 + 𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛cos 𝑛𝜋𝑥 𝑙 + 𝑏𝑛sin 𝑛𝜋𝑥 𝑙 ��− = �𝑎� 𝑙 𝑓(𝑥) cos 𝑛𝜋𝑥 𝑙 𝑑𝑥, (𝑛 = 0,1,2, . . .) 𝑏𝑛 = න −𝑙 𝑙 𝑓(𝑥) sin 𝑛𝜋𝑥 𝑙 𝑑𝑥, (𝑛 = 1,2,3 . ) 傅立叶级数三角函数形式： 傅立叶级数复数形式: 𝑓(𝑥) = 𝑛=−∞ ∞ 𝑐𝑛𝑒 𝑖 𝑛𝜋𝑥 𝑙 𝑐𝑛 = 1 𝑇 න −𝑙 𝑙 𝑓(𝑥) 𝑒 −𝑖 𝑛𝜋𝑥 𝑙 𝑑𝑥, (𝑛 = 0, ±1, ±2, . )
f(x) = 2cos xS4.2.2傅立叶级数的表示方式2.01.00.0-1.02.0From:https://www.youtube.com/watch?y=r6sGWTCMz2k3Blue1Brown
§4.2.2 傅立叶级数的表示方式 From: https://www.youtube.com/watch?v=r6sGWTCMz2k f x x ( ) 2cos
s4.2.2傅立叶级数的表示方式1.000.51.0From.https://www.youtube.com/watch?y=r6sGWTCMz2k3Blue1Brown
§4.2.2 傅立叶级数的表示方式 From: https://www.youtube.com/watch?v=r6sGWTCMz2k
$4.2.2傅立叶级数的表示方式Frequencies:1-2元it0-2元itC2e2-2it3.2元iFormulas:Ce-2.2itc,e-1-2nitCielCoeC3een-2元it-1From:https://www.youtube.com/watch?y=r6sGWTCMz2k3Blue1Brown
§4.2.2 傅立叶级数的表示方式 From: https://www.youtube.com/watch?v=r6sGWTCMz2k