频率域滤波·4.1背景· 4.22基本概念·4.3取样和取样函数的傅立叶变换·4.4单变量的离散傅立叶变换·4.55两个变量的扩展·4.65二维离散傅立叶变换的一些性质·4.7频率域滤波基础·4.8频率域滤波器平滑图像·4.9频率域滤波器锐化图像·4.10选择性滤波
• 4.1 背景 • 4.2 基本概念 • 4.3 取样和取样函数的傅立叶变换 • 4.4 单变量的离散傅立叶变换 • 4.5 两个变量的扩展 • 4.6 二维离散傅立叶变换的一些性质 • 4.7 频率域滤波基础 • 4.8 频率域滤波器平滑图像 • 4.9 频率域滤波器锐化图像 • 4.10 选择性滤波 频率域滤波
s4.6二维离散傅立叶变换的性质空间和频率间隔的关系假定对连续函数f（t，z)取样生成了一幅数字图像f（x，y)，它由分别在t和z方向所取的M*N个样点组成。令△T和△Z表示样本间的间隔，则相应离散频率域变量间的间隔分别由11整个频率范围频率分辨率Au-2u=M△uMAT△T11△v2u=N△V:NAZ△Z频率域样本间的间隔与空间样本间的间距和样本数成反比
频率域样本间的间隔与空间样本间的间距和样本数成反比。 §4.6 二维离散傅立叶变换的性质 空间和频率间隔的关系 假定对连续函数𝑓(𝑡, 𝑧)取样生成了一幅数字图像𝑓(𝑥, 𝑦)，它由分别在𝑡和𝑧方 向所取的𝑀 ∗ 𝑁个样点组成。令∆𝑇和∆𝑍表示样本间的间隔，则相应离散频率 域变量间的间隔分别由 ∆𝑢 = 1 𝑀∆𝑇 ∆𝑣 = 1 𝑁∆𝑍 Ω𝑢 = 𝑀 △ 𝑢 = 1 △ 𝑇 Ω𝑣 = 𝑁 △ 𝑣 = 1 △ 𝑍 整 个 频 率 范 围 频 率 分 辨 率
FOV相同Low ResolutionHigh Resolution1Au=△Z2AZMAT14V=NAZ1Qu=M△u△T12u=N△V=△ZAT2△T1Morek-spacecoverage空间上的分辨率与频域的频谱覆盖范围相关
Low Resolution High Resolution FOV相同 ∆𝑢 = 1 𝑀∆𝑇 ∆𝑣 = 1 𝑁∆𝑍 Ω𝑢 = 𝑀 △ 𝑢 = 1 △ 𝑇 Ω𝑣 = 𝑁 △ 𝑣 = 1 △ 𝑍 ∆𝑇1 ∆𝑍1 ∆𝑇2 ∆𝑍2 空间上的分辨率与频域的频谱覆盖范围相关
1Au二MATLargeFOBiggerFOv=Morepixels1AZ2SmallFOVAu:=NAZAZ11Qu=M△u△T12,=N△V:AT1△ ZAT2Morepixels =moremeasurements=denserk-space samplingk-spacea
∆ 𝑢 = 1 𝑀 ∆ 𝑇 ∆ 𝑣 = 1 𝑁 ∆ 𝑍 Ω 𝑢 = 𝑀 △ 𝑢 = 1△ 𝑇 Ω 𝑣 = 𝑁 △ 𝑣 = 1△ 𝑍 ∆ 𝑇1 ∆ 𝑍 1 ∆ 𝑇2 ∆ 𝑍 2
$4.6二维离散傅立叶变换的性质平移和旋转中f(x, y)e j2n(*++%) F(u - uo, V - Vo)f(x - xo, y - yo) F(u, v)e-j2zn("o+%)f(r,日+0o)一F(p,Φ+o）若f(x,y)旋转角度，则F(u,v)也旋转相同的角度。平均值M-1N-1M-1N-1110*u0*vZ22f(x,y)e-j2n(NM>f(x,y) =MN ·f(x,y)F(0,0) = MN=MNMNMNx=0 y=0x=0V=0F（0,0)是谱的最大分量
若𝑓(𝑥, 𝑦)旋转𝜃0角度，则𝐹 𝑢, 𝑣 也旋转相同的角度。 𝑭(𝟎, 𝟎) 是谱的最大分量 §4.6 二维离散傅立叶变换的性质 平移和旋转 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑗2𝜋 𝑢0𝑥 𝑀 + 𝑣0𝑦 𝑁 ⟺ 𝐹(𝑢 − 𝑢0, 𝑣 − 𝑣0) 𝑓(𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0) ⟺ 𝐹(𝑢, 𝑣)𝑒 −𝑗2𝜋 𝑥0𝑢 𝑀 + 𝑦0𝑣 𝑁 𝑓 𝑟, 𝜃 + 𝜃0 ⟺ 𝐹(𝜌,𝜑 + 𝜃0) 平均值 𝐹 0,0 = 𝑀𝑁 ∙ 1 𝑀𝑁 𝑥=0 𝑀−1 𝑦=0 𝑁−1 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑒 −𝑗2𝜋 0∗𝑢 𝑀 + 0∗𝑣 𝑁 = 𝑀𝑁 ∙ 1 𝑀𝑁 𝑥=0 𝑀−1 𝑦=0 𝑁−1 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑀𝑁 ∙ 𝑓ҧ(𝑥, 𝑦)
s4.6二维离散傅立叶变换的性质周期性离散的二维傅里叶变换及其反变换在u方向和V方向是无限周期的F(u,)=F(u+kiM,+k2N)f(x,y) =f(x +kiM, y+k2N)其中k1,k2是整数周期性在基于DFT算法的实现上有着重要作用
§4.6 二维离散傅立叶变换的性质 周期性 离散的二维傅里叶变换及其反变换在𝑢方向和𝑣方向是无限周期的 𝐹 𝑢, 𝑣 = 𝐹 𝑢 + 𝑘1𝑀, 𝑣 + 𝑘2𝑁 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑘1𝑀, 𝑦 + 𝑘2𝑁) 其中 𝑘1, 𝑘2是整数 周期性在基于DFT算法的实现上有着重要作用
s4.6二维离散傅立叶变换的性质一维傅里叶变换产生的是两个紧邻的半周期希望观察一个完整周期的傅里叶频谱M/2--M/20-MI2MM-Oneperiod(Msamples)f(x)ei2(uox/M) = F(u - uo)f(x)(-1)* F(u-M /2)口f(x)变换前乘以(-1)
希望观察一个完整周期的 傅里叶频谱 §4.6 二维离散傅立叶变换的性质 一维傅里叶变换产生的是 两个紧邻的半周期 f (x)变换前乘以(-1)x
s4.6二维离散傅立叶变换的性质f(x,y)(-1)*+y ≤ F(u- M/2,U -N/2)N-1N/2-N-1(0.0)N/2(0, 0).F(O.0)M/2M/2MM-1uFouradjacentquarterperiodsmeethere=M×NdataarraycomputedbytheDFTwithf(x,y)asinput=MxNdata arraycomputedbytheDFTwithf(x.y)(-1)*+yas input....=PeriodsoftheDFT
§4.6 二维离散傅立叶变换的性质
s4.6二维离散傅立叶变换的性质傅里叶谱和相角F(u, v) = [F(u, v)lejo(u,v)极坐标下，二维DFT可表示为幅度，也称为傅里叶谱或频谱[F(u,V)/ = [R?(u, v) + [2(u, V)]1/2频谱，信息大小[I(u, v)相角相角，定位信息p(u,v) = arctanR(u, v)
极坐标下，二维DFT可表示为 𝐹 𝑢, 𝑣 = 𝐹(𝑢, 𝑣) 𝑒 𝑗𝜑(𝑢,𝑣) 幅度，也称为傅里叶谱或频谱 𝐹(𝑢, 𝑣) = 𝑅 2 𝑢, 𝑣 + 𝐼 2 (𝑢, 𝑣) 1/2 𝜑 𝑢, 𝑣 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝐼(𝑢, 𝑣) 𝑅(𝑢, 𝑣) 相角 §4.6 二维离散傅立叶变换的性质 傅里叶谱和相角 频谱，信息大小 相角，定位信息
s4.6二维离散傅立叶变换的性质原点在左上角，所以变换的原点区域包含了最高值周期性中心化该D(u,v) =谱，变换前原图log(1+F(u,v)D像乘以(-1)x+y
原点在左上角，所 以变换的原点区域 包含了最高值 周期性中心化该 谱，变换前原图 像乘以(−1) 𝑥+𝑦 §4.6 二维离散傅立叶变换的性质 𝐷 𝑢, 𝑣 = 𝑙𝑜𝑔(1 + 𝐹 𝑢, 𝑣 )