复变函数的积分 复变函数积分的概念与性质 柯西一古萨定理 三、原函数与不定积分 四、柯西积分公式 五、解析函数的高阶导数 六、解析函数与调和函数
复变函数的积分 ⚫ 一、复变函数积分的概念与性质 ⚫ 二、柯西—古萨定理 ⚫ 三、原函数与不定积分 ⚫ 四、柯西积分公式 ⚫ 五、解析函数的高阶导数 ⚫ 六、解析函数与调和函数
柯吧次公 定理若f(x)在区域D内处处解析,C为D 内任一条正向简单闭曲线,它的内部完全含D ,z为D内任一点,则 8影少 1 f( R f(z)=∮ 2Ti 证∵f(x)在连续,对任意>0,存在 δ>0,当|z-z小<6时,|f()-f(D)<e
C D . z0 R K 柯西积分公式 定理 若 f (z) 在区域D内处处解析，C为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部完全含D ，z0为D内任一点，则 0 0 1 ( ) ( ) 2 c f z f z dz i z z = − 证 ∵ f (z )在z0 连续，对任意ε>0 ,存在 δ>0 ,当|z - z0 |<δ时, | f (z) - f (z0 )|<ε
设以z为中心R为半径的圆周K:-z=R 在C的内部,且R<6.则 f(a f() d C k 40 0 f(zo) f(z)-f(zo) az k 0 0 =2f(x)+9 f(z)-f(zo) 1(2)-(n)≤重((4)b k F9=2 0 ④JM=2mj(an)
0 0 ( ) 2 ( ) c f z dz if z z z = − 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) k k f z f z f z dz z z z z − = + − − 0 0 0 ( ) ( ) 2 ( ) k f z f z if z dz z z − = + − 0 0 0 0 ( ) ( ) | ( ) ( ) | 2 | | k k k f z f z f z f z dz ds ds z z z z R − − = − − 0 0 ( ) ( ) c k f z f z dz z z z z = − − 设以 z0 为中心,R为半径的圆周K:|z - z0 | = R 在C 的内部,且R<δ.则
例计算下列积分(沿圆周正向) d2)∫( )dz 2=2(9-z)(z+i z=4z+1z-3 解功原式=∫92=mn2=x (z+i) 9 5 2)原式=∫ adz x=4+1|z=4x-3 2丌i·1+2ni.2=6mi
例 计算下列积分（沿圆周正向） 4 1 2 2) ( ) z 1 3 dz = z z + + − 2 2 1) z (9 )( ) z dz = − + z z i 2 2 9 1) z ( ) z z dz = z i − = + 解 原式 2 2 . 9 5 z i z i z = − = = − 4 4 2 2) z z 1 3 dz dz = = z z = + + − 原式 = + = 2 1 2 2 6 . i i i
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的 定理解析函数f(x)的导数仍是解析函数,它的 n! n阶导数为∫f(n)=2:d(n=1,2 兀i(z-zn) n+1 其中C为函数f(z)的解析区域D内围绕的任 条正向简单闭曲线,且它的内部全含于D。 证∵f"(z)=lim ∫(x0+△x)-f(z0) Az→0 △Z f()s、 f(z) 2ni 0
高阶导数 ⚫ 定理 解析函数f(z )的导数仍是解析函数，它的 n阶导数为 其中C为函数f (z)的解析区域D 内围绕 z0 的任一 条正向简单闭曲线，且它的内部全含于D。 ( ) 0 1 0 ! ( ) ( ) ( 1,2 ) 2 ( ) n c n n f z f z dz n i z z + = = − 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim z f z z f z f z → z + − = 证 0 0 1 ( ) ( ) , 2 c f z f z dz i z z = −
f(z) 2丌iz-z-△ .f(z0+△z)-f( l-. △ 2i△ △ 1 f() 2i(z-x0)(z-x0-△x) f(z) 2+∮ f(z)△ 2ri(z-zo (z-x)2(z-0-△z) 2ni(-i)2(IK42M、 f(z d
0 0 0 0 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) [ ] 2 c c f z z f z f z f z dz dz z i z z z z z z + − = − − − − 2 2 0 0 0 1 ( ) ( ) [ ] 2 ( ) ( ) ( ) c c f z f z z dz dz i z z z z z z z = + − − − − 0 0 1 ( ) 2 ( ) ( ) c f z dz i z z z z z = − − − 2 0 1 ( ) 2 ( ) c f z dz i z z = − 3 (| | | | ) ML I z d 0 0 1 ( ) ( ) 2 c f z f z z dz i z z z + = − −
1计算积分∮h,C是绕i周的闭曲线 解原式=2mi (cos z) nI cOS L e te 2
1 计算积分 ,C是绕 i 一周的闭曲线. 3 cos c ( ) z dz z i − 3 2 (cos ) ( ) z i i z z i = = − 解 原式 = − i i cos 1 . 2 e e i − + = −
2计算∮ c(z2+d,C为正向圆周z=r>1. 解 (2+在c内的z=处不解析 在C内以,为中心作正向圆周C1,C2,(9 e e dz= dz+ (z2+) 2,、2 Z (z2+ (z+i) 2 dz+ (z-i) (z+i)
2 计算 , C为正向圆周|z|= r >1. 2 2 ( 1) z c e dz z + 2 2 . ( ) z e c z i z = + 解 在 内的 处不解析 1 2 在 内以 为中心作正向圆周 C i i C C ,- , , 1 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) z z z c c c e e e dz dz dz z z z = + + + + 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) z z c c e e z i z i dz dz z i z i + − = + − + x c1 c2 -i i y 0 .
2ni 2Ti (2-1)!(z+i (2-1)!(z-i)212=1 (1-i)e (1 tie 元 2 2 元 (1-i)(e-ie-) 元 (1-1)(cos 1-sin 1) 2 inv2 sin(I
2 2 2 2 [ ] [ ] (2 1)! (2 1)! ( ) ( ) z z z i z i i e i e z i z i = =− = + − − + − 1 (1 ) (1 ) 2 2 i i e i e − − − + = + 1 (1 )( ) 2 i i e ie − = − − 2 (1 ) (cos1 sin1) 2 i = − − 2 sin(1 ) 4 i = −