解函
解析函数
解析函数 导数 解析 、初等函数
解析函数 ⚫ 一、导数 ⚫ 二、解析 ⚫ 三、初等函数
设函数w=f(z)在区域D内有定义, z与z+△z都是D内的点,如极限存在, 则称rm+△x)-f(a)在孙可导, △→>0 △ 这个极限值称为f()在n的导数 记为f(zn) dh ,simf(z+△x)-f( △
1 定义 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim z z z dw f z z f z f z dz z = → + − = = 记为 设函数 在区域 D 内有定义， 与 都是 D 内的点，如极限存在， 则称 在 可导， 这个极限值称为 在 的导数。 0 ( ) ( ) lim z f z z f z → z + − w f z = ( ) z z z + 0 z f z( ) 0 z
例1求函数f(z)=z2的导数 解:r()=im(z+a z)-∫(x) △z 2 (z+△z)2-x lim =lim(2z+△z) →0 2Z
解 0 ( ) ( ) ( ) limz f z z f z f z → z + − = 2 2 0 ( ) limz z z z → z + − = 0 (2 ) limz z z → = + = 2z 例1 求函数 的导数 。 2 f z z ( ) =
例2判断∫(z)=x+2y是否可导 解∵z=x+j,△z=△x+△y lim ∫(z+△z)一∫(z Az→0 △z lim (x+△x)+2(y+△y)i-x-2y Ax→>0 △x+△ lim △x+2△yi Ax→0 △x+△yi
例2 判断 f z x yi ( ) 2 = + 是否可导 . 解 z x iy z x yi = + = + , 0 ( ) ( ) limz f z z f z → z + − 0 ( ) 2( ) 2 limz x x y y i x yi → x yi + + + − − = + 0 2 limz x yi → x yi + = +
当x+△z沿着平行于x轴的直线趋向z时 lim △x+2△yL=1 0△x+△y 当z+△z沿着平行于y轴的直线趋向z时, △v+2△ui lim 2 △z→>0 △x+△y 故函数f(z)在任一点z处的导数都不存在
当 z z + 沿着平行于 x 轴的直线趋向 z 时， 0 2 1 lim z x yi → x yi + = + 当 z z + 沿着平行于 y 轴的直线趋向 z 时， 0 2 2 lim z x yi → x yi + = + 故函数 f z( ) 在任一点 z 处的导数都不存在
2求贝 (1)(c)=0,c为复常数 (2)(z")=nzn,n为正常数 (3)[f(z)±g(x)=f(x)±g(z) (4)[f(z)·g(z)=∫(z)g(z)+∫(z)·g(z) (S)/1() If(z)g()-f(z)(a), 8(3)+0 g(a 8(
2 求导法则 为正常数. 1 (2) ( ) , n n z n z n − = (3) [ ( ) ( )] ( ) ( ) f z g z f z g z = (4) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) f z g z f z g z f z g z = + 2 ( ) 1 (5) [ ] [ ( ) ( ) ( ) ( )] , ( ( ) 0) ( ) ( ) f z f z g z f z g z g z g z g z = − (1) (c) 0 = ,c为复常数
(6){/g(z)y=f(w)g(z),其中w=g(z (7)f(z) 其中w=f(z)与z=p1w) o(w) 是两个互为反函数的单值函数,且p(w)≠0 例4求函数f(z) 的导数 z+1 解f"(z)= (z)(z+1)-z2(z+12x(z+1)-z2 (z+1)2 (z+1) (z+2 z+1)2
1 (7) ( ) , ( ) ( ) ( ) f z w f z z w w = = = 其中 与 (6) { [ ( )]} ( ) ( ) , ( ). f g z f w g z w g z = = 其中 是两个互为反函数的单值函数，且 ( ) 0 w 例4 求函数 的导数. 2 ( ) 1 z f z z = + 2 2 2 2 2 ( ) ( 1) ( 1) 2 ( 1) ( ) ( 1) ( 1) z z z z z z z f z z z + − + + − = = + + 2 ( 2) ( 1) z z z + = + 解
习 设w=f(z)在可导,则 △w=f(+△x)-f()=f(x)△+p(△x)△x 其中limp(Ax)=0,因而p(△)Az是△的 高阶无穷小而f(1)△z是函数n=f(x) 的改变量的△的线性部分,称f(x)△2为函 数w=f()在n的微分 如f(z)在z处的微分存在,则称∫(z) 在了0可微。函数可导与可微等价
3 微分概念 0 0 0 = + − = + w f z z f z f z z z z ( ) ( ) ( ) ( ) 0 设 在 可导 则 w f z z = ( ) , 0 ( ) 0, lim z z → 其中 = 因而 是 的 ( ) z z z 高阶无穷小,而 是函数 的改变量的 的线性部分,称 为函 数 在 的微分. 0 f z z ( ) w f z = ( ) w 0 f z z ( ) w f z = ( ) 0 z 如 在 处的微分存在，则称 在 可微。函数可导与可微等价。 0 f z z ( ) f z( ) 0 z
3微或概念 例3证明f(z)=z在z平面上处处不可 微,但却处处连续。 证∵z=x+j,则z=x-, 10=x0+ 0 limu=lim(x-iy=x0 -iyo=z z→>Z x→ 0 y→>y ∫(z)=z在z平面上处处连续
3 微分概念 例3 证明 在 平面上处处不可 微,但却处处连续。 f z z z ( ) = 0 0 0 证 则 z x iy z x iy z x iy = + = − = + , , 0 0 0 0 0 ( ) lim lim z z x x y y z x iy x iy z → → → = − = − = = f z z z ( ) . 在 平面上处处连续