《电路分析基础》课程教学资源（PPT课件讲稿）练习题5

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复变函数的积分

复变函数的积分 复变函数积分的概念与性 质 二、柯西一古萨定理 原函数与不定积分 四、柯西积分公式 五、解析函数的高阶导数 六、解析函数与调和函数

复变函数的积分 ⚫ 一、复变函数积分的概念与性 质 ⚫ 二、柯西—古萨定理 ⚫ 三、原函数与不定积分 ⚫ 四、柯西积分公式 ⚫ 五、解析函数的高阶导数 ⚫ 六、解析函数与调和函数

江√ 设函数w=f(x)定义在 区域D上,C是D内的光滑 有向曲线,起点为a,终点 为B。把C任意分为n个弧s 段,分点为:a=z,z1 ■■E mn,znB,在每个小弧段 0 K-Iwk 上任取的一点点k, 作和式 Sn=∑f(9k)(k-1)=∑∫(5k)△ =1

. z2 Zn-1 . z1 . . Zk . Zk-1 β α 1 1 1 ( )( ) ( ) n n n k k k k k k k S f z z f z   − = = = − =    0 y x . ξn . ξ2 . ξ1 . ξk （一）复积分的定义 ⚫ 设函数 w = f (z )定义在 区域D上，C是D内的光滑 有向曲线，起点为α，终点 为β 。把C 任意分为n 个弧 段，分点为:α= z0 ,z1 , …, zn-1 ，zn =β,在每个小弧段 ⚫ 上任取的一点ξk ， 作和式 k k 1 z z −

厘次平 其中△k=-k1,记△sk=弧段 k1zk的长度,δ=mx{Ask(sk≤m),当n 无限增加且δ趋于0时,不论对C如何分法 及如何取法,S有唯一的极限,则定 义∫(z)沿曲线C的积分为: f(alz=lim∑f(5k)Ak δ→>0k=1

其中△zk= zk – zk-1 ，记△ sk = 弧段 的长度， δ= max{△sk }(1≤k≤n) ,当n 无限增加且δ趋于0 时，不论对C 如何分法 ，及ξk如何取法，Sn有唯一的极限，则定 义 f (z ) 沿曲线C 的积分为: 0 1 ( ) lim ( ) n c k k k f z dz f z   → =  =   （一）复积分的定义 k k 1 z z −

定理若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿曲线c连续,则 f(x)沿e可积,且「f(x)=』ut-w+』w+wy 证设5k=5k+imn △ y,,十 k k k-1 k k k-1 x2-x-1+i(y4-y k )=△x+i△y ∑∫(5)△k=∑[u(6k,k)+iv(5k,7k)列(△xk+iy k=1 =lu(sk,nkAxk-v(sk, nk)AvkI +iIV(Sk, nk)ak +u(sk, nk )AykI k=1

（二）计算公式一 ( ) ( , ) ( , ) , ( ) , ( ) c c c f z u x y iv x y c f z c f z dz udx vdy i vdx udy = +    = − + + 定理 若 沿曲线 连续 则 沿 可积 且 , k k k 证 设   = + i 1 1 1 ( ) k k k k k k k z z z x iy x iy  = − = − − + − − − 1 1 ( ) k k k k x x i y y = − + − − − k k = +  x i y 1 1 ( ) [ ( , ) ( , )]( ) n n k k k k k k k k k k f z u iv x i y      = =   = +  +   1 1 [ ( , ) ( , ) ] [ ( , ) ( , ) ] n k k k k k k k n k k k k k k k u x v y i v x u y         = = =  −  +  +   

如果曲线C由参数方程表示: z=x(t)=x(t)+it)a≤b,其中a对应曲 线的起点,b对应曲线的终点,t增加的方向是 曲线的正方向,则∫。f(2k= SofIa(olz(ot ∫.f(z)kz=J{lx(),y()x(t)-叫x(t,y(O)ydt +i{叫x(1,y()x()+x(1,y()y()dt LuIx(t), y(tl+iv(x(t), y(t13.[x'(r)+iy'(o)ldt JofIz'(].i'(0)dt

z = z( t ) = x( t )+iy( t ) (a≤t≤b),其中a对应曲 线的起点，b对应曲线的终点，t 增加的方向是 曲线的正方向，则 ( ) [ ( )] ( ) b c a f z dz f z t z t dt =    如果曲线C由参数方程表示： ( ) { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )} { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )} b c a b a f z dz u x t y t x t v x t y t y t dt i v x t y t x t u x t y t y t dt = −   + +      { [ ( ), ( )] [ ( ), ( )]} [ ( ) ( )] b a = +  + u x t y t iv x t y t x t iy t dt    [ ( )] ( ) b a =  f z t z t dt    （二）计算公式二

da 例1计算∮ n+19 其中C以z为 中心,r为半径的正向崮,n为整数 2丌i,(n=0) n+1 0 0,(n≠0的整数) 2Tt-de 元 0.nine nce可 当n=0时,em=1,则 2ni n 当n≠时,则吃 元 n+1 (cos ne-isinne)d6=0

例1 计算 ，其中C 以 z0 为 中心，r为半径的正向圆周，n为整数. 1 0 ( ) c n dz z z + −  o x y z0 . 0 r : ,0 2 . i c z z re  解 的方程为 = +     2 1 1 ( 1) 0 0 ( ) i n n i n c dz ire d z z r e      = + + + −   2 0 n in i d r e   =   2 0 in n i e d r    − =  0 , 1, in n e−  当 时 = = 当 时 n  0 , 1 0 2 . ( )n c dz i z z  + = − 则  2 1 0 0 (cos sin ) 0. ( )n n c dz i n i n d z z r     + = − = − 则   1 0 2 , ( ) 0,( 0 ( ) 0) c n dz i n z z n  +  =  −  =   的整数

(出 1)∫f(x)kx=-Jf(x 2)』f()dz=k』f(atx(k为常数) 3)「「(z)+a(21z flzd,+f olid, f(5)△≤∑(5k)Ak∑|f(5k)|△Ak =1 k=1 =1 5)Jf()dz<Se f(z) dz=Self(z)ds 6若沿曲线c,f(x)M,L是c的长,则 If(z)dzs ML

（三）性质 ( ) c  f z dz ML  1) ( ) ( ) c c   f z dz f z dz = − − 2) ( ) ( ) ( ) c c   kf z dz k f z dz k = 为常数 3) ( ) ( ) ( ) ( )   c c c    f z g z dz f z dz g z dz  =  5) ( ) ( ) ( ) c c c    f z dz f z dz f z ds   = 1 2 4) ( ) ( ) ( ) ( ) n c c c c     f z dz f z dz f z dz f z dz = + + + 6) ,| ( )| , , 若沿曲线 是 的长 则 c f z M L c  1 1 1 ( ) | ( ) | | | | ( ) | n n n k k k k k k k k k f z f z f s    = = =         

例2试证|2|≤2其中C是连接i和2+i 的直线段 证∵c的参数方程为 2+i z=(1-D)i+t(2+i),(0≤t≤1) 012 即z=2t+i(0≤t≤1), 2沿c连续 且 z242+1s1,而c的长为2 2

2 | | 2. 2 . c dz c i i z 例2 试证 其中 是连接 和   + 的直线段 : z t i t i t = − + +   (1 ) (2 ),(0 1) 证 c的参数方程为 2 2 2 1 1 1 | | z z t | | 4 1 = = + 且 ,而 的长为 c 2. 即 z t i t = +   2 (0 1), 2 1 c . z 沿 连续  1 2 | | 2. c dz z    0 y 1 x i. . 2 2+i

例3计算∫Im(z)d 积分曲线C是: C (1)连接0到2+i的直线段;(2)由0(点0)到 2(点A),再由2到2+i(点B的折线段 解1)∵直线方程为:x=t,y=t,(0≤t≤2) z=t+i-t Imz tz=(1+-i)l ∫Imxd=(1+i)=1+i 2)线段O的方程为:y=0,(0≤x≤2),=x,dy=0, 线段A6方程为:x=2,(0≤y≤1),t=idv,dr=0 「Ⅷm=「+y=∫yidy=i/phy OA AB AB 2

例3 计算 ，积分曲线C是： (1)连接0到 2+i 的直线段；(2)由0(点O)到 2(点A)，再由2到 2+i (点B) 的折线段 . Im( ) c z dz  1 1) : , ,(0 2) 2 解 直线方程为 x t y t t = =   1 . 2  = + z t i t 1 Im , 2 z y t = = 1 (1 ) . 2 d z i dt = + 2 0 1 1 Im (1 ) 1 . c 2 2 2 t  = + = + zdz i dt i   2) : 0,(0 2), , 0, 线段 的方程为 OA y x dz dx dy =   = = 线段 的方程为 AB x y dz idy dx : 2,(0 1), , 0. =   = = Im c OA AB  = +    zdz ydz ydz AB =  yidy 1 0 . 2 i = = i ydy 