级数 复数项级 数 二、幂级数 、泰勒级数 四、洛朗级数
级数 ⚫ 一、复数项级 数 ⚫ 二、幂级数 ⚫ 三、泰勒级数 ⚫ 四、洛朗级数
设f(z)在区域D解析,为D内一点d为x0到 D的边界上各点的最短距离,当kz-70<d时, n f()=∑ 0 ni n=0 此级数称为f(x)以z0为中心的泰勒级数 将f(z展成这样的级数称为将f(z)在z=泰勒展开 当z=0时,分别称为马克劳林级数,马克劳林展开
1、定理 0 0 ( ) D , D ,d , , 0 ( ) 0 0 0 - ( ) ( ) ( ) ! n n n f z z z D z z f z f z z z n = = − 设 在区域 解析 为 内一点 为 到 的边界上各点的最短距离 当 <d时 0 此级数称为 以 为中心的泰勒级数 f z z ( ) . . 0 将 展成这样的级数称为将 在 泰勒展开 f z f z z z ( ) ( ) = 当z = 0时, . 分别称为马克劳林级数,马克劳林展开
fx)=1f15 d 1f(5)1 2ni 2元i 1f(5)1,z-0 ()+…+(。)+ 0+…Jde 元 Z-Z 0 0
0 0 0 1 1 1 2 2 k k 1 f ( ) f ( ) f ( z ) d . d i z i z z z z = = − − − − − 2 0 n 0 0 0 n-1 0 0 0 0 0 ( ) 1 [1 ( )+ +( ) + + ] 2 k 1 z - z f ( ) z - z z - z z d i z z z z - z z − = + − − − − −
2、基物导豳数的缴教刻 z=1+x++…+-+…,孔<+0 2! 2n-1 SInz= z 十∴十 (-1)-1 <+o 3! (2 1)! C0s=1-°,+…+(-1) <+o 2! (2n)! =1-x+ 2 +(-1) nn <1 1+
2、基本初等函数的幂级数展开式 2 2 1 , 2! ! z z z e z z n = + + + + + + 2 2 1 1 sin ( 1) , 3! (2 1)! n z z n z z z n − − = − + + − + + − 2 2 cos 1 ( 1) , 2! (2 )! n z z n z z n = − + + − + + 1 2 1 ( 1) , 1 1 n n z z z z z = − + − + − + +
例1把下列函数展成z的幂级数,求其收敛半径 (1)∫(z) (2)f(z)=ln(1+z) 1+z) 解(1) (1+z) 1 -1-z+(-z)2+…+(-x)2+…y 1-2z+3z2+…+(-1)2+1mzn++ ∑(-1)"(n+1z(R=1) (1+z) =0
2 1 1 ( ) ( ) ln(1 ) (1 ) z f z f z z z = = + + 例1 把下列函数展成 的幂级数 求其收敛半径 （ ） , . (2) (1) 2 2 2 1 1 1 1 ( ) (1 ) 1 [ 1 ( ) ( ) ] 1 2 3 ( 1) , n n n z z z z z z z nz + − = − + + = − − + − + + − + = − + + + − + 解 2 0 1 ( 1) ( 1) ( 1) (1 ) n n n n z R z = = − + = +
(2)∵在|zi内 dz=In(1+z) 01+ 又 1 da 1-z+x+…(-x)+…|tk 01+z 2 03 +2+…+(-D1 n+1 23 n+1 In(1+z)=z ++…+(-1)、1 n+1 23 n+1 (R=1)
(2) 0 | | 1 1 ln(1 ) 1 z z dz z z = + + 在 内 2 0 0 2 3 1 1 [1 ( ) ] 1 1 ( 1) 2 3 1 z z n n n dz z z z dz z z z z z n + = − + + − + + = − + + + − + + 又 ln( 2 3 1 1 1 ) ( 1) 2 3 1 ( 1) z z n n z z z n R + + = − + + + − + + =
练习 1求 在z=1的泰勒展开式,并求收敛半径 (z+2) 2求fx)=sin2的马克劳林展开式 解1 z+2 +2、 1+(1+z) =1-21(z-1)+(z-1)2+…+(-1)(z-1) n z+2 1+2(z-1)-(z-1)2+…+(-1)n(z-1)”+
2 2 求 的马克劳林展开式 f ( z ) sin z = . 0 1 , . 2 z z ( z ) = + 1 求 在 的泰勒展开式 并求收敛半径 2 2 1 1 1 2 2 1 (1+z) z z z = − = − + + + 解 ( ) 2 1 2[1 1 1 1 1 ] 2 n z n ( z ) ( z ) ( ) z z = − − − + − + + − − + + 2 1 1 2 1 1 1 1 n n ( z ) ( z ) ( ) ( z ) − = − + − − − + + − − + 练习
2.sin*z= cos 2 22 (-1)226 2k k=0 (2k)! 1、(-1) k-12k 2 SI (1 2k Inza COS2元 2 (2k)! 2 45
2 1 1 2 sin 2 2 2 z cos z = − 2 2 k=0 1 2 cos2 = 2 k k k ( ) z z ( k )! − 1 2 2 k=1 2 4 6 1 1 1 2 sin2 = 1 2 2 2 2 1 2 3 45 k k k ( ) z ( cos z ) z ( k )! z z z − − − = = − + +
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f(z) 能否展成n=0,zn=1幂级数形式 (1+z) f(z在0<2<1有 11 f(z) =-+1++x+… x(1-3) x人 在0<z-1<有 f(z) (1 y z1-(1-) (1-x)+(1-3)+…] (1-z)+1+(1-3)+
0 0 1 0, 1 ? 1 f ( z ) z z z( z ) = = = + 能否展成 的幂级数形式 f ( z )在0 内有 < z 1 , 1 1 1 1 2 1 (1 ) 1 f ( z ) z z z z z z z = = + = + + + + − − 在 内有 0< 1 1 , z − 111 [ ] (1 ) 1 1 1 f ( z ) z z z ( z ) = = − − − − 1 2 [1 1 1 ] 1 ( z ) ( z ) z = + − + − + − 1 ( z ) ( z ) 1 1 1 − = − + + − +