《电工技术》课程教学资源（教案讲义）第3章 正弦交流电路

第3章正弦交流电路83.1正弦交流电的基本概念一、交流电的概念如果电流或电压每经过一定时间（T）就重复变化一次，则此种电流、电压称为周期性交流电流或电压。如正弦波、方波、三角波、锯齿波等。记做：u(t）=u（t+T)。U在电路中大小与方向均随时间按正弦规律变化的电流、电压和电动势统称为正弦交流电。其一般表达式为：x= Xmsin(ot+@。)正弦交流电的优点：便于传输、分配和使用：有利于电器设备的运行和维护等。正弦交流电的方向：正弦交流电也有正方向，一般按正半周的方向假设。实际方向和假设方向一致实际方向和假设方向相反3- 1

3- 1 第 3 章 正弦交流电路 §3.1 正弦交流电的基本概念 一、交流电的概念 如果电流或电压每经过一定时间 （T ）就重复变化一次，则此种电流 、电压称 为周期性交流电流或电压。如正弦波、方波、三角波、锯齿波 等。 记做： u(t) = u(t + T ) 。 在电路中大小与方向均随时间按正弦规律变化的电流、电压和电动势统称为正弦 交流电。其一般表达式为： sin( ) m o x  X t  正弦交流电的优点： 便于传输、分配和使用； 有利于电器设备的运行和维护等。 正弦交流电的方向： 正弦交流电也有正方向,一般按正半周的方向假设

交流电路进行计算时，首先也要规定物理量的正方向，然后才能用数字表达式来描述。二、正弦波的特征量oti= Im sin(ot+p)Im：电流幅值（最大值）①：角频率（弧度/秒）特征量：即正弦量的三要素：?：初相角正弦波特征量之一（幅值（amplitude)）：I，为正弦电流的最大值在工程应用中常用有效值(effectivevalue)表示幅度。常用交流电表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。标准电压220V，也是指供电电压的有效值。最大值：电量名称必须大写，下标加m，如：Um、Im在工程应用中常用有效值(effectivevalue)表示幅度。常用交流电表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。标准电压220V，也是指供电电压的有效值。热效应相当有效值概念iRdt =PRT交流直流I-.TiPdt（均方根值）。当i=I.sin(ot+)时，可得：I=则有1：123- 2

3- 2 交流电路进行计算时，首先也要规定物理量的正方向，然后才能用数字表达式来 描述。 二、正弦波的特征量 i  I  t  m sin 特征量: 即正弦量的三要素： 正弦波特征量之一（幅值(amplitude)）： m I 为正弦电流的最大值 在工程应用中常用有效值(effective value)表示幅度。常用交流电表指示的电压、 电流读数，就是被测物理量的有效值。标准电压 220V，也是指供电电压的有效值。 最大值：电量名称必须大写,下标加 m，如：Um、Im 在工程应用中常用有效值(effective value)表示幅度。常用交流电表指示的电压、 电流读数，就是被测物理量的有效值。标准电压 220V，也是指供电电压的有效值。 有效值概念 则有   T i dt T I 0 1 2 （均方根值）。当i  I  t  m sin 时，可得： 2 m I I 

问题与讨论：若购得一台耐压为300V的电器，是否可用于220V的线路上？最高耐压电器~220V=300V电源电压有效值：U=220V最大值Um=V2220V=311V。该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以不能用。正弦波特征量之二--角频率(angularfrequence)：t1wt描述变化周期的几种方法单位：秒，毫秒..1.周期T：变化一周所需的时间。2.频率f：每秒变化的次数。单位：赫兹，千赫兹3.角频率Q：每秒变化的弧度。单位：弧度/秒rad/s2元=2元0:T小常识：电网频率（工频）：中国50Hz；美国、日本60Hz有线通讯频率：300-5000Hz无线通讯频率：30kHz-3×104MHz正弦波特征量之三--初相位(initialphase)：i=/2Isin(のt+@)，（ot+β）：正弦波的相位角或相位：t=0时的相位，称为初相位或初相角。3- 3

3- 3 问题与讨论： 若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于 220V 的线路上? 电源电压有效值：U = 220V；最大值 Um = 2 220V = 311V。该用电器最高耐压低于 电源电压的最大值，所以不能用。 正弦波特征量之二-角频率(angular frequence)： 描述变化周期的几种方法 1. 周期 T： 变化一周所需的时间。 单位：秒，毫秒. 2. 频率 f： 每秒变化的次数。 单位：赫兹，千赫兹 . 3. 角频率 ω：每秒变化的弧度。 单位：弧度/秒 rad/s T f 1  f T    2 2   小常识：电网频率（工频）： 中国 50 Hz；美国 、日本 60 Hz 有线通讯频率：300 - 5000 Hz 无线通讯频率： 30 kHz - 3×104 MHz 正弦波特征量之三- 初相位(initial phase)： i  2I sin t ，（t ）：正弦波的相位角或相位  ： t = 0 时的相位，称为初相位或初相角

のt说明：给出了观察正弦波的起点或参考点，常用于描述多个正弦波相互间的关系。例3.1.1：已知：i=sin(1000t+30%)AI:=0.707A幅度：1m=1AV2@=1000 rad/s频率：10000f==159Hz2元2元初相位：?=30°两个同频率正弦量间的相位差（初相差）+iliotP2i; = Imi sin(ot+p )i2= Im2sin(ot+p2)p=(ot+p2)-(ot+p)=p2-p两种正弦信号的相位关系3- 4

3- 4 说明：给出了观察正弦波的起点或参考点，常用于描述多个正弦波相互间的关系。 例 3.1.1：已知：i  sin1000t  30 A 幅度： 0.707A 2 1 I m  1A I   频率： 159 Hz 2 1000 2 1000 rad/s         f 初相位：  30 两个同频率正弦量间的相位差( 初相差)     2 2 2 1 1 1 sin sin         i I t i I t m m         2    1   21 t t 两种正弦信号的相位关系

同相P1 =P20位1=- >011相位领先超前于i相位落后A=-<0滞后于i可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。u=u+uzu, = /2U, sin(ot+)= /2U, sin (@ t+p)+ /2U, sin(@ t+ p2)u, = /2U, sin (o t+p2)= /2U sin(α t+p)幅度、相位变化频率不变。结论：因角频率（①）不变，所以以下讨论同频率正弦波时，の可不考虑，主要研究幅度与初相位的变化。83.2正弦波的相量表示方法正弦波的表示方法波形图：ot瞬时值表达式：i=sin(ot+β）（必须小写）相量(phasor）（重点）前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。而相量表示法实质上是用复数来表示正弦量的方法。3- 5

3- 5 可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。     2 2 2 1 1 1 2 sin 2 sin         u U t u U t                   U t U t U t u u u 2 sin 2 sin 2 sin 1 1 2 2 1 2 幅度、相位变化频率不变。 结论: 因角频率（ ）不变，所以以下讨论同频率正弦波时， 可不考虑，主要研 究幅度与初相位的变化。 §3.2 正弦波的相量表示方法 正弦波的表示方法： 波形图： 瞬时值表达式：i  sint （必须小写） 相量(phasor)（重点） 前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。而相量表示法实质上是用复数来表示 正弦量的方法

复数(complexnumber)将复数A放到复平面上，可表示为A=/a+b,=tg"bU0+1aaA=a+jb=pcosp+jpsinpA=a+ jb代数式A=p(cosp+jsinp)三角函数式b0=pejo指数式a=pp极坐标形式设a、b为正实数A=a+ jb=pejp?在第一象限A=-a+ jb= pejo在第二象限A=-a-jb=pejg?在第三象限A=a- jb= peio在第四象限复数运算1.加、减运算A=A±AA =a, + jb,则：设：=(a,±a,)+ j(b,±b,)A =az + jb,=a+ jb2.乘法运算A, = prejnA= A,-A,设：则：=prP2-e(g+2)A, =prejer3- 6

3- 6 复数(complex number) 将复数 A 放到复平面上，可表示为： a b a b tg 2 2 1 ,       A  a  jb   cos  j sin               j e j A a jb (cos sin ) 设 a、b 为正实数   j A  a  jb  e  在第一象限   j A  a  jb  e  在第二象限   j A  a  jb  e  在第三象限   j A  a  jb  e  在第四象限 复数运算 1.加 、减运算 设： 2 2 2 1 1 1 A a jb A a jb     则： a jb a a j b b A A A         ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2.乘法运算 设： 2 1 2 2 1 1     j j A e A e   则： ( ) 1 2 1 2 1 2         j e A A A

3.除法运算A, =prej:A=Pie/(o-0)设：则：A =Pre'gA,P2+1a若图中A以の角速度逆时针方向旋转，时间t后转过の角度。这时在虚轴上的投影为：x=psin(ot+p)因此复平面上的旋转复矢量：A=pe（e)=pej.ejo，取其虚部得：x= Im A'= Im(pejeej)= p.sin(ot +p)为正弦量。式中pej为未旋转的复量A，ejo为旋转因子。在一正弦交流电路中，所有的正弦量都是同频率的，即旋转因子是相同的，与电路计算无关，可见复量A=pej与正弦量x=psin(ot+の)是相互对应的关系，可用复数A=pe来表示正弦量，记为X=pe=p/，并称其为相量。相量的书写方式：1.描述正弦量的有向线段称为相量。若其幅度用最大值表示则用符号：Umim2.实际应用中，幅度多采用有效值，用符号：U、13.相量符号U、i包含幅度与相位信息。注：正弦量的描述是针对三要素，复矢量可表示幅度与相位信息。？变化快慢的角频率如何表示？正弦波的相量表示法举例例3.2.1将ul、u2用相量表示：u=/2U,sin(ot+p)，uz=V2U,sin(ot+P）设：幅度：相量大小U>U，相位：P2>93- 7

3- 7 3. 除法运算 设： 2 1 2 2 1 1     j j A e A e   则：   1 2 2 1 2 1       j e A A 若图中 A 以 角速度逆时针方向旋转，时间 t 后转过 角度。这时在虚轴上的 投影为： x   sin(t ) 因此复平面上的旋转复矢量： j t j j t A e e e          ' (  ) ，取其虚部得： Im Im( )  sin( )   x  A  e e   t  j j t 为正弦量。式中   j e 为未旋转的复矢量 A， j t e  为旋转因子。 在一正弦交流电路中，所有的正弦量都是同频率的，即旋转因子是相同的，与电 路计算无关，可见复矢量   j A  e 与正弦量 x   sin(t )是相互对应的关系，可用 复数   j A  e 来表示正弦量，记为        j X e  ，并称其为相量。 相量的书写方式： 1.描述正弦量的有向线段称为相量 。若其幅度用最大值表示则用符号： m m U I  、 2. 实际应用中，幅度多采用有效值，用符号：U I 、 3. 相量符号 U I 、包含幅度与相位信息。 注：正弦量的描述是针对三要素，复矢量可表示幅度与相位信息。？变化快慢的 角频率如何表示? 正弦波的相量表示法举例 例 3.2.1 将 u1、u2 用相量表示:     1 1 1 2 2 2 u  2U sin  t  ，u  2U sin  t  设：幅度：相量大小U2  U1 ,相位：2   1

U,=U,ej=U,Lpi,,=U,ej=U,Lp,U,滞后于U,例3.2.2同频率正弦波相加-平行四边形法则u =/2U, sin (ot+g)U=U,+U,uz=2U,sin (o1+g2)0同频率正弦波的相量画在一起，构成相量图。102但要准确求出其值是较为困难的。解决办法是什么？注意：1.只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。2.只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，不同频率的正弦量不能画在一张相量图上。新问题提出：平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。故引入相量的复数运算法。相量→复数表示法一→复数运算应用举例例3.2.3已知瞬时值，求相量。TT314t-已知：i=141.4sin314t+A, u=311.1sinV求：i、u36的相量。1_ 141.4Z30°=100Z30°=86.6+j50A解：V2U = 311-1Z-60 *=2202-60 *=110 - J 190.5 VV23- 8

3- 8 1 1 1 1 1   U U e U  j  , 2 2 2 2 2   U U e U  j  ,U1 滞后于U2  例 3.2.2 同频率正弦波相加 - 平行四边形法则     2 2 2 1 1 1 2 sin 2 sin         u U t u U t U U1 U2      同频率正弦波的相量画在一起，构成相量图。 但要准确求出其值是较为困难的。解决办法是什么？ 注意 ： 1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，不同频率的正弦量不能画在一 张相量图上。 新问题提出： 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。故引入相量的复数运算法。 相量 → 复数表示法 → 复数运算 应用举例 例 3.2.3 已知瞬时值，求相量。 已知 ： V 3 A 311.1sin 314 6 141.4sin 314                   i t ，u t ，求：i 、u 的相量。 解： 30 100 30 86.6 50 A 2 141.4 I       j    60 220 60 110 190.5 V 2 311.1 U         j   

i_141.4+Z30°=100Z30°=86.6+j50100V216+/3U=_311.1220-60=220Z-60°=110-j190.5V2例3.2.4已知相量，求瞬时值。已知两个频率都为1000Hz的正弦电流其相量形式为：i,=100Z-60°A,i,=10e/30°A求：不i,=100/2 sin(6280t-60°)A解：0=2元f=2元×1000=6280i,=10/2sin(6280t+30°)A小结：正弦波的四种表示法-1波形图otOFu=U sin(ot+@)瞬时值1.相量图复数U=a+jb=Uej=UZp符号法符号说明：瞬时值--小写：U、i有效值大写：U、I最大值--大写+下标：U.复数、相量--大写+“”"：U3- 9

3- 9 30 100 30 86.6 50 2 141.4 I       j    60 220 60 110 190.5 2 311.1 U         j   例 3.2.4 已知相量，求瞬时值。 已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形式为： 100 60 A 10 A 30 1 2     j I    ，I  e 求： 1 2 i、i 解：  2 f  2 1000  6280 10 2 sin(6280 30 ) A 100 2 sin(6280 60 ) A 2 1       i t i t 小结：正弦波的四种表示法 符号说明：瞬时值 - 小写：u、i 有效值 - 大写：U、I 最大值 - 大写+下标：Um 复数、相量 - 大写 + “.”：U

说明：设任一相量A，A×e*j90°=（tj)A（90°旋转因子。+ji逆时针转90%，-j顺时针转90）83.3单一参数的正弦交流电路电阻电路根据欧姆定律：u=iR设i=2Isinot，则u=iR=2IRsin@t=2Usin@t（一）电阻电路中电流、电压的关系=sint,="=-sinot=21sinotRR1.频率相同2.相位相同3.有效值关系：U=IRU4.相量关系：设i=IZ0°，则U=UZ0°，有U=iR（二）电阻电路中的功率(power）power)p：瞬时电压与瞬时电流的乘积1、瞬时功率(instantaneousi=2Isin(ot),u=2Usin(ot),p=u-i=Ri2=u2/Rp= I.sin otU. sin ot =U.I.sinot= 2Ur_(1-cos 2o1)= UI-UI cos2ot2p=UI-Ulcos2ot结论：wt(1)p≥0（耗能元件）。(2)p随时间变化。(3)p 与u、i2成比例。at3-10

3- 10 说明：设任一相量A ，      90 A e j ( )A  j （90°旋转因子。+j 逆时针转 90°，-j 顺时针 转 90） §3.3 单一参数的正弦交流电路 一、 电阻电路 根据 欧姆定律：u  iR 设i  2I sint ，则u  iR  2IRsint  2U sint （一）电阻电路中电流、电压的关系 t I t R U R u u  2U sint，i   2 sin  2 sin 1. 频率相同 2. 相位相同 3. 有效值关系：U  IR 4. 相量关系：设   I  I  0 ， 则 0  U U ，有U  I  R （二）电阻电路中的功率(power) 1、瞬时功率(instantaneous power) p：瞬时电压与瞬时电流的乘积 i  2 I sin (t)，u  2U sin (t) ， p u i Ri u / R 2 2     p I tU t U I t UI t UI UI t m  m  m m  (1 cos 2 ) cos 2 2 1 sin sin sin 2 2       p UI UI cos 2t 结论： （1） p  0（耗能元件）。 （2） p 随时间变化。 （3） p 与 2 2 u 、i 成比例