解析函数 导数 解析 、初等函数
解析函数 ⚫ 一、导数 ⚫ 二、解析 ⚫ 三、初等函数
问题 (1)指数函数,对数函数幂函数,三角函数,双 曲函数等如何定义?分别有什么性质?分别与对 应的实函数有何区别与联系? (2)下列各式是否恒成立? 1)e2>0, 2)|sinz≤1, 3)Lna=bina 4)Lnz,+ Lnz=2Lnz
(1) , , 指数函数 对数函数 幂函数,三角函数,双 曲函数等如何定义?分别有什么性质?分别与对 应的实函数有何区别与联系? 1 1 1 ( 2) ? 1) 0, 2) | sin | 1, 3) 4) 2 z b e z Lna bLna Lnz Lnz Lnz = + = 下列各式是否恒成立 问题
指数函数 定义:设z=x+j称w=e(cosy+ tSIn y)为指数函数 性质1)当mz=0,则e2=e是实函数的指数函数 2)在面上每一点:|e=e≠0,故e≠0 3服从加法定律:e+=ee2 e2l.el=e(cosy, tisin y,) e(cosy2 +isin y2 =e1[cos(v+y2)+isin (v,+y2) =已
1 指数函数 1 2 1 2 3) z z z z e e e + 服从加法定律: = 2) | | 0, 0. z x z 在 面上每一点: 故 z e e e = 1) Im 0, z x 性质 当 则 是实函数的指数函数. z e e = = , (cos sin ) . x 定义:设 称 为指数函数 z x iy w e y i y = + = + 1 2 1 2 1 1 2 2 ( sin ) ( sin ) z z x x e e e cosy i y e cosy i y = + + 1 2 1 2 1 2 [ ( ) sin( )] x x e cos y y i y y + = + + + 1 2 z z e + =
4)e2=e2+2Mn,k=0,±1,±2,…2有周期2ki 2Ti cOS2丌+isin2兀 5)e=e2台孙1=3,+2ki 3丌i+2zi 形1 0 0 2Ti 3Ti
2 4) , 0, 1, 2, . z z k i e e k + = = 2 . z e k i 有周期 1 2 1 2 5) 2 . z z e e z z k i = = + 2 cos2 sin2 , i e i = + 0 x y 0 u v i − i 3 i − 3 i z z i + 2 z i − 2 w z w e =
6)e在复平面内处处解析,且(e2)=e2 考察=e的映射特点(-z<Imz≤x) 设x=x+i,w=pe i8 y e x+=· 从而 e0=e1=y+0(k为整数) 面上的直线x=x经w=e映射为v面上 的圆周:P=e”即|w|=e
6) ( ) z z z e e e 在复平面内处处解析,且 . = , i z x iy w e 设 = + = ( Im ) z 考察 的映射特点 w e z = − i z e e = x iy e + = x iy = e e x i iy e e e = = 从而 ( ) x e y i k = = + 或 为整数 0 z z x x w e w 面上的直线 经 映射为 面上 = = 的圆周: 0 x = e 0 | | x 即 w e =
当x在(-∞,+)内连续地由小变大时,对 应的圆周就连续地扫过面上除原点O外的 多连通域:0<|w+ x面上的直线y=y经w=e映射为v面上 的射线:6=y+2A(k为整数) y yI 入火信 0
0 : z z y y w e w 面上的直线 经 映射为 面上 = = 的射线 0 = + y k k 2 ( ) 为整数 0 x , w O 当 在(- ,+ )内连续地由小变大时 对 应的圆周就连续地扫过 面上除原点 外的 多连通域: 0 | | + w o y x v o u 2 | | x w e = x 1 x 2 1 | | x y 1 w e = y 2 y 0
=e将面上的带形区域 x<Imz<兀 内的点 0<Rez<+0 对应地映射为v面上的区域 兀<argw<丌 内的点 <wk<+
z w e z = 将 面上的带形区域 Im Re z z − − + 内的点 一一对应地映射为 面上的区域 w arg . | | w w − − + 内的点
例1证f(z)=e2不是a的解析函数 证令z=x+j f(a)=u+iv=e se cos(-y)+isin(y) e cos y-le sin y u=e cos, v=-e sin y Ⅱt= e cos y,v== e sin y L e sin y, - e cos y e≠0,∴只有 元 y=。+k丌, 才有u,=v 2 e不是的解析函数
1 ( ) z 例 证 不是 的解析函数. f z e z = 证 令z x iy = + ( ) x iy f z u iv e − = + = [cos( ) sin( )] x = − + − e y i y cos sin x x = − e y ie y cos , x = u e y sin x v e y = − cos , x = u e y x sin . x x v e y = − sin , x u e y y = − cos . x y v e y = − 0, x e , . 2 x y y k u v = + = 只有 才有 z e z 不是 的解析函数
例2当沿过原点直线前进时,讨论lime2 z→0 解令rgz=6,x=x+i=re,则e|=e=eo 1)当-0, 2 lime rcos e =o,∴lime=o. 2)当-0 3)当=±,即x=0, e2=e=cosy± tSin y没有确定的极限值
, . lim z z z e → 例2 当 沿过原点直线前进时 讨论 解 令Argz = , 1) ,cos 0, 2 2 当 时 − cos , lim r r e → = , i z x iy re = + = cos | | . z x r e e e 则 = = . lim z z e → = 2) ,cos 0, 2 2 当 或 时 − − cos 0, lim r r e → = 0. lim z z e → = 3) , 0, 2 x 当 即 = = cos sin z iy e e y i y = = 没有确定的极限值
次下幻 定义:称z=e"(z≠0)的反函数w=f(z)为对数函数 记为w=Lmz. 设z=re0=re(0+2kn,-丌<日≤z,(k=0,±1,) 又设=u+iv,则e+=re(0+2x) ∴=lnr,p=6+2/x w=In 3 +iArga 因辐角是多值函数,则w是无穷多值函数,每 两个值相差2πi的整数倍
2 对数函数 ( 0) ( ) . w 定义:称 的反函数 为对数函数 z e z w f z = = 记为 w Lnz = . ( 2 ) , ,( 0, 1, ) i i k z re re k + 设 = = − = 又设w u iv = + , (2) , u iv i k e re + + 则 = = = + u r v k ln , 2 = + w z iArgz ln | | . 因辐角是多值函数,则w是无穷多值函数,每 两个值相差2 i 的整数倍
