练习 1解方程z2-2iz-5=0 1 2求z=(1+i)4的值 3证明三角形的内角和等于兀 4设=a+b证明a2+b2=1,(x,y,a,b∈R) x=ly 5指出下列方程的图形,并指出是何种曲线 1)z=1+i,0≤t≤1;2)z=3e2m,0≤t≤1; 3)z=1+i+t2,0≤t≤1
1 2 5 0. − − = iz 解方程 z2 1 4 2 (1 ) z i = + . 求 的值. 3 证明三角形的内角和等于 . x iy a bi a b x y a b R x iy + = + + = − 2 2 4 , 1 ,( , , , ). 设 证明 5 , . 指出下列方程的图形并指出是何种曲线 1) 1 , 0 1; z it t = + 2 2) 3 , 0 1; t i z e t = 2 3) 1 , 0 1; z it t t = + + 练习
证设三角形三个顶点分别为z1,2,3,对应的 三个顶角分别为a,B,y a = arg B=arg°2,y=arg 3 2 2 3 Z∠ arg 2 t arg 3 2 +ar g =arg(-1)+2k兀 3 3 2-3 0<a,B,y<x∴0<a+B+y<3兀 ∴a+B+y=丌
1 2 3 , , , , , . z z z 证 设三角形三个顶点分别为 对应的 三个顶角分别为 2 1 3 1 arg , z z z z − = − 3 2 1 2 arg , z z z z − = − 1 3 2 3 arg z z z z − = − 2 1 3 2 1 3 3 1 1 2 2 3 1 z z z z z z z z z z z z − − − = − − − − 2 1 3 2 1 3 3 1 1 2 2 3 arg arg arg arg( 1) 2 z z z z z z k z z z z z z − − − + + = − + − − − 0 , , + + 0 3 + + = z1 z 2 z 3 γ β α
二元函数的定义 定义设D是平面上的一个点集,如果对于每个点 P(x,y)∈D变量按照一定法则总有确定的值 和它对应,则称z是变量x、y的二元函数,记 为 z=∫(x,y) 点集D称为该函数的定义域,x,y称为自变量, z也称为因变量,{x=f(x)(x,)∈D称为 该函数的值域 平面点集D 实数点集
二元函数的定义 ( ) ( ) ( ) ( ) . , , , , , , , D P x y D z z x y z f x y D x y z z z f x y x y D = = 定义 设 是平面上的一个点集，如果对于每个点 变量 按照一定法则总有确定的值 和它对应，则称 是变量 、 的二元函数，记 为 点集 称为该函数的定义域， 称为自变量， 也称为因变量， 称为 该函数的值域 平面点集D 实数点集 z f x y = ( , )
二元函数的极限 (一)二重极限的定义 设函数∫(x,y)在区域D内有定义,4是常数, 如果对于任意给定的正数E,总存在一个正数, 使得对于满足 00)
二元函数的极限 （一） 二重极限的定义 设函数 A是常数， 如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ， 使得对于满足 0＜|PP0 |= ＜δ 的一切点 都有 成立，则称常数A为函数 当 时的极限，记为 2 2 0 0 ( ) ( ) x x y y − + − P x y D ( , ) ， f x y D ( , )在区域 内有定义， f x y A ( , ) − f x y ( , ) 0 x x → , 0 y y → ( ) ( ) ( ) 0 0 lim , , 0 x x y y f x y A f x y A → → = → → 或
解释: 0<P|=Vx-x)2+(-1)2<f(x,y)→A
解释：δ P0··P ·P P · f x y A ( , ) → δ P 0· 2 2 0 0 0 0 ( ) ( ) = − + − PP x x y y
结论 当点P以任意方向趋向于P时,函数 趋于同一确定的值,则函数极限存 在 如点P沿不同的路径趋于点P时,函 数趋向于不同的值,则函数的极限 不存在
结论 当点P以任意方向趋向于P0时，函数 趋于同一确定 的值，则函数极限存 在。 如点P沿不同的路径趋于点P0时，函 数趋 向于不同的值，则函数的极限 不存在
x2+y2≠0 例4f(x,)={x2+y2 x-十 研究极限im∫(x,y) J少→≯0 解沿直线y=kx趋于0,有 x·(kr k 2 2 0x2+(k 1+k2 y=lx->0 y=hx0 a)2 当k取不同的值时,即沿桐方向趋于0 时,得到不同的值,故限不存在 注:当沿轴或y轴趋于0时,得到相同的值 但极限并不存在
解 ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 2 0 0 0 lim lim x x 1 y kx y kx y kx x y k x kx x y k x kx → → = → = → = = = + + + 沿直线 趋于 ，有 ( ) ( ) 例4 研究极限 . 2 2 2 2 2 2 0 0 , 0, , 0, 0. lim , x y xy x y f x y x y x y f x y → → + = + + = . 0 时，得到不同的值，故极限不存在 当k取不同的值时，即沿不同方向趋于 . 0 但极限并不存在 注：当沿x轴 或y轴趋于 时，得到相同的值
例5设(x,y)=(x2+y2)sin=2( x2+y2≠0 十 求证Iim∫(x,y)=0 证x2+y2)sin 0 r t y 2 x+y|·Sin ≤|x+y r ty B>0,取=√,则当 0<(x-0)+(y-0)<d 时,有 x+y sin- 0<E 证毕
( ) ( ) ( ) ( ) 例5 设 求证 2 2 2 2 2 2 00 1 , sin 0 lim , 0. xy f x y x y x y x y f x y →→ = + + + = 2 2 2 2 1 sin x y x y + = + ( ) 2 2 2 2 1 x y sin 0 x y + − + 2 2 + x y 证 ( ) ( ) 时，有 取 ，则当 − + − = 2 2 0 0 0 0, x y ( ) 2 2 2 2 1 x y sin 0 x y + − + 证毕
sin(x+y) 例6求limx2+y x→>0 y->0 解令u=x2+y2 sinu 原式=lim →>0
例6 求 2 2 2 2 0 0 sin( ) lim x y x y y x + + → → 解 令 u= x 2 + y 2 0 sin lim 1 u u → u 原式 = =
复数与复变函数 复数与复数的运算 二、复变函数的概念 复变函数的极限 四、复变函数的连续性
复数与复变函数 一、复数与复数的运算 二、复变函数的概念 三、复变函数的极限 四、复变函数的连续性