第9章时间数列分析 【学习目的】 本章主要介绍了动态数列的有管理论和知识。包括动态数列的意 义、种类和编制原则,掌握各种常用的动态分析指标的计算方法地等。 【基本要求】 通过本章的学习,使学习者明确动态数列的意义种类和编制原 则,重点掌握动态分析指标的计算方法。为社会经济管理服务等。 【学习内容】 美国内华达职业健康诊所( Nevada Occupational Health Clinic)是 一家私人医疗诊所,它位于内华达州的 Sparks市。这个诊所专攻工业 医疗,并且在该地区经营已经超过15年。1991年初,该诊所进入了增 长的阶段。在其后的26个月里,该诊所每个月的账单收入从57000美 元增长到超过300000美元。直至1993年4月6日,当诊所的主建筑 物被烧毁时,诊所一直经历着戏剧性的增长 诊所的保险单包括实物财产和设备,也包括出于正常商业经营的 中断而引起的收入损失。确定实物财产和设备在火灾中的损失额,受 理财产的保险索赔要求是一个相对简单的事情。但是确定在进行重建 诊所的7个月中,收入的损失额是很复杂的,它涉及业主和保险公司 之间的讨价还价。对如果没有发生火灾,诊所的账单收入“将会有什 么变化”的计算,没有预先制定的规则。为了估计失去的收入,诊所 用一种预测方法,来测算在7个月的停业期间将要实现的营业增长。 在火灾前的账单收入的实际历史资料,将为拥有线性趋势和季节成分 的预测模型提供基础资料。这个预测模型使诊所得到损失收入的一个 准确的估计值,这个估计值最终被保险公司所接受。 这是一个时间数列分析方法在保险业务中的成功案例。这个案例 中的时间序列分析方法的统计思想对现代经济管理同样具有重要的启 迪和现实意义。例如对于企业销售收入和销售成本的预测,我们当然 要观察过去的实际资料,根据这些历史资料,我们可以对其发展水平
第 9 章 时间数列分析 【学习目的】 本章主要介绍了动态数列的有管理论和知识。包括动态数列的意 义、种类和编制原则，掌握各种常用的动态分析指标的计算方法地等。 【基本要求】 通过本章的学习，使学习者明确动态数列的意义种类和编制原 则，重点掌握动态分析指标的计算方法。为社会经济管理服务等。 【学习内容】 美国内华达职业健康诊所（Nevada Occupational Health Clinic）是 一家私人医疗诊所，它位于内华达州的 Sparks 市。这个诊所专攻工业 医疗，并且在该地区经营已经超过 15 年。1991 年初，该诊所进入了增 长的阶段。在其后的 26 个月里，该诊所每个月的账单收入从 57 000 美 元增长到超过 300 000 美元。直至 1993 年 4 月 6 日，当诊所的主建筑 物被烧毁时，诊所一直经历着戏剧性的增长。 诊所的保险单包括实物财产和设备，也包括出于正常商业经营的 中断而引起的收入损失。确定实物财产和设备在火灾中的损失额，受 理财产的保险索赔要求是一个相对简单的事情。但是确定在进行重建 诊所的 7 个月中，收入的损失额是很复杂的，它涉及业主和保险公司 之间的讨价还价。对如果没有发生火灾，诊所的账单收入“将会有什 么变化”的计算，没有预先制定的规则。为了估计失去的收入，诊所 用一种预测方法，来测算在 7 个月的停业期间将要实现的营业增长。 在火灾前的账单收入的实际历史资料，将为拥有线性趋势和季节成分 的预测模型提供基础资料。这个预测模型使诊所得到损失收入的一个 准确的估计值，这个估计值最终被保险公司所接受。 这是一个时间数列分析方法在保险业务中的成功案例。这个案例 中的时间序列分析方法的统计思想对现代经济管理同样具有重要的启 迪和现实意义。例如对于企业销售收入和销售成本的预测，我们当然 要观察过去的实际资料，根据这些历史资料，我们可以对其发展水平
发展速度进行分析,也可能得到销售的一般水平或趋势,如销售收入 随时间增长或下降的趋势:对这些资料的进一步观察,还可能显示一 种季节轨迹,如每年的销售高峰出现在第三季度,而销售低谷出现在 第一季度以后。通过观察历史资料,可以对过去的销售轨迹有较好的 了解,因此对产品的未来销售情况,可以做出较为准确、公正地判断 时间数列分析,能反映客观事物的发展变化,能揭示客观事物随时间 演变的趋势和规律。 81时间数列及分析方法概述 81.1.时间数列的意义及分类 任何现象,随着时间的推移,都会呈现出一种在时间上的发展和 运动过程:时间数列分析,是指从时间的发展变化角度,研究客观事 物在不同时间的发展状况,探索其随时间推移的演变趋势和规律,揭 示其数量变化和时间的关系,预测客观事物在未来时间上可能达到的 数量和规模。时间数列分析的依据是时间数列(又称动态数列)。我们 把同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的数列称为时间数列 或时间序列。从表8-1可以看出,时间序列形式上包含两部分:一是 现象所属的时间,二是现象在不同时间上的观察值两部分组成,这两 部分是任何一个时间数列所应具备的两个基本要素。现象所属的时间 可以是年份、季度、月份或其他任何时间形式。现象的观察值根据表 现形式不同有绝对数、相对数和平均数,因此,从观察表现形式上看, 时间序列可分为绝对数时间数列、相对数时间数列和平均数时间数列 表8-1 中国国内生产总值等时间序列表 年份国内生产总第三产业占年底总人口职工平均货币 值(亿元)GDP比重(%)(万人)工资(元 1990 18547.9 31.3 2140 216179 334 2340 26638.1 34.3 1993 118517 1994 31.9 119850 1995584781 30.7 121121 5500 67884.6 30.1 6210 74462.6 123626
发展速度进行分析，也可能得到销售的一般水平或趋势，如销售收入 随时间增长或下降的趋势；对这些资料的进一步观察，还可能显示一 种季节轨迹，如每年的销售高峰出现在第三季度，而销售低谷出现在 第一季度以后。通过观察历史资料，可以对过去的销售轨迹有较好的 了解，因此对产品的未来销售情况，可以做出较为准确、公正地判断。 时间数列分析，能反映客观事物的发展变化，能揭示客观事物随时间 演变的趋势和规律。 8.1 时间数列及分析方法概述 8.1.1. 时间数列的意义及分类 任何现象，随着时间的推移，都会呈现出一种在时间上的发展和 运动过程；时间数列分析，是指从时间的发展变化角度，研究客观事 物在不同时间的发展状况，探索其随时间推移的演变趋势和规律，揭 示其数量变化和时间的关系，预测客观事物在未来时间上可能达到的 数量和规模。时间数列分析的依据是时间数列（又称动态数列）。我们 把同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的数列称为时间数列 或时间序列。从表 8–1 可以看出，时间序列形式上包含两部分：一是 现象所属的时间，二是现象在不同时间上的观察值两部分组成，这两 部分是任何一个时间数列所应具备的两个基本要素。现象所属的时间 可以是年份、季度、月份或其他任何时间形式。现象的观察值根据表 现形式不同有绝对数、相对数和平均数，因此，从观察表现形式上看， 时间序列可分为绝对数时间数列、相对数时间数列和平均数时间数列。 表 8–1 中国国内生产总值等时间序列表 年份 国内生产总 值（亿元） 第三产业占 GDP 比重（％） 年底总人口 （万人） 职工平均货币 工资（元） 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 18547.9 21617.9 26638.1 34634.4 46759.4 58478.1 67884.6 74462.6 31.3 33.4 34.3 32.7 31.9 30.7 30.1 30.9 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122889 123626 2140 2340 2711 3371 4538 5500 6210 6470
78345.2 124810 819109 8346 资料来源:《中国统计年鉴》,中国统计出版社,2001年 1.绝对数时间数列 绝对数时间数列又称总量指标数列,是指将反映现象总规模、总 水平的某一总量指标在不同时间上的观察数值按时间先后顺序排列起 来所形成的数列。总量指标数列是计算相对指标和平均指标、进行各 种时间数列分析的基础。 按其指标所反映时间状况的不同,总量指标数列又分为时期数列 (见表8-1第2栏)和时点数列(见表8-1第4栏)。时期数列中所 排列的指标为时期指标,各时期上的数值分别反映现象在这一段时期 内所达到的总规模、总水平,是现象在这一段时期内发展过程的累积 总量。观察值具有可加性及数值大小与所属时期长短有密切联系的特 点。时点数列中所排列的指标为时点指标,各时点上的数值分别反映 现象在各该时点上所达到的总规模、总水平,是现象在某一时点上的 数量表现。观察值具有时间上的不可加性及各时点上观察值大小与相 邻两时点间间隔长短无密切联系的特点 2.相对数和平均数时间数列 相对数和平均数时间数列又称为相对指标和平均指标数列。指将 反映现象相对水平、平均水平的某一相对指标或平均指标在不同时间 上的观察值按时间先后顺序排列起来所形成的数列(分别见表8-1的 第3栏和第5栏)。不论是相对指标还是平均指标,其共同点都是由总 量指标派生而来,反映一种对比或平均的概念:不同时间上的相对数 或平均数不能相加,即相加以后没有意义 8.1.2.编制时间数列应注意的问题 编制时间数列的目的,是为了进行时间数列分析,因而,保证数 列中各项观察值具有可比性,是编制时间数列的基本原则。所谓可比 性,是要求各观察值所属时间、总体范围、经济内容、计算方法、计 算价格、计量单位等可比。具体含义如下: 各项观察值所属时间可比 即要求各观察值所属时间的一致性。对时期数列而言,由于各观 察值的大小与所属时期的长短直接相关,因此各观察值所属时间的长
1998 1999 78345.2 81910.9 32.1 33.0 124810 125909 7479 8346 资料来源：《中国统计年鉴》，中国统计出版社，2001 年 1. 绝对数时间数列 绝对数时间数列又称总量指标数列，是指将反映现象总规模、总 水平的某一总量指标在不同时间上的观察数值按时间先后顺序排列起 来所形成的数列。总量指标数列是计算相对指标和平均指标、进行各 种时间数列分析的基础。 按其指标所反映时间状况的不同，总量指标数列又分为时期数列 （见表 8–1 第 2 栏）和时点数列（见表 8–1 第 4 栏）。时期数列中所 排列的指标为时期指标，各时期上的数值分别反映现象在这一段时期 内所达到的总规模、总水平，是现象在这一段时期内发展过程的累积 总量。观察值具有可加性及数值大小与所属时期长短有密切联系的特 点。时点数列中所排列的指标为时点指标，各时点上的数值分别反映 现象在各该时点上所达到的总规模、总水平，是现象在某一时点上的 数量表现。观察值具有时间上的不可加性及各时点上观察值大小与相 邻两时点间间隔长短无密切联系的特点。 2. 相对数和平均数时间数列 相对数和平均数时间数列又称为相对指标和平均指标数列。指将 反映现象相对水平、平均水平的某一相对指标或平均指标在不同时间 上的观察值按时间先后顺序排列起来所形成的数列（分别见表 8–1 的 第 3 栏和第 5 栏）。不论是相对指标还是平均指标，其共同点都是由总 量指标派生而来，反映一种对比或平均的概念；不同时间上的相对数 或平均数不能相加，即相加以后没有意义。 8.1.2. 编制时间数列应注意的问题 编制时间数列的目的，是为了进行时间数列分析，因而，保证数 列中各项观察值具有可比性，是编制时间数列的基本原则。所谓可比 性，是要求各观察值所属时间、总体范围、经济内容、计算方法、计 算价格、计量单位等可比。具体含义如下： 1. 各项观察值所属时间可比 即要求各观察值所属时间的一致性。对时期数列而言，由于各观 察值的大小与所属时期的长短直接相关，因此各观察值所属时间的长
短应该一致,否则不便于对比分析。对于时点数列,虽然两时点间间 隔长短与观察值无明显关系,但为了更好地反映现象的发展变化状况, 两时点间的间隔也应尽可能相等 2.各项观察值总体范围可比 这是就所属空间范围而言,如地区范围、隶属范围、分组范围等。 当时间数列中某些观察值总体范围不一致时,必须进行适当调整使其 致,否则前后期指标数值不能直接对比。 3.各项观察值经济内容可比 指标的经济内容是由其理论内涵所决定的,随着社会经济条件的 变化,有些指标的经济内容发生了变化。对于名称相同而经济内涵不 一致的指标,尤其要注意这一点,务必使各时间上的观察值内涵一致, 否则也不具备可比性。例如:我国的工业总产值指标,有的年份包括 了乡村企业的工业产值,有的年份则不包括 4.各项观察值的计算方法可比 对于指标名称总体范围和经济内容都相同的指标计算方法不同也 会导致数值差异,有时甚至是极大的差异。例如国内生产总值(GDP), 按照生产法、支出法、分配法计算的结果就有差异。因此,同一时间 数列中,各个时期(时点)指标值的计算方法要统一。如果从某一时 期,计算方法做了重大改变,那么发布资料必须注明,以便动态比较 时进行调整。 5.计算价格和计量单位可比 统计指标的计算价格种类很多,有现行价格和不变价格之分。不 变价格为了适应客观经济条件的变化也在不断调整,形成了多个时期 的不变价格,编制时间序列遇到前后时期所用的计算价格不同,就需 要进行调整,使其统一。对于实物指标的时间序列,则要求计量单位 保持一致,否则也要进行调整。 81.3.时间数列常用分析方法 时间数列分析最常用的方法有两种,一是指标分析法,二是构成 因素分析法。 时间数列指标分析法
短应该一致，否则不便于对比分析。对于时点数列，虽然两时点间间 隔长短与观察值无明显关系，但为了更好地反映现象的发展变化状况， 两时点间的间隔也应尽可能相等。 2. 各项观察值总体范围可比 这是就所属空间范围而言，如地区范围、隶属范围、分组范围等。 当时间数列中某些观察值总体范围不一致时，必须进行适当调整使其 一致，否则前后期指标数值不能直接对比。 3. 各项观察值经济内容可比 指标的经济内容是由其理论内涵所决定的，随着社会经济条件的 变化，有些指标的经济内容发生了变化。对于名称相同而经济内涵不 一致的指标，尤其要注意这一点，务必使各时间上的观察值内涵一致， 否则也不具备可比性。例如：我国的工业总产值指标，有的年份包括 了乡村企业的工业产值，有的年份则不包括。 4. 各项观察值的计算方法可比 对于指标名称总体范围和经济内容都相同的指标计算方法不同也 会导致数值差异，有时甚至是极大的差异。例如国内生产总值（GDP）， 按照生产法、支出法、分配法计算的结果就有差异。因此，同一时间 数列中，各个时期（时点）指标值的计算方法要统一。如果从某一时 期，计算方法做了重大改变，那么发布资料必须注明，以便动态比较 时进行调整。 5. 计算价格和计量单位可比 统计指标的计算价格种类很多，有现行价格和不变价格之分。不 变价格为了适应客观经济条件的变化也在不断调整，形成了多个时期 的不变价格，编制时间序列遇到前后时期所用的计算价格不同，就需 要进行调整，使其统一。对于实物指标的时间序列，则要求计量单位 保持一致，否则也要进行调整。 8.1.3. 时间数列常用分析方法 时间数列分析最常用的方法有两种，一是指标分析法，二是构成 因素分析法。 1. 时间数列指标分析法
所谓指标分析法,是指通过计算一系列时间数列分析指标,包括 发展水平、平均发展水平、增减量、平均增减量、发展速度、平均发 展速度、增减速度、平均增减速度等来揭示现象的发展状况和发展变 化程度。 2.时间数列构成因素分析法 这种方法是将时间数列看作是由长期趋势、季节变动、循环变动 和不规则变动几种因素所构成,通过对这些因素的分解分析,揭示现 象随时间变化而演变的规律,并在揭示这些规律的基础上,假定事物 今后的发展趋势遵循这些规律,从而对事物的未来发展做出预测。 时间数列的这两种基本分析方法,各有不同的特点和作用,各揭 示不同的问题和状况,分析问题时应视研究的目的和任务,分别采用 或综合应用。 82时间数列的水平指标分析 时间数列水平分析指标有:发展水平、平均发展水平、增减量、 平均增减量四种 821.发展水平 在时间序列中,用t(=1,…,n)表示现象所属的时间,a1表示现 象在不同时间上的观察值。a(=1…;n)也称为现象在时间t上的发 展水平,它表示现象在某一时间上所达到的一种数量状态。若观察的 时间范围为1,12,…,h,相应的观察值表示为a,a2,…,an,其中 an1称为最初发展水平,an称为最末发展水平。若将整个观察时期内的 各观察值与某个特定时期t作比较时,时间t可表示为,t1,…,tn, 相应的观察值表示为c0,a1 an,其中a称为基期水平,an称为 报告期水平 8.22.平均发展水平 平均发展水平是现象在时间t(=1,…,n)上取值的平均数,又称 为序时平均数或动态平均数。它可以概括性地描述出现象在一段时期 内所达到的一般水平。序时平均数作为一种平均数,与静态平均数有 相同点,即它们都抽象了现象的个别差异,以反映现象总体的一般水 平。但二者又有明显的区别,主要表现在:序时平均数抽象的是现象 在不同时间上的数量差异,因而它能够从动态上说明现象在一定时期
所谓指标分析法，是指通过计算一系列时间数列分析指标，包括 发展水平、平均发展水平、增减量、平均增减量、发展速度、平均发 展速度、增减速度、平均增减速度等来揭示现象的发展状况和发展变 化程度。 2. 时间数列构成因素分析法 这种方法是将时间数列看作是由长期趋势、季节变动、循环变动 和不规则变动几种因素所构成，通过对这些因素的分解分析，揭示现 象随时间变化而演变的规律，并在揭示这些规律的基础上，假定事物 今后的发展趋势遵循这些规律，从而对事物的未来发展做出预测。 时间数列的这两种基本分析方法，各有不同的特点和作用，各揭 示不同的问题和状况，分析问题时应视研究的目的和任务，分别采用 或综合应用。 8.2 时间数列的水平指标分析 时间数列水平分析指标有：发展水平、平均发展水平、增减量、 平均增减量四种。 8.2.1. 发展水平 在时间序列中，用 ti （i=1,…,n）表示现象所属的时间，ai 表示现 象在不同时间上的观察值。ai （i=1,…,n）也称为现象在时间 ti 上的发 展水平，它表示现象在某一时间上所达到的一种数量状态。若观察的 时间范围为 t1，t2，…，tn，相应的观察值表示为 a1，a2，…，an，其中 a1 称为最初发展水平，an 称为最末发展水平。若将整个观察时期内的 各观察值与某个特定时期 t0 作比较时，时间 t 可表示为 t0，t1，…，tn， 相应的观察值表示为 a0，a1，…，an，其中 a0 称为基期水平，an 称为 报告期水平。 8.2.2. 平均发展水平 平均发展水平是现象在时间 ti （i=1,…,n）上取值的平均数，又称 为序时平均数或动态平均数。它可以概括性地描述出现象在一段时期 内所达到的一般水平。序时平均数作为一种平均数，与静态平均数有 相同点，即它们都抽象了现象的个别差异，以反映现象总体的一般水 平。但二者又有明显的区别，主要表现在：序时平均数抽象的是现象 在不同时间上的数量差异，因而它能够从动态上说明现象在一定时期
内发展变化的一般趋势:静态平均数抽象的是总体各单位某一数量标 志值在同一时间上的差异,因此,它是从静态上说明现象总体各单位 的一般水平。由于不同时间序列中观察值的表现形式不同,序时平均 数有不同的计算方法 绝对数时间数列的序时平均数 绝对数时间数列序时平均数的计算方法是最基本的,它是计算相 对数或平均数时间数列序时平均数的基础。绝对数时间数列有时期数 列和时点数列之分,序时平均数的计算方法也有所区别。 (1).时期数列的序时平均数,其计算公式为: a1+ay+…a 式中a为序时平均数,n为观察值的个数。 例8-1对表8-1中的国内生产总值序列,计算年度平均国内生 产总值。 解:根据时期数列序时平均数公式有: a=2a18547.9+216179+…+819109.:509279亿元) 10 (2).由时点数列计算序时平均数。在社会经济统计中一般是将 天看作一个时点,即以“一天”作为最小时间单位。这样时点数列可 认为有连续时点和间断时点数列之分;而间断时点数列又有间隔相等 与间隔不等之别。其序时平均数的计算方法略有不同,分述如下: a.连续时点数列计算序时平均数。在统计中,对于逐日排列的时 点资料,视其为连续时点资料。这样的连续时点数列,其序时平均数 公式可按8-1计算,即 a (8-2) n 例如,存款(贷款)平均余额指标,通常就是由报告期内每日存 款(贷款)余额之和除以报告期日历数而求得。 另一种情形是,资料登记的时间单位仍然是1天,但实际上只在 指标值发生变动时才记录一次。此时需采用加权算术平均数的方法计 算序时平均数,权数是每一指标值的持续天数 计算公式如下 (8-3)
内发展变化的一般趋势；静态平均数抽象的是总体各单位某一数量标 志值在同一时间上的差异，因此，它是从静态上说明现象总体各单位 的一般水平。由于不同时间序列中观察值的表现形式不同，序时平均 数有不同的计算方法。 1. 绝对数时间数列的序时平均数 绝对数时间数列序时平均数的计算方法是最基本的，它是计算相 对数或平均数时间数列序时平均数的基础。绝对数时间数列有时期数 列和时点数列之分，序时平均数的计算方法也有所区别。 ( 1)．时期数列的序时平均数，其计算公式为： n a n a a a a n = + + = 1 2 （8–1） 式中 a 为序时平均数，n 为观察值的个数。 例 8–1 对表 8–1 中的国内生产总值序列，计算年度平均国内生 产总值。 解：根据时期数列序时平均数公式有： 50927.（亿元） 9 10 18547.9 21617.9 81910.9 = + + + = = n a a (2)．由时点数列计算序时平均数。在社会经济统计中一般是将一 天看作一个时点，即以“一天”作为最小时间单位。这样时点数列可 认为有连续时点和间断时点数列之分；而间断时点数列又有间隔相等 与间隔不等之别。其序时平均数的计算方法略有不同，分述如下： a. 连续时点数列计算序时平均数。在统计中，对于逐日排列的时 点资料，视其为连续时点资料。这样的连续时点数列，其序时平均数 公式可按 8–1 计算，即 n a a = （8–2） 例如，存款（贷款）平均余额指标，通常就是由报告期内每日存 款（贷款）余额之和除以报告期日历数而求得。 另一种情形是，资料登记的时间单位仍然是 1 天，但实际上只在 指标值发生变动时才记录一次。此时需采用加权算术平均数的方法计 算序时平均数，权数是每一指标值的持续天数。 计算公式如下： f af a = （8–3）
例8-2某种商品5月份的库存量记录如表8-2,计算5月份平 均日库存量。 8-2某种商品5月份库存资料 日期 1-45-108-20|21-2627-3 库存量(台) 解:该商品5月份平均日库存量为 ∑qf50×4+55×6+40×10+35×6+30×5 4+6+10+6+5 =42(台) b.间断时点数列计算序时平均数。实际统计工作中,很多现象并 不是逐日对其时点数据进行统计,而是隔一段时间(如一月、一季度 年等)对其期末时点数据进行登记。这样得到的时点数列称为间断 时点数列。如果每隔相同的时间登记一次,所得数列称为间隔相等的 间断时点数列:如果每两次登记时间的间隔不尽相同,所得数列称为 间隔不等的间断时点数列 当其时点资料是以月度、季度、年度为时间间隔单位,我们已不 可能像连续时点资料那样求得准确的时点平均数。这种情况下,我们 可以根据资料所属时间的间隔特点,选用不同的计算公式。对于间隔 相等的资料,采用“首末折半”对于间隔不等的资料,采用“间隔加 权”的方法计算序时平均数。 例8-3某商业企业1999年第二季度某种商品的库存量如表8 试求该商品第二季度月平均库存量。 表8-3某商业企业1999年第二季度某商品库存量 3月末 存量(百件) 4 解:4月份平均库存量=+2=69百件) 5月份平均库存量=2+64=68百件) 2 6月份平均库存量=4+68=6百件)
例 8–2 某种商品 5 月份的库存量记录如表 8–2，计算 5 月份平 均日库存量。 表 8–2 某种商品 5 月份库存资料 日期 1－4 5－10 8–20 21－26 27－31 库存量（台） 50 55 40 35 30 解：该商品 5 月份平均日库存量为 （台） ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 42 4 6 10 6 5 50 4 55 6 40 10 35 6 30 5 = = = f af a b. 间断时点数列计算序时平均数。实际统计工作中，很多现象并 不是逐日对其时点数据进行统计，而是隔一段时间（如一月、一季度、 一年等）对其期末时点数据进行登记。这样得到的时点数列称为间断 时点数列。如果每隔相同的时间登记一次，所得数列称为间隔相等的 间断时点数列；如果每两次登记时间的间隔不尽相同，所得数列称为 间隔不等的间断时点数列。 当其时点资料是以月度、季度、年度为时间间隔单位，我们已不 可能像连续时点资料那样求得准确的时点平均数。这种情况下，我们 可以根据资料所属时间的间隔特点，选用不同的计算公式。对于间隔 相等的资料，采用“首末折半”；对于间隔不等的资料，采用“间隔加 权”的方法计算序时平均数。 例 8–3 某商业企业 1999 年第二季度某种商品的库存量如表 8– 3，试求该商品第二季度月平均库存量。 表 8–3 某商业企业 1999 年第二季度某商品库存量 3 月末 4 月末 5 月末 6 月末 库存量（百件） 66 72 64 68 解：4 月份平均库存量＝ ＝ （百件） ＋ 69 2 66 72 5 月份平均库存量＝ ＝ （百件） ＋ 68 2 72 64 6 月份平均库存量＝ ＝ （百件） ＋ 66 2 64 68
第二季度平均库存量=69+68+66=6767百件) 3 为简化计算过程,上述计算步骤可表示为 季度平均库存量 66+72,72+6464+686 72+64+ =67.67(百件) 根据上述计算过程可推导出计算公式为 a (8-4) +a、++a-1+ 该公式形式上表现为首末两项观察值折半,故称为“首末折半法 这种方法适用于间隔相等的间断时点数列求序时平均数 例8-4表8-4列示了我国1990~1999年年末人口的部分年份 资料,计算年平均人口数 表8-4中国1990-1999年部分年份年末人口数 1990 1998 年底总人 口(万人) 143311717112121124810125909 解:对资料进行观察分析,属间隔不等的间断时点资料,采用“间 隔加权”方法 (a1+a2),(a2+a1) ×.x f2+ (8-5) 114333+117171,117171+121121,121121+124810,124810+125989 2+ =12035533(万人)
＝ （百件） ＋ ＋ 第二季度平均库存量＝ 67.67 3 69 68 66 为简化计算过程，上述计算步骤可表示为： 第 二 季 度 平 均 库 存 量 ＝ 3 2 68 72 64 2 66 3 2 64 68 2 72 64 2 66 72 ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝67.67（百件） 根据上述计算过程可推导出计算公式为： 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 3 1 − + ++ − + = − + ++ + + + = − n a a a a n a a a a a a a n n n （8–4） 该公式形式上表现为首末两项观察值折半，故称为“首末折半法”。 这种方法适用于间隔相等的间断时点数列求序时平均数。 例 8–4 表 8–4 列示了我国 1990～1999 年年末人口的部分年份 资料，计算年平均人口数。 表 8–4 中国 1990－1999 年部分年份年末人口数 年份 1990 1992 1995 1998 1999 年底总人 口（万人） 114333 117171 121121 124810 125909 解：对资料进行观察分析，属间隔不等的间断时点资料，采用“间 隔加权”方法。 1 2 1 1 1 2 2 3 1 1 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) − − − + + + + + + + + + = n n n n f f f f a a f a a f a a a （8–5） ＝ （万人） ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ 120355.33 9 1 2 124810 125989 3 2 121121 124810 3 2 117171 121121 2 2 114333 117171
2.相对数或平均数时间数列的序时平均数 相对数和平均数是两个有联系的相对数对比求得,用符号表示即 c=2。因此,由相对数或平均数数列计算序时平均数,不能直接根据 b 该相对数或平均数数列中各项观察值简单平均计算(即不应当用 的公式),而应当先分别计算构成该相对数或平均数数列的 分子数列和分母数列的序时平均数,再对比求得。用公式表示为 例8-5某企业1999年第四季度职工人数资料如表 计算 工人占职工人数的平均比重 表8-5某企业1999年四季度职工人数资料 9月末10月末11月末12月末 工人人数/人 364 职工人数/人 448 456 474 工人占职工比重/% bb1/2+b2+b3 342/2+355+358+364/2 =7691% 448/2+456+469+474/2 例8-6某企业下半年劳动生产率资料如表8-6,计算平均月劳 动生产率和下半年平均职工劳动生产率。 表8-6某企业下半年劳动生产率资料 6月7月8月9月10月11月12月 (a)总产值/万元 (b)月末职工人数/人 (c)劳动生产率/(元人)1948195719792000210320211957 解:从表8-6中可以看到,劳动生产率的分子总产值是时期指标 分母职工人数是时点指标,计算平均月劳动生产率应用下列公式
2. 相对数或平均数时间数列的序时平均数 相对数和平均数是两个有联系的相对数对比求得，用符号表示即 b a c = 。因此，由相对数或平均数数列计算序时平均数，不能直接根据 该相对数或平均数数列中各项观察值简单平均计算（即不应当用 c = c / n 的公式），而应当先分别计算构成该相对数或平均数数列的 分子数列和分母数列的序时平均数，再对比求得。用公式表示为： b a c = （8–6） 例 8–5 某企业 1999 年第四季度职工人数资料如表 8–5，计算 工人占职工人数的平均比重。 表 8–5 某企业 1999 年四季度职工人数资料 9 月末 10 月末 11 月末 12 月末 工人人数/人 职工人数/人 工人占职工比重/％ 342 448 76.34 355 456 77.85 358 469 76.33 364 474 76.79 ％ 解： 76.91 448 / 2 456 469 474 / 2 342 / 2 355 358 364 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 1 2 3 1 2 3 = + + + + + + = + + + + + + + + = = n n b b b b a a a a b a c 例 8–6 某企业下半年劳动生产率资料如表 8–6，计算平均月劳 动生产率和下半年平均职工劳动生产率。 表 8–6 某企业下半年劳动生产率资料 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 （a）总产值/万元 （b）月末职工人数/人 （c）劳动生产率/（元/人） 87 460 1948 91 470 1957 94 480 1979 96 480 2000 102 490 2103 98 480 2021 91 450 1957 解：从表 8–6 中可以看到，劳动生产率的分子总产值是时期指标， 分母职工人数是时点指标，计算平均月劳动生产率应用下列公式：
∑a)/n (b1/2+b2+b3+…bn/2)/(n-1 代入表中资料: 6+102+98+91)/6 (460/2+470+480+480+490+480+450/2)/(7-1) =2003.5元/人 若计算下半年平均职工劳动生产率,则有两种计算形式。一种是 用下半年平均月劳动生产率乘月份个数n即nc=2003.5×6=12021元/ 人得出,另一种则采用下列公式计算: (b1/2+b2+b3+…+bn/2)/n-1) 代入表中资料 (460/2+470+480+480+490+480+450/2)/(7-1) =12021元/人 8.2.3.增减量 增减量是报告期水平与基期水平之差,用以说明现象在一定时期 内増减的绝对数量。由于所选择基期的不同,增减量可分为逐期增减 量和累积增减量, 逐期增减量是报告期水平与其前一期水平之差,说明本期较上期 增减的绝对数量,用公式表示为: (i=1,2,…,n) (8-7) 累积增减量是报告期水平与某一固定基期水平之差,说明报告期 与某一固定时期相比增减的绝对数量。用公式表示为: (i=1,2,…,n) 逐期增减量与累积增减量之间存在一定的关系:各逐期增减量的 和等于相应时期的累积增减量:两相邻时期累积增减量之差等于相应 时期的逐期增减量。用公式分别表示为:
( / / )/( 1) ( )/ 2 2 1 + 2 + 3 + − = = b b b b n a n b a c n 代入表中资料： 2003.5元 / 人 (460 / 2 470 480 480 490 480 450 / 2) /(7 1) (91 94 96 102 98 91) / 6 = + + + + + + − + + + + + c = 若计算下半年平均职工劳动生产率，则有两种计算形式。一种是 用下半年平均月劳动生产率乘月份个数 n 即 nc =2003.5×6=12021 元/ 人得出，另一种则采用下列公式计算： 元 人 代入表中资料 12021 / (460 / 2 470 480 480 490 480 450 / 2) /(7 1) 91 94 96 102 98 91 ( / 2 / 2)/( 1) 1 2 3 = + + + + + + − + + + + + = + + + + − = c ： b b b b n a c n 8.2.3. 增减量 增减量是报告期水平与基期水平之差，用以说明现象在一定时期 内增减的绝对数量。由于所选择基期的不同，增减量可分为逐期增减 量和累积增减量。 逐期增减量是报告期水平与其前一期水平之差，说明本期较上期 增减的绝对数量，用公式表示为： ( 1,2, , ) ai − ai−1 i = n （8–7） 累积增减量是报告期水平与某一固定基期水平之差，说明报告期 与某一固定时期相比增减的绝对数量。用公式表示为： ( 1,2, , ) ai − a0 i = n （8–8） 逐期增减量与累积增减量之间存在一定的关系：各逐期增减量的 和等于相应时期的累积增减量；两相邻时期累积增减量之差等于相应 时期的逐期增减量。用公式分别表示为：
