《材料物醒导纶》习题解谷 第五章材料的力学 1.一圆杆的直径为2.5mm、长度为25cm并受到4500N的轴向拉力,若直径拉细至2.4mm, 且拉伸变形后圆杆的体积不变,求在此拉力下的真应力、真应变、名义应力和名义应变, 并比较讨论这些计算结果。 解:根据题意可得下表 拉伸前后圆杆相关参数表 体积Vm2直径d/m圆面积S/m2 拉伸前1227.2 4.909 拉伸后1227.2 2.4 4.524 真应力ar=F 4500 =995(MPa) A4.524×10 真应变6=hn4=m4=h252=086 A2.4 名义应力G= 450 =917(MPa) Ao 4.909×10 名义应变s=MA 1=00851 由计算结果可知:真应力大于名义应力,真应变小于名义应变 2.一试样长40cm,宽10cm,厚1cm,受到应力为1000N拉力,其杨氏模量为3.5×109N/m 能伸长多少厘米? CLoad 解: F· 000×40 M=E10=E0-AE1×10×10-4×3.×109 =0.0114(Ccm) 3.一材料在室温时的杨氏模量为3.5×10N/m,泊松比为0.35,计算其剪切模量和体积模量。 解:根据E=2G(1+4)=3B(1-21)可知 剪切模量G=~ 3.5×10 = =1.3×10°(Pa)≈130(MPa) 2(1+)2(1+0.35) 体积模量B= 3.5×108 3(1-2)3(1-0.7) =39×108(Pa)≈390(MPa)
《材料物理导论》 习题解答 第五章 材料的力学 1. 一圆杆的直径为 2.5 mm、长度为 25cm 并受到 4500N 的轴向拉力，若直径拉细至 2.4mm， 且拉伸变形后圆杆的体积不变,求在此拉力下的真应力、真应变、名义应力和名义应变， 并比较讨论这些计算结果。 解：根据题意可得下表 由计算结果可知：真应力大于名义应力，真应变小于名义应变。 2. 一试样长 40cm,宽 10cm,厚 1cm，受到应力为 1000N 拉力，其杨氏模量为 3.5×109 N/m2， 能伸长多少厘米? 解： 3. 一材料在室温时的杨氏模量为 3.5×108 N/m2 ,泊松比为 0.35，计算其剪切模量和体积模量。 解：根据 可知： 拉伸前后圆杆相关参数表 体积 V/mm3 直径 d/mm 圆面积 S/mm2 拉伸前 1227.2 2.5 4.909 拉伸后 1227.2 2.4 4.524 1cm 10cm 40cm Load Load 0.0114( ) 1 10 10 3.5 10 1000 40 4 9 0 0 0 0 cm A E F l l E l l = = = = = − 0.0816 2.4 2.5 ln ln ln 2 2 0 0 1 = = = = A A l l T 真应变 917( ) 4.909 10 4500 6 0 MPa A F = = = − 名义应力 1 0.0851 0 0 = − = = A A l l 名义应变 995( ) 4.524 10 4500 6 MPa A F T = = = − 真应力 E = 2G(1+ ) = 3B(1− 2) 1.3 10 ( ) 130( ) 2(1 0.35) 3.5 10 2(1 ) 8 8 Pa MPa E G = + = + = 剪切模量 3.9 10 ( ) 390( ) 3(1 0.7) 3.5 10 3(1 2 ) 8 8 Pa MPa E B = − = − = 体积模量
《料物翟导纶》习题解谷 4.试证明应力应变曲线下的面积正比于拉伸试样所做的功。 面积S=od= f dl L7==,亦即Sx 或者: 做功W=[Fd=[2Aod=[ods=S,亦即W<S. 5.一陶瓷含体积百分比为95%的A12OE=380GPa)和5%的玻璃相(E=84GPa),试计算其 上限和下限弹性模量。若该陶瓷含有5%的气孔,再估算其上限和下限弹性模量 解:令E1=380GPa,E2=84GPa,V1=0.95,V2=0.05。则有 上限弹性模量EH=E1V1+E2V2=380×0.95+84×005=3652(GPa) 下限弹性模量冰M令。(095005-1=331GPa) 38084 当该陶瓷含有5%的气孔时,将P=0.05代入经验计算公式E=E(1-1.9P+0.9P2)可得,其上、 下限弹性模量分别变为331.3GPa和293.1GPa 试分别画出应力松弛和应变蠕变与时间的关系示意图,并算出t=0,t=∞和t=r时 的纵坐标表达式 解: Maxwell模型可以较好地模拟应力松弛过程: 其应力松弛曲线方程为:a(t)=o(0)e 则有:o(0)=(0)0(∞)=0,a()=a(0)e Ⅴoigt模型可以较好地模拟应变蠕变过程: 其蠕变曲线方程为:s(1)=(1-e)=E(∞)(-e) 则有:c(0)=0:s(∞)=;()=(1-e-) E E 应力松弛曲线 应变蠕变曲线
《材料物理导论》 习题解答 4. 试证明应力-应变曲线下的面积正比于拉伸试样所做的功。 证： 5. 一陶瓷含体积百分比为 95%的 Al2O3 (E = 380 GPa)和 5%的玻璃相(E = 84 GPa)，试计算其 上限和下限弹性模量。若该陶瓷含有 5 %的气孔，再估算其上限和下限弹性模量。 解：令 E1=380GPa,E2=84GPa,V1=0.95,V2=0.05。则有 当该陶瓷含有 5%的气孔时，将 P=0.05 代入经验计算公式 E=E0(1-1.9P+0.9P2 )可得，其上、 下限弹性模量分别变为 331.3 GPa 和 293.1 GPa。 6. 试分别画出应力松弛和应变蠕变与时间的关系示意图，并算出 t = 0,t = 和 t = 时 的纵坐标表达式。 解：Maxwell 模型可以较好地模拟应力松弛过程： Voigt 模型可以较好地模拟应变蠕变过程： , . , . 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 W Fdl A ld V d VS W S W S W V Fdl l V dl A F S d l l l l l l = = = = = = = = 做功 亦即 或者： 面积 亦即 380 0.95 84 0.05 365.2( ) 上限弹性模量EH = E1V1 + E2V2 = + = GPa ) 323.1( ) 84 0.05 380 0.95 ( ) ( 1 1 2 2 1 1 GPa E V E V EL = + = + = 下限弹性模量 − − (0) 0 ( ) ( ) (1 ). ( ) (1 ) ( )(1 ) 0 0 1 0 / / − − − = = = − = − = − e E E e e E t t t 则有： ； ； 其蠕变曲线方程为： (0) (0); ( ) 0; ( ) (0)/ . (t) (0)e-t/ e = = = = 则有： 其应力松弛曲线方程为： 0 1 2 3 4 5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 σ (t)/σ (0) t/τ 应 力松 弛 曲 线 0 1 2 3 4 5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ε (t)/ε (∞ ) t/τ 应 变 蠕 变 曲 线
《料物翟导纶》习题解谷 以上两种模型所描述的是最简单的情况,事实上由于材料力学性能的复杂性,我们会用 到用多个弹簧和多个黏壶通过串并联组合而成的复杂模型。如采用四元件模型来表示线性高 聚物的蠕变过程等。 7.试述温度和外力作用频率对聚合物力学损耗角正切的影响并画出相应的温度谱和频率谱。 解:(详见书本)。 8.一试样受到拉应力为1.0×10N/m2,10秒种后试样长度为原始长度的1.15倍,移去外力后 试样的长度为原始长度的1.10倍,若可用单一 Maxwell模型来描述,求其松弛时间τ值 解:根据 Maxwell模型有: E=61+6=+ E 可恢复 可恢复 依题意得 E=_1.0×103 61005=2×104(Pa) ot10×103×10 =1×10(Pa·s) 0.1 所以松弛时间T=n/E=1.0×10/2×10=5(s) 9.一非晶高聚物的蠕变行为可用一个 Maxwell模型和一个 Voigt模型串联描述,若t=0时施 以拉伸应力为1.0×10N/m2至10小时,应变为0.05,移去应力后的回复应变可描述为 E=(3+e)/100,t为小时,请估算该力学模型的四个参数值 解:据题即求如图E,E2,n2和n3四参数。如图所示有 E=h+2+63=+ (1-e-)+0 EE 7 其中ε1立即回复,ε2逐渐回复,ε3不能回复。 E1=0=0.05-(3+e0)/100=0.01 Ex 1.0×10 36000=(3+e)/100=003 737 E,=0.05-0.03-0.01=0.01 n3.E
《材料物理导论》 习题解答 以上两种模型所描述的是最简单的情况，事实上由于材料力学性能的复杂性，我们会用 到用多个弹簧和多个黏壶通过串并联组合而成的复杂模型。如采用四元件模型来表示线性高 聚物的蠕变过程等。 7. 试述温度和外力作用频率对聚合物力学损耗角正切的影响并画出相应的温度谱和频率谱。 解：（详见书本）。 8. 一试样受到拉应力为 1.0×103 N/m2 ,10 秒种后试样长度为原始长度的 1.15 倍,移去外力后 试样的长度为原始长度的 1.10 倍,若可用单一 Maxwell 模型来描述,求其松弛时间τ值。 解：根据 Maxwell 模型有： 可恢复 不可恢复 依题意得： 所以松弛时间τ=η/E=1.0×105 /2×104 =5(s). 9. 一非晶高聚物的蠕变行为可用一个 Maxwell 模型和一个 Voigt 模型串联描述，若 t=0 时施 以拉伸应力为 1.0×104 N/m2 至 10 小时,应变为 0.05,移去应力后的回复应变可描述为 (3 )/100 10 t e − = + ,t 为小时，请估算该力学模型的四个参数值。 解：据题即求如图 E1,E2,η2 和η3 四参数。如图所示有 其中ε1 立即回复，ε2 逐渐回复，ε3 不能回复。 = + = + = = t E 1 2 1 2 η3,ε 3 η2,ε 2 E2,ε2 E1,ε1 e t E E t 3 / 0 2 0 1 0 1 2 3 (1 ) = + + = + − + − = − − = = + = = = = = − + = − − 0.05 0.03 0.01 0.01 36000 (3 )/100 0.03 1.0 10 0.05 (3 )/100 0.01 2 1 0 3 4 3 0 3 1 0 1 0 1 0 1 t e e E = = = = = = 1 10 ( ) 0.1 1.0 10 10 2 10 ( ) 0.05 1.0 10 5 3 2 4 3 1 Pa s t E Pa
《料物翟导纶》习题解谷 E,=10×104 =1.0×10°(Pa 10×10×360012×10°(Pas) 0.03 Voigt的回复方程为:E= Eo exp(-1/r),这里t为从回复时算起,而题目的t为从开始拉 伸时算起,所以此题的回复方程为:E=E0exp( 排除立即恢复后的应变,应变的回复方程就可写成 E0=(005-0.01-003)exp(-)+0.03,得出=3600,(与E=(3+e)/100相比) 62=10×100--)=001:E1=10×10°Pn2=E1x=36×10°Pas 10.当取Tg为参考温度时10gar= c1(T-T,) 中的C1=17.44C2=51.6,求以Tg+50℃为参 考温度时WF方程中的常数C1和C2 解: 2.303fg =1744是常数,是7时的自由体积百分数) 516(B是自由体积在T以上的热膨胀系数) 101.6 又有=f+B(7-)→Jg50=fg+50B516 17.44 ∴以T+50°C为参考时有 1016/516886 101.6 251.651.6=101.6 11.一圆柱形A12O3晶体受轴向拉力F,若其临界抗剪强度τ;为135 MPa,求沿图中所示之方向的滑移系统产生滑移时需要的最小 拉力值,并求滑移面的法向应力 解:由题意得图示方向滑移系统的剪切强度可表示为: Fcos53° cos60° 000152 r×000152 317×103(N) cos53°×cos60 此拉力下的法向应力为 3.17×103×cos60 000152z/cos60° =1.12×10°(Pa)=112(MPa)
《材料物理导论》 习题解答 Voigt 的回复方程为： exp( / ) ( ) 0 t t = − ，这里 t 为从回复时算起，而题目的 t 为从开始拉 伸时算起，所以此题的回复方程为： ) 10 exp( ( ) 0 t t − = 排 除 立 即 恢 复 后 的 应 变 ， 应 变 的 回 复 方 程 就 可 写 成 e E Pa E Pa s e t t t = = = = + − = − − − − 9 2 2 6 2 1 0 2 4 2 1 0 ( ) 1 ) 0.01, 1.0 10 , 3.6 10 E 1.0 10 ) 0.03, 3600s 3 )/100 10 (0.05 0.01 0.03) exp( ＝ （－ 得出 ＝ ，（与 ＝（ ＋ 相比） 10. 当取 Tg 为参考温度时 log ( ) ( )s s T c T T c T T + − − − = 2 1 中的 C1=17.44,C2=51.6，求以 Tg+50℃为参 考温度时 WLF 方程中的常数 C1 和 C2。 解： 11. 一圆柱形 Al2O3 晶体受轴向拉力 F，若其临界抗剪强度τf为 135 MPa,求沿图中所示之方向的滑移系统产生滑移时需要的最小 拉力值，并求滑移面的法向应力。 解： = = = = 1.2 10 ( ) 0.03 1.0 10 36000 1.0 10 ( ) 0.01 1.0 10 10 4 3 6 4 1 Pa s E Pa F τ τ N τ 53° 60° Ф3mm = = = = + = + − = + = = = = = + 51.6 101.6 51.6 101.6 8.86 101.6 / 51.6 17.44 50 51.6 101.6 ( ) 50 51.6( ) 17.44( ) 2.303 2 1 5 0 2 1 C C T C f f B T T f f B f B T B f C B f T f B C g g f g g g f g f g f g g g g 以 为参考时有 又有 是自由体积在 以上的热膨胀系数 是常数， 是 时的自由体积百分数 1.12 10 ( ) 112( ) 0.0015 / cos60 3.17 10 cos 60 3.17 10 ( ) cos53 cos60 0.0015 cos60 0.0015 cos53 8 2 3 3 2 min 2 Pa MPa F N F f = = = = = = 此拉力下的法向应力为： 由题意得图示方向滑移系统的剪切强度可表示为：
《料物翟导纶》习题解谷 12.拉伸某试样得到如下表的数据,试作σ-E曲线图,并估算杨氏模量、屈服应力和屈服时的 伸长率以及抗张强度 E×103 10 40 ×10Pa 50 500 9501250147015651690 E×10 70 100 120 150 a×104Pa16601500140013801380(断) 点 扬氏模量E= ,由图中未达屈服点时线段的斜率可求出。σ=σ(图中可以读出),屈 服时伸长率即为屈服点的应变,断裂时对应的即是抗张强度。 13.氦原子的动能是E=kT(式中波尔兹曼常数k=1.38x1023J/K),求T=1K时氦原子的物 质波的波长。 根E=,kT=m2 P=mv=h/n h 6.6×10-34 n=h/p =1.26×10-(m)=126(mm) mkt ×1.38×10-23×1 6.02×10 14.利用 Sommerfeld的量子化条件,求一维谐振子的能量 2 解:∵一维谐振子的能量E= mo2x2= =1相当于一个椭圆 2m2 2mE 2E/mo 根据 Sommerfeld量子化条件有 手Pk=x√2mE2E/m2=26=mh(这时手P相当于椭圆的面积) →E=mho(n=1,2,3,…)
《材料物理导论》 习题解答 12. 拉伸某试样得到如下表的数据,试作 − 曲线图,并估算杨氏模量、屈服应力和屈服时的 伸长率以及抗张强度。 扬氏模量 E = ,由图中未达屈服点时线段的斜率可求出。 = 屈服点 （图中可以读出），屈 服时伸长率即为屈服点的应变，断裂时对应的即是抗张强度。 13. 氦原子的动能是 E= 2 3 kT(式中波尔兹曼常数 k=1.38x10-23 J/K)，求 T = 1 K 时氦原子的物 质波的波长。 解： 14. 利用 Sommerfeld 的量子化条件，求一维谐振子的能量。 解： 3 10 5 10 20 30 40 50 60 Pa 4 10 250 500 950 1250 1470 1565 1690 3 10 70 80 90 100 120 150 Pa 4 10 1660 1500 1400 1380 1380(断) ε 屈服点 1.26 10 ( ) 12.6( ) 1.38 10 1 6.02 10 4 10 3 6.6 10 3 / / 2 1 2 3 9 2 3 2 3 3 3 4 2 m nm mkT h h P P m v h E k T m v = = = = = = = = = − − − − 根据 ( 1,2,3, ) 2 2 2 / 1 2 2 2 / 1 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = = = = + + = E n n nh P dx E P dx m E E m Sommerfeld E m x m E P m x m P E x x （这时 相当于椭圆的面积） 根据 量子化条件有： 一维谐振子的能量 相当于一个椭圆
《料物翟导纶》习题解谷 15波函数的几率流密度J=v-wVv),取球面坐标时,算符 V=+ k r rSO,求定态波函数W=e的几率流密 且Vv=i ikr-1 Vy=i ikr-1 i ih i (-2ikr) hk 2m 16.一粒子在一维势阱中运动,势阱为 U>0 (x) 求東缚态(0<E<U)的能级所满足的方程 ≤ 解:因为 p(x)=Ae+ A 对于x≤-a时,o(x)不能无穷大,A=0 同理,x≥a时,A=0 根据题意可得波函数: )=Aexp[a、2m(E dImE v2(x)=B1 8xmE、1/2 x+ b sin( h y3(x)=Cet-(2mE-00)…x≥a 2m-0=、2mE则上述函数可简化为 x)= Aexp(k, x) 2(x)=B1cos(k,x)+B,sm(k2x)…≤a (x)=Cexp(-k1x)…x≥a 由“连续性”可得v1(-a)=v2(-a,v1(-a)=v2(-av2(a)=v2(a)v2(a)=v3(a) Aexp(k, a)=B, cos(k a)-B, sin(k, 4)=2152)+222 Cexp( a)
《材料物理导论》 习题解答 15. 波函数的几率流密度 = ( − ) m i 2 J ，取球面坐标时，算符 + + = sin 1 1 r r r i r j k ，求定态波函数 ikr e r 1 = 的几率流密度。 解： 16. 一粒子在一维势阱中运动，势阱为 = x a U x a U x o 0, 0, ( ) 求束缚态(0 < E < U0)的能级所满足的方程。 解：因为 x a A 0 ( ) A 0 ( ) ' 同理， 时， ＝ 对于 时， 不能无穷大， ‘＝ − = + − x a x x Ae A e kx kx ( ) r r ikr r ikr r ikr ikr mr k r ikr m i m i e r ikr e r ikr e r e r i i J i i 3 2 2 * 2 * ( 2 ) 2 2 1 , 1 1 , 1 = − = − = − − = − = = = − − 且 − − = − + − = + − = + − = − − = − − = − = = = − = + = − = − = = − − = + = − − ) (4) 2 cos( 2 2 ) 2 sin( 2 1 ) 1 exp( 1 ) (3) 2 sin( 2 ) 2 cos( 1 ) 1 exp( ) (2) 2 cos( 2 2 ) 2 sin( 2 1 ) 1 exp( 1 ) (1) 2 sin( 2 ) 2 cos( 1 ) 1 exp( ( ) ' 3 ( ) ' 2 ( ), 3 ( ) 2 ( ); ' 2 ( ) ' 1 ( ), 2 ( ) 1 ) 1 ( ) exp( 3 ) 2 sin( 2 ) 2 cos( 1 ( ) 2 ) 1 ( ) exp( 1 , 2 2 , ) 0 2 ( 1 ) ] 0 ( ) exp[ 2 ( 3 1/ 2 ) 2 2 8 sin( 2 1/ 2 ) 2 2 8 cos( 1 ( ) 2 ) ] 0 ( ) exp[ 2 ( 1 C k k a k B k a k B k a C k a B k a B k a Ak k a k B k a k B k a A k a B k a B k a a a a a a a a a x C k x x a x B k x B k x x a x A k x x a m E k i m E U k x a x x C i m E U x x a h m E x B h m E x B x a x x A i m E U 由“连续性”可得 令 则上述波函数可简化为： 根据题意可得波函数：
《料物翟导纶》习题解谷 由(1)+(2)得:(4+C)exp(-k1a)=2B1cos(k2a) (2)-(4):k1(A+C)exp(-k2a)=2k2B1Sm(k2a) 由(6)/5):k1=k2g(k2a 其成立条件为:A+C≠0且B1≠0 由(3)-(1)得到公式(7),(4)+(2)得到公式(8) (8)/(7):-k1=k2cg(k2a) 其成立条件为:A-C≠0且B,≠0 第一类,4成立,由A-C=0,B2=0得出相应的o(x) 第二类B)成立,由A+C=0,B1=0得出相应的o(x)
《材料物理导论》 习题解答 ( ) 0, 0 ( ) ( ) 0, 0 ( ) (8)/(7) : ( )......................( )................. 0 0 (3) (1) 7 (4) (2) (8) (6)/(5) : ( ),.....................( ).................. 0 0 (2) (4) : ( ) exp( ) 2 sin( )...............(6) (1) (2) ( ) exp( ) 2 cos( )...............(5) 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 B A C B x A A C B x k k ctg k a B A C B k k t g k a A A C B k A C k a k B k a A C k a B k a 第二类， 成立，由 得出相应的 第一类， 成立，由 得出相应的 其成立条件为： 且 由 得到公式（ ）， 得到公式 由 其成立条件为： 且 由 得： + = = − = = − = − − + = + − + − = + + − =