留数及其应用之 孤立粤点及 单精助教件 数学数研宝
孤立奇点及留数 教学辅助软件 数学教研室 留数及其应用之
目的、要求 理解孤立奇点及 留数的有关概念,明 确孤立奇点的各种类 3型,掌握留数的有关 计算方法
理解孤立奇点及 留数的有关概念，明 确孤立奇点的各种类 型，掌握留数的有关 计算方法。 目的、要求 掌握留数的有关 计算方法
孤立奇点及留数 、孤立奇点 、留数
孤立奇点及留数 ⚫ 一、孤立奇点 ⚫ 二、留数
如函数f(乙)在奇点z=的邻域z-a<R 内除去a外都解析,则z=a称为的孤 立奇点 例求下列函数的孤立奇点 (1)f(z)= (z-i)(z+1) (2)∫(z)= n=1,2 SIn n元 (3)∫(z)=t
⚫ 如函数 f(z) 在奇点z=a的邻域|z-a|< R 内除去a外都解析，则z= a称为f(z) 的孤 立奇点。 （一）孤立奇点的定义 例 求下列函数的孤立奇点. 1 (1) ( ) ( )( 1) f z z i z = − + 1 (2) ( ) 1 sin f z z = 1 ( , 1, 2 ) z n n = = 1 2 ( , 1) z i z = = − 1 (3) ( ) f z tg z =
考察下列函数在0<|z-x0内的洛朗级数 (1)f(z) 7,30=0(2)f(x) (1-z) (3)f(x)=e2,xo=0 解( (e-1)=-∑ z n=in. =(1-z)+1+(1-z)+…+(1-z) z(1-x) (3)e2=1+-+ 2!z23!z3 n. z
0 考察下列函数在 < 内的洛朗级数 0 | | . z z − 0 1 (1) ( ) , 0 z e f z z z − = = 0 1 (2) ( ) , 1 (1 ) f z z z z = = − 1 0 (3) ( ) , 0 z f z e z = = 1 1 1 1 1 (1) ( 1) ! z z n n e e z z z z n = − 解 = − = 1 1 1 (2) (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) n z z z z z − − = − + + − + + − + − 1 2 3 1 1 1 1 (3) 1 2! 3! ! z n e z z z n z = + + + + + +
可六s ●没有z-z0的负幂项,则z为f(乙的可 可去奇点 去奇点 f(z)=co+c1(z-n)+c2(z-n)2+ +Cn(z-z0)”+…(0不 只要令f(z)=C,则当0z-0k f(z)=co+c1(z-)+…+cn(z-z)+…在z解析
⚫ 没有 z- z0 的负幂项，则z0为 f(z)的可 去奇点。 （二）孤立奇点的分类 可 去 奇 点 0 0 0 0 lim ( ) ( ) ( ) lim z z z z f z F z F z C → → = = = 2 0 1 0 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) (0 | | ) n n f z c c z z c z z c z z z z = + − + − + + − + − 0 和函数 在 解析. F z z ( ) 0 当 时 z z F z f z = , ( ) ( ); 0 0 0 当 时 z z F z c = = , ( ) . 0 0 0 = 只要令 则当 f z c z z ( ) , 0 | - | 0 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) . n n = + − + + − + f z c c z z c z z z 在 解析
只有有限个z的负幂项,则z为f(z) 极的极点。如(x-动m为最高负幂项,则称x为 点f的m级极点 f(x)=c-m(z-列)"+…+C1(z-)+Co +c1(z-x0)+…(m≥1,cm≠0) g(z) 其中g(z)=Cm+…+c1(z-)m-1+c0(z-xa)+ g(z)在z-aok内解析,g(xn)≠0
⚫ 只有有限个 z- z0的负幂项，则z0 为f (z ) 的极点。如(z- z0 ) -m 为最高负幂项，则称z0 为 f (z) 的m 级极点。 极 点 0 1 ( ) ( )m g z z z = − 1 0 1 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1, 0) m m m f z c z z c z z c c z z m c − − − − − = − + + − + + − + 1 1 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) , ( ) | | ( ) 0. m m m g z c c z z c z z g z z z r z − = + + − + − + − − − 其中 在 内解析,g
当z是f()的极点时, limf(x)=∞ lim(z-zo)f()=ling(3)=8(z0)+0 Z→> 例判断下列函数奇点的类型 2 (1)f(x) (z-1) (z=1是三级极点) SIn z (2)∫(x)= (z=0是可去奇点)
⚫ 当z0 是 f (z)的极点时， 例 判断下列函数奇点的类型： （z=1是三级极点） （z= 0是可去奇点） 3 2 (1) ( ) ( 1) z f z z − = − sin (2) ( ) z f z z = 0 ( ) lim z z f z → = 0 0 0 0 lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) 0 m z z z z z z f z g z g z → → − = =
有无限个z-的负幂项,则z为/( 本的本性奇点。 性奇点 可证明:如z为f()的本性奇点, 则limf(x)不存在,也不为无穷大。 例判断函数f(x)的奇点类型 11 解∵ze=z2(1 - 十∴ +…) 72!z 11 =z十z+— 2!3!z h!x2+ z=0是函数的本性奇点
⚫ 有无限个z - z0的负幂项，则z0为f (z) 的本性奇点。 ∴ z = 0是函数的本性奇点 例 判断函数 的奇点类型. 1 2 ( ) z f z z e = 本 性 奇 点 可证明：如 z0 为f (z) 的本性奇点， 则 不存在，也不为无穷大。 0 ( ) lim z z f z → 2 2 1 1 1 2! 3! ! n z z z n z − = + + + + + + 1 2 2 1 1 1 (1 ) 2! ! z n z e z z z n z 解 = + + + + +
1)当limf(z)=c0时,为f(z)的可去奇点 结论 2)当lmf(z)=0时,x为f()极点 3)当limf(4)不存在且不无穷大时,列为/(x)本性奇点
结论 0 0 3) ( ) ( ) lim z z f z z f z → 当 不存在且不无穷大时, 为 的本性奇点. 0 0 2) ( ) ( ) lim z z f z z f z → 当 时, 为 的极点. = 0 0 0 1) ( ) ( ) lim z z f z c z f z → 当 时, 为 的可去奇点. =