级
级 数
级数 复数项级 数 二、幂级数 泰勒级数 四、洛朗级数
级数 ⚫ 一、复数项级 数 ⚫ 二、幂级数 ⚫ 三、泰勒级数 ⚫ 四、洛朗级数
列 1复数列的定义 ●对非负整数n有一复数列A与之对应, 即ao、a1 A ●●●●● ●●●●●● 称为复数列,记 作{An,各An称为此数列的第m项
一 复项数列 ⚫ 对非负整数n有一复数列An与之对应， 即A0、A1、A2 ……An ……称为复数列，记 作{An}，各An 称为此数列的第n项. 1 复数列的定义
2复数列的极限定义 设{4l(n=1,2…)为一复数列,其中An= an+bn,A=a+ib是一复常数,如任给e>0, 都存在一个正数Na),使得当n>N时An A∞的 极限,记为 lim A= A 也称复数列收敛于A。 如{An}不收敛,则称n}为发散数列
⚫ 设{An }(n=1,2…)为一复数列，其中An= an+ibn，A= a+ib 是一复常数，如任给ε>0， 都存在一个正数N(ε)，使得当n > N时|An - A|∞的 极限 ,记为 lim n n A A → = 2 复数列的极限定义 如{An}不收敛，则称{An}为发散数列. ⚫ 也称复数列收敛于A
3极限存在的充要条件 定理:设{A}={an+沥n},(n=1,…,A=a+沥 limb. =b n→o lim n 证(→): lim a=A n→0 n→00 vE>0,3N(E)>0,当n>N时,有A1-4<E TA -A=a, +ibm -a-ib=an-a+i(bm, -b an-a< -a+i(b-b)<8 bm-b<am-a+i(bn -b)<8
{ } { },( 1,, ), , 定理: 设 A a ib n A a ib n n n = + = = + = = → → lima a limb b n n n lim A A n n n = → 3 极限存在的充要条件 An A n lim = → ,N( ) , n N , A − A 0 0 当 时 有 n A A a i b a i b a a i( b b ) 而 n − = n + n − − = n − + n − a − a a − a + i( b − b ) n n n b − b a − a + i( b − b ) n n n 证( )
limb=b →0 n→0 liman=a, limb=b n→00 n→0 VE>0,3N(6)>0,当n>N时,有 a-al< b-b< An-4= a+i(b-b)< +1b.-bl n 88 <一十 lim A= A n→0
a a, b b n n n n lim = lim = → → ( ) a a, b b n n n n lim = lim = → → 2 2 0 0 − − a a , b b , N( ) , n N , n n 当 时 有 An − A = an − a + i( bn − b ) an − a + bn − b + = 2 2 lim An A n = →
1定义 设复数列{A,∑ A=A,+A,+…+A+ n 称为复数项级数其最前n项的和 Sn=A+A2++An称为复数项级数的部分和 如{Sn}收敛于S,则称级数∑A是收敛的 以∑4=s表示此时称级数有和s n=1 如{Sn}发散,则称级数∑A是发散的
二 复数项级数 ⚫ 设复数列{An }, 称为复数项级数. 其最前n项的和 Sn=A1+A2+…+An称为复数项级数的部分和 = + ++ + = n n 1 An A1 A2 A 1 定义 如{Sn}收敛于S，则称级数 是收敛的. n=1 An 如{Sn}发散，则称级数 是发散的. n=1 An A s , s. n 以 n = 表 示 此时称级数有和 =1
级数的次 定理2级数∑A。收敛的充要条件是∑an n 和∑b。都收敛。 分析∵Sn=A1+A2+…+An =(a1+a2+…+an)+i(b1+b2+…+b) ∑ 收敛< lim sn=S=A+iB n→0 0 ∑an收敛 li im( 1+a,+∷+a →0 ∑b收敛 →1imn(b 1+b2+…+bn=B n→
2 级数的收敛条件 定理2 级数 收敛的充要条件是 和 都收敛。 n=1 An n=1 n a n=1 bn ( a a a ) i( b b b ) S A A A n n n n = + + + + + + + = + + + 1 2 1 2 1 2 收敛 n=0 An Sn S A iB n lim = = + → + + + = + + + = → → ( b b b ) B ( a a a ) A n n n n lim lim 1 2 1 2 分析 收敛 0 n n a = 收敛 0 n n b =
定理3级数∑An收敛的必要条件是 lim an=0 H=1 n→0 定理4如∑A收敛,则∑A也收敛,且有不等式 n=1 =1 ∑4|s∑A成立 n=1 n=1 分析 ∑An=∑Van2+bn2 n □→∑阳n与∑收敛 n an|≤ an2+b2,hn≤van2+6m
n=1 定理3 级数 An 收敛的必要条件是 = 0 → n n limA 定理4 A A . A , A , n n n n n n n n 成 立 如 收 敛 则 也收敛 且有不等式 = = = = 1 1 1 1 分析 n=1 2 2 1 , n n n n A a b = = + a b 1 1 n n n n = = 与 收敛 2 2 2 2 , n n n n n n a a b b a b + +
∑an与∑bn收敛 ∑An收敛 n n n= n n 又 ∑4≤∑|4k =1 lim∑4 k slim∑|4k n→>o0k=1 n→>0k=1 ∑≤∑ n= n=
n a 1 1 n n n b = = 与 收敛 n A n 1 = 收敛 n k 1 1 n k k k A A = = 又 n k n 1 1 lim lim n k k k n A A → → = = n 1 1 n n n A A = =