第5章数据分布特征的描述 【学习目标】 本章主要介绍了数据分布特征的描述的基本理论,包括平均指标 和变异指标的基本概念、种类以及各种计算方法,计算和应用平均指 标应注意的问题等。通过学习,使学习者能够掌握数据分布的集中趋 势和离散特征,为经济管理服务。 【学习要求】 通过本章的学习,要求理解并掌握平均指标和变异指标的基本概 念,熟练掌握各种计算方法,明确计算和运用平均指标应注意的问题 等等。 【学习内容】 统计数据分布的特征,可以从三个方面进行测度和描述:一是分 布的集中趋势,反映各数据向其中心值靠拢或聚集的程度,如算术平 均数:二是分布的离中趋势,反映各数据远离其中心值的程度,如标 准差:三是分布的偏态和峰度,反映数据分布的形状。这三个方面分 别反映了数据分布特征的不同侧面,第一、二方面是主要的。本章重 点讨论第一、第二两方面代表值的计算方法、特点及其应用场合 51集中趋势——数值平均数 集中趋势是指一组数据向其中心值靠拢的倾向,测度集中趋势也 就是寻找数据一般水平的代表值或中心值。取得集中趋势代表值的方 法通常有两种:一是从总体各单位变量值中抽象出具有一般水平的量, 这个量不是各个单位的具体变量值,但又要反映总体各单位的一般水 平,这种平均数称为数值平均数。数值平均数有算术平均数、调和平 均数、几何平均数等形式。二是先将总体各单位的变量值按一定顺序 排列,然后取某一位置的变量值来反映总体各单位的一般水平,把这
第 5 章 数据分布特征的描述 【学习目标】 本章主要介绍了数据分布特征的描述的基本理论，包括平均指标 和变异指标的基本概念、种类以及各种计算方法，计算和应用平均指 标应注意的问题等。通过学习，使学习者能够掌握数据分布的集中趋 势和离散特征，为经济管理服务。 【学习要求】 通过本章的学习，要求理解并掌握平均指标和变异指标的基本概 念，熟练掌握各种计算方法，明确计算和运用平均指标应注意的问题 等等。 【学习内容】 统计数据分布的特征，可以从三个方面进行测度和描述：一是分 布的集中趋势，反映各数据向其中心值靠拢或聚集的程度，如算术平 均数；二是分布的离中趋势，反映各数据远离其中心值的程度，如标 准差；三是分布的偏态和峰度，反映数据分布的形状。这三个方面分 别反映了数据分布特征的不同侧面，第一、二方面是主要的。本章重 点讨论第一、第二两方面代表值的计算方法、特点及其应用场合。 5.1 集中趋势——数值平均数 集中趋势是指一组数据向其中心值靠拢的倾向，测度集中趋势也 就是寻找数据一般水平的代表值或中心值。取得集中趋势代表值的方 法通常有两种：一是从总体各单位变量值中抽象出具有一般水平的量， 这个量不是各个单位的具体变量值，但又要反映总体各单位的一般水 平，这种平均数称为数值平均数。数值平均数有算术平均数、调和平 均数、几何平均数等形式。二是先将总体各单位的变量值按一定顺序 排列，然后取某一位置的变量值来反映总体各单位的一般水平，把这
个特殊位置上的数值看作是平均数,称作位置平均数。位置平均数有 众数、中位数、四分位数等形式 51.1算术平均数 算术平均数,是集中趋势测度中最重要的一种,它是所有平均数 中应用最广泛的平均数。因为它的计算方法是与许多社会经济现象中 个别现象与总体现象之间存在的客观数量关系相符合的。 例如,企业职工的工资总额就是各个职工工资额的总和,职工的 平均工资必等于职工的工资总额与职工总人数之比。所以,算术平均 数的基本公式应该是 算术平均数= 总体标志总量(变量值总量) 总体单位总量(变量值个数) 算术平均数一般就称为平均数(mean)。其定义是:观察值的总和 除以观察值个数的商。在已知研究对象的总体标志总量及总体单位总 量时,可直接利用上式计算。例如,某企业某月的工资总额为680000 元,职工总数为1000人,则: 该企业职工月平均工资=8009680(元) 1000 利用上式计算时,要求各变量值必须是同质的,分子与分母必须 属于同一总体,即公式的分子是分母具有的标志值,分母是分子的承 担者。在实际工作中,就手工计算而言,由于所掌握的统计资料的不 同,利用上述公式进行计算时,可分为简单算术平均数和加权算术平 均数两种 1.简单算术平均数( Simple Arithmetic Mean) 根据未经分组整理的原始数据计算的均值。设一组数据为 xn,则简单算术平均数的计算公式如下 Fx1+x2+…+xn_∑x (5-1) 例5-1据南方人才服务中心调查,从事IT行业的从业人员年薪 在400005000元之间,表5-1的数据是IT从业人员年薪的一个样本 表5-1 24名∏从业人员年薪资料表 00486004995048800 499005135054600
个特殊位置上的数值看作是平均数，称作位置平均数。位置平均数有 众数、中位数、四分位数等形式。 5.1.1 算术平均数 算术平均数，是集中趋势测度中最重要的一种，它是所有平均数 中应用最广泛的平均数。因为它的计算方法是与许多社会经济现象中 个别现象与总体现象之间存在的客观数量关系相符合的。 例如，企业职工的工资总额就是各个职工工资额的总和，职工的 平均工资必等于职工的工资总额与职工总人数之比。所以，算术平均 数的基本公式应该是： 算术平均数= ( ) ( ) 总体单位总量 变量值个数 总体标志总量 变量值总量 算术平均数一般就称为平均数（mean）。其定义是：观察值的总和 除以观察值个数的商。在已知研究对象的总体标志总量及总体单位总 量时，可直接利用上式计算。例如，某企业某月的工资总额为 680000 元，职工总数为 1000 人，则： 该企业职工月平均工资= 1000 680000 =680（元） 利用上式计算时，要求各变量值必须是同质的，分子与分母必须 属于同一总体，即公式的分子是分母具有的标志值，分母是分子的承 担者。在实际工作中，就手工计算而言，由于所掌握的统计资料的不 同，利用上述公式进行计算时，可分为简单算术平均数和加权算术平 均数两种。 1. 简单算术平均数（Simple Arithmetic Mean） 根据未经分组整理的原始数据计算的均值。设一组数据为 x1，x1，… xn，则简单算术平均数的计算公式如下： n x n x x x x n ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ 1 2 （5–1） 例 5–1 据南方人才服务中心调查，从事 IT 行业的从业人员年薪 在 40000-55000 元之间，表 5–1 的数据是 IT 从业人员年薪的一个样本： 表 5–1 24 名 IT 从业人员年薪资料表 49100 48600 49950 48800 47200 49900 51350 54600
49300512005100 51400518004960053400 4870050300490 48900486505130051900 计算IT从业人员的平均年薪。 根据公式计算如下: x 平均年薪x=2 49100+49300+…+53400+51900 =5021458(元) 2.加权算术平均数( Weighted Arithmetic Mean) 根据分组整理的数据计算的算术平均数。其计算公式为: x=x+x2/2+…+xn/=2可 (5-2) f1+/2 A 式中:∫代表各组变量值出现的频数 例5-2以表5-2为例,计算人均日产量。计算表见表5-2 解: 表5-2某企业50名工人加工零件均值计算表 频数∫ 105~110 322.5 12.5 115~120 117.5 940.0 120~125 17150 1275 12750 132.5 795.0 135~140 137.5 550.0 平均日产量∑x_6160 ∑50=1232件) 这种根据已分组整理的数据计算的算术平均数就称为加权算术平 均数。这时,算术平均数的大小,不仅取决于研究对象的变量值,而 且受各变量值重复出现的频数(f)或频率(f/∑f)大小的影响,如 果某一组的频数或频率较大,说明该组的数据较多,那么该组数据的 大小对算术平均数的影响就大,反之则小。可见各组频数的多少(或
49300 48700 51200 50300 51000 49000 49400 49800 51400 48900 51800 48650 49600 51300 53400 51900 计算 IT 从业人员的平均年薪。 根据公式计算如下： 50214.58( ) 24 1 49100 49300 53400 51900 平均年薪 = 元 + + + + = = = n x n i i x 2. 加权算术平均数（Weighted Arithmetic Mean） 根据分组整理的数据计算的算术平均数。其计算公式为： f xf f f f x f x f x f x n n n = + + + + + + 1 2 ＝ 1 1 2 2 （5–2） 式中：f 代表各组变量值出现的频数。 例 5–2 以表 5–2 为例，计算人均日产量。计算表见表 5–2。 解： 表 5–2 某企业 50 名工人加工零件均值计算表 按零件数分组 组中值 x 频数 f xf 105～110 110～115 115～120 120～125 125～130 130～135 135～140 107.5 112.5 117.5 122.5 127.5 132.5 137.5 3 5 8 14 10 6 4 322.5 562.5 940.0 1715.0 1275.0 795.0 550.0 合 计 –– 50 6160.0 平均日产量＝ ＝ ＝123.（件） 2 50 6160 f xf 这种根据已分组整理的数据计算的算术平均数就称为加权算术平 均数。这时，算术平均数的大小，不仅取决于研究对象的变量值，而 且受各变量值重复出现的频数（f）或频率（f／∑f）大小的影响，如 果某一组的频数或频率较大，说明该组的数据较多，那么该组数据的 大小对算术平均数的影响就大，反之则小。可见各组频数的多少（或
频率的高低)对平均的结果起着一种权衡轻重的作用,因而这一衡量 变量值相对重要性的数值称为权数。这里所谓权数的大小,并不是以 权数本身值的大小而言的,而是指各组单位数占总体单位数的比重 即权数系数(f/∑f)。权数系数亦称为频率,是一种结构相对数 当然,利用组中值作为本组平均值计算算术平均数,是在各组内 的标志值分布均匀的假定下。计算结果与未分组数列的相应结果可能 会有一些偏差,应用时应予以注意。在统计分析过程中,如果搜集到 的是经过初步整理的次级数据,或数据要求不很精确的原始数据资料 可用此法计算均值。如果要求结果十分精确,那么需用原始数据的全 部实际信息,如果计算量很大,可借助计算机的统计功能。 如果是计算相对数的平均数,则应符合所求的相对数本身的公式, 将分子视为总体标志总量,分母视为总体单位总量 例5-3某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成程序资料 如表5-3,计算平均产值计划完成程度。 平均产值计划完成程度实际完成产值∑x 计划产值∑f 26175 =10512% 24900 表5-3某工业公司产值完成情况表 组中值 计划产值实际产值 值计划完成程度 (%)企业数(个(万元)(万元) 2 2500 110~120 115 5060 合计 24900 26175 计划完成相对数的计算公式是实际完成数与计划任务数之比,因 此,平均计划完成程度的计算只能是所有企业的实际完成数与其计划 任务数之比,不能把各个企业的计划完成百分数简单平均 3.算术平均数性质 算术平均数在统计学中具有重要的地位,它是进行统计分析和统 计推断的基础。首先,从统计思想上看,它是一组数据的重心所在
频率的高低）对平均的结果起着一种权衡轻重的作用，因而这一衡量 变量值相对重要性的数值称为权数。这里所谓权数的大小，并不是以 权数本身值的大小而言的，而是指各组单位数占总体单位数的比重， 即权数系数（f／∑f）。权数系数亦称为频率，是一种结构相对数。 当然，利用组中值作为本组平均值计算算术平均数，是在各组内 的标志值分布均匀的假定下。计算结果与未分组数列的相应结果可能 会有一些偏差，应用时应予以注意。在统计分析过程中，如果搜集到 的是经过初步整理的次级数据，或数据要求不很精确的原始数据资料 可用此法计算均值。如果要求结果十分精确，那么需用原始数据的全 部实际信息，如果计算量很大，可借助计算机的统计功能。 如果是计算相对数的平均数，则应符合所求的相对数本身的公式， 将分子视为总体标志总量，分母视为总体单位总量。 例5–3 某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成程序资料 如表 5–3，计算平均产值计划完成程度。 ＝ ＝ ％ ＝ 计划产值 实际完成产值 平均产值计划完成程度＝ 105.12 24900 26175 f xf 表 5–3 某工业公司产值完成情况表 产值计划完成程度 （％） 组中值 （％） x 企业数（个） 计划产值 （万元） f 实际产值 （万元） xf 80～90 90～100 100～110 110～120 85 95 105 115 2 3 10 3 800 2500 17200 4400 680 2375 18060 5060 合计 - 18 24900 26175 计划完成相对数的计算公式是实际完成数与计划任务数之比，因 此，平均计划完成程度的计算只能是所有企业的实际完成数与其计划 任务数之比，不能把各个企业的计划完成百分数简单平均。 3. 算术平均数性质 算术平均数在统计学中具有重要的地位，它是进行统计分析和统 计推断的基础。首先，从统计思想上看，它是一组数据的重心所在
是数据误差相互抵消后的必然性结果。比如对同一事物进行多次测量, 若所得结果不一致,可能是由于测量误差所致,也可能是其他因素的 偶然影响,利用算术平均数作为其代表值,则可以使误差相互抵消, 反映出事物必然性的数量特征。其次,它具有下面一些重要的数学性 质,这些数学性质在实际工作中有着广泛的应用(如在相关性分析和 方差分析及建立回归方程中),同时也体现了算术平均数的统计思想 1.各变量值与其算术平均数的离差之和等于零,即∑(x-x)f=0 2.各变量值与其算术平均数的离差平方和最小,即∑ -min 4.利用计算工具求算术平均数 (1).利用计算器计算 对于未整理的原始数据或已整理分组的数列,均可利用计算器的 统计功能计算算术平均数。需要特别注意的是,当资料为变量数列时 定要遵循以下输入顺序:先输入变量值,然后输入乘号键,接下来 输入频数值,绝对不能颠倒次序 (2).利用计算机计算 运用计算机技术,不但能使人们从大量繁杂的手工处理数据的工 作中解脱出来,而且还可能大大提高对统计数据的利用率。虽然功能 强大的统计软件包在一般人使用的电脑上没有安装,但使用“ofce 软件的用户超过90%,而用“offe”软件中的“ excel”组件足可以及 时、准确、完整地将有关统计常用的基本统计量(如本章的算术平均 数)等迅速提供给人们 下面举一个简单的例子说明利用“ excel”计算算术平均数的步骤。 如,计算某班上学期期末考试各科平均成绩。 方法 第一步打开“ excel”,输入全班每位同学各科考试成绩(一般以 每行记录一名学生的各科成绩,也可以每列记录一名学生的各科成 绩) 第二步选择(单击)“工具”下拉菜单; 第三步选择(单击)“数据分析”选项 第四步从弹出的“分析工具”中选择(单击)“描述统计”并单 击“确定 第五步在对话框中的“输入区域”框内键入要计算的单元格区
是数据误差相互抵消后的必然性结果。比如对同一事物进行多次测量， 若所得结果不一致，可能是由于测量误差所致，也可能是其他因素的 偶然影响，利用算术平均数作为其代表值，则可以使误差相互抵消， 反映出事物必然性的数量特征。其次，它具有下面一些重要的数学性 质，这些数学性质在实际工作中有着广泛的应用（如在相关性分析和 方差分析及建立回归方程中），同时也体现了算术平均数的统计思想。 1．各变量值与其算术平均数的离差之和等于零，即∑ (x − x) f =0； 2 ．各变量值与其算术平均数的离差平方和最小，即∑ x x f 2 ( − ) =min。 4. 利用计算工具求算术平均数 （1）．利用计算器计算 对于未整理的原始数据或已整理分组的数列，均可利用计算器的 统计功能计算算术平均数。需要特别注意的是，当资料为变量数列时， 一定要遵循以下输入顺序：先输入变量值，然后输入乘号键，接下来 输入频数值，绝对不能颠倒次序。 （2）．利用计算机计算 运用计算机技术，不但能使人们从大量繁杂的手工处理数据的工 作中解脱出来，而且还可能大大提高对统计数据的利用率。虽然功能 强大的统计软件包在一般人使用的电脑上没有安装，但使用“office” 软件的用户超过 90％，而用“office”软件中的“excel”组件足可以及 时、准确、完整地将有关统计常用的基本统计量（如本章的算术平均 数）等迅速提供给人们。 下面举一个简单的例子说明利用“excel”计算算术平均数的步骤。 如，计算某班上学期期末考试各科平均成绩。 方法一： 第一步 打开“excel”，输入全班每位同学各科考试成绩（一般以 每行记录一名学生的各科成绩，也可以每列记录一名学生的各科成 绩）； 第二步 选择（单击）“工具”下拉菜单； 第三步 选择（单击）“数据分析”选项； 第四步 从弹出的“分析工具”中选择（单击）“描述统计”并单 击“确定”； 第五步 在对话框中的“输入区域”框内键入要计算的单元格区
域(如果包括字段行,则须选中“标志位于第一行”复选框。若分组 方式为逐行,则该复选框选定标志位于第一列):在“输出选项”中选 择输出区域;选择“汇总统计”(该选项给出全部描述统计量):单击 确定”。 第一步打开“ excel”,输入全班每位同学各科考试成绩(一般以 每行记录一名学生的各科成绩,也可以每列记录一名学生的各科成 绩) 第二步在适当的单元格内输入计算公式(以每行记录一名学生 的各科成绩为例,假设第一行依次为姓名及各考试科目名称,最后 名学生第一科的成绩所在单元格为B45,则可在B46单元格输入计算 公式“: average(b2:b45)”),然后回车;或者在适当的单元格内插 入函数(选择“插入”下拉菜单,然后选择“函数”,接下来从弹出的 对话框左边的函数类别中选择“统计”,再从对话框右边的函数名中选 择“ Average”,最后单击“确定”) 第三步选定第二步计算结果所在单元格,复制其他考试科目的 平均成绩。 51.2调和平均数( Harmonic mean) 1.调和平均数的计算方法 与算术平均数类似,调和平均数也有简单的和加权的两种形式 其计算公式分别为 H (5-3) 1s1 H=m+m2+…+m (5-4) 由于调和平均数也可以看成是变量x的倒数的算术平均数的倒数 故有时也被称作“倒数平均数 例5-4假定有A、B两家公司员工的月工资资料如表5-4的前 三列。试分别计算其平均工资
域（如果包括字段行，则须选中“标志位于第一行”复选框。若分组 方式为逐行，则该复选框选定标志位于第一列）；在“输出选项”中选 择输出区域；选择“汇总统计”（该选项给出全部描述统计量）；单击 “确定”。 方法二： 第一步 打开“excel”，输入全班每位同学各科考试成绩（一般以 每行记录一名学生的各科成绩，也可以每列记录一名学生的各科成 绩）； 第二步 在适当的单元格内输入计算公式（以每行记录一名学生 的各科成绩为例，假设第一行依次为姓名及各考试科目名称，最后一 名学生第一科的成绩所在单元格为 B45，则可在 B46 单元格输入计算 公式“：average（b2：b45）”），然后回车；或者在适当的单元格内插 入函数（选择“插入”下拉菜单，然后选择“函数”，接下来从弹出的 对话框左边的函数类别中选择“统计”，再从对话框右边的函数名中选 择“Average”，最后单击“确定”）； 第三步 选定第二步计算结果所在单元格，复制其他考试科目的 平均成绩。 5.1.2 调和平均数（Harmonic Mean） 1. 调和平均数的计算方法 与算术平均数类似，调和平均数也有简单的和加权的两种形式， 其计算公式分别为： = = + + + = n n i i x n x x x n H 1 2 1 1 1 1 1 （5–3） = = = + + + + + + = n i i i n i i n n n x m m x m x m x m m m m H 1 1 2 2 1 1 1 2 （5–4） 由于调和平均数也可以看成是变量 x 的倒数的算术平均数的倒数， 故有时也被称作“倒数平均数”。 例 5–4 假定有 A、B 两家公司员工的月工资资料如表 5–4 的前 三列。试分别计算其平均工资
表5-4两公司员工工资情况表 月工资x(元) 工资总额m(元 员工人数fmx(人) A公司 B公司 A公司 B公司 48000 40000 1000 0000 40000 32000 40000 150000 120000 150 115 在这里,平均工资作为“单位标志平均数”仍然必须是标志总量 (工资总额)与单位总数(员工总数)之比。依据给出的月工资水平 和工资总额的分组资料,可以首先用前者来除后者,得到各组的员工 人数,进而加总得到全公司的员工总数(表中后两列),这样就很容易 计算出两个公司各自的平均工资。将这些计算过程归纳起来,就是运 用了调和平均数的公式。 现在,我们计算A公司的平均工资,得到: 48000+70000+32000 H= 48000700003200 0001600 =150000/150=10000元) 对于B公司,固然也可以采用加权调和平均数公式来计算其平均 工资 ∑m 40000+40000 ∑m4000400 001000 120000 ≈1043.48(元) 然而在这里,由于各组的权数(工资总额)相同,实际上并没有 真正起到加权的作用。我们采用简单调和平均数的公式来计算,可以 得到完全相同的结果,而计算过程却大大简化了 3.48(元) x180010001600
表 5–4 两公司员工工资情况表 月工资 x (元) 工资总额 m(元) 员工人数 f=m/x(人) A 公司 B 公司 A 公司 B 公司 800 1000 1600 合计 48000 70000 32000 150000 40000 40000 40000 120000 60 70 20 150 50 40 25 115 在这里，平均工资作为“单位标志平均数”仍然必须是标志总量 （工资总额）与单位总数（员工总数）之比。依据给出的月工资水平 和工资总额的分组资料，可以首先用前者来除后者，得到各组的员工 人数，进而加总得到全公司的员工总数（表中后两列），这样就很容易 计算出两个公司各自的平均工资。将这些计算过程归纳起来，就是运 用了调和平均数的公式。 现在，我们计算 A 公司的平均工资，得到： 150000 /150 1000( ) 1600 32000 1000 70000 800 48000 48000 70000 32000 3 1 3 1 = = 元 + + + + = = = = i i i i i A x m m H 对于 B 公司，固然也可以采用加权调和平均数公式来计算其平均 工资： 1600 40000 1000 40000 800 40000 40000 40000 40000 3 1 3 1 + + + + = = = = i i i i i B x m m H 1043.48（元） 115 120000 = 然而在这里，由于各组的权数（工资总额）相同，实际上并没有 真正起到加权的作用。我们采用简单调和平均数的公式来计算，可以 得到完全相同的结果，而计算过程却大大简化了： 1043.48( ) 1600 1 1000 1 800 1 3 1 3 3 1 元 + + = = i= i B x H
2.由相对数或平均数计算平均数 例5-5设有某行业150个企业的有关产值和利润资料如表5 表5-5某行业产值和利润情况表 产值利润率 季度 %)企业数(个实际产值(万元企业数个实际利润(万元 48700 6474 表中给出的是按产值利润率分组的企业个数、实际产值和实际利 润资料。应该注意,产值利润是一个相对指标,而不是平均指标。为 了计算全行业的平均产值利润率,必须以产值利润率的基本公式为依 据 产值利润率=实际利润 100% 实际产值 并选择适当的权数资料,适当的平均数形式,对各组企业的产值利润 率进行加权平均。容易看出,计算第一季度的平均产值利润率,应该 采用实际产值加权,进行算术平均,即有: 季度平均_Σy0.075×5700+0.15×20500+0.25×22500 产值利润率x 5700+20500+22500 91275 =18.74% 48700 而计算第二季度的平均产值利润率,则应该采用实际利润加权, 进行调和平均,即有: 二季度平均∑m710+3514+2250 产值利润率sm7104351442250 0.0750.150.25 6474 =1545% 41893.3 由上例可见,对于同一问题的研究,算术平均数和调和平均数的 实际意义是相同的,计算公式也可以相互推算,采用哪一种方法完全 取决于所掌握的实际资料。一般的做法是,如果掌握的是基本公式中
2. 由相对数或平均数计算平均数 例 5–5 设有某行业 150 个企业的有关产值和利润资料如表 5– 5。 表 5–5 某行业产值和利润情况表 产值利润率 (％) 一 季 度 二 季 度 企业数(个) 实际产值(万元) 企业数(个) 实际利润(万元) 5－10 10－20 20－30 30 70 50 5700 20500 22500 50 80 20 710 3514 2250 合 计 150 48700 150 6474 表中给出的是按产值利润率分组的企业个数、实际产值和实际利 润资料。应该注意，产值利润是一个相对指标，而不是平均指标。为 了计算全行业的平均产值利润率，必须以产值利润率的基本公式为依 据： = 100% 实际产值 实际利润 产值利润率 并选择适当的权数资料，适当的平均数形式，对各组企业的产值利润 率进行加权平均。容易看出，计算第一季度的平均产值利润率，应该 采用实际产值加权，进行算术平均，即有： 18.74% 48700 9127.5 5700 20500 22500 0.075 5700 0.15 20500 0.25 22500 = = + + + + = = f xf 产值利润率 一季度平均 而计算第二季度的平均产值利润率，则应该采用实际利润加权， 进行调和平均，即有： 15.45% 41893.3 6474 0.25 2250 0.15 3514 0.075 710 710 3514 2250 = = + + + + = = x m m 产值利润率 二季度平均 由上例可见，对于同一问题的研究，算术平均数和调和平均数的 实际意义是相同的，计算公式也可以相互推算，采用哪一种方法完全 取决于所掌握的实际资料。一般的做法是，如果掌握的是基本公式中
的分母资料,则采用算术平均数,如果掌握的是基本公式中的分子资 料,则采用调和平均数的计算公式。 3.调和平均数特点 (1)调和平均数易受极端值的影响,且受极小值的影响比受极大 值的影响更大。 (2)只要有一个变量值为零,就不能计算调和平均数。 (3)当组距数列有开口组时,其组中值即使按相邻组距计算了 假定性也很大,这时,调和平均数的代表性就很不可靠。 (4)调和平均数应用的范围较小。 5.13几何平均数( Geometric mean) 几何平均数也称几何均值,它是n个变量值乘积的n次方根。根 据统计资料的不同,几何平均数也有简单几何平均数和加权几何平均 数之分 1.简单几何平均数( Simple Geometric Mean) 直接将n项变量连乘,然后对其连乘积开n次方根所得的平均数 即为简单几何平均数。它是几何平均数的常用形式。计算公式为 G (5-5) 式中:G代表几何平均数,∏代表连乘符号 例5-6某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的 合格率分别为95%92%、90%、85%80%,整个流水生产线产品的 平均合格率为 G=√0.95×0.92×090×0.85×0.80 0.5349=8824% 2.加权几何平均数( Weighted Geometric Mean) 与算术平均数一样,当资料中的某些变量值重复出现时,相应地, 简单几何平均数就变成了加权几何平均数。计算公式为: XG
的分母资料，则采用算术平均数，如果掌握的是基本公式中的分子资 料，则采用调和平均数的计算公式。 3. 调和平均数特点 （1）调和平均数易受极端值的影响，且受极小值的影响比受极大 值的影响更大。 （2）只要有一个变量值为零，就不能计算调和平均数。 （3）当组距数列有开口组时，其组中值即使按相邻组距计算了， 假定性也很大，这时，调和平均数的代表性就很不可靠。 （4）调和平均数应用的范围较小。 5.1.3 几何平均数（Geometric Mean） 几何平均数也称几何均值，它是 n 个变量值乘积的 n 次方根。根 据统计资料的不同，几何平均数也有简单几何平均数和加权几何平均 数之分。 1. 简单几何平均数（Simple Geometric Mean） 直接将 n 项变量连乘，然后对其连乘积开 n 次方根所得的平均数 即为简单几何平均数。它是几何平均数的常用形式。计算公式为： n n i n i n G x x x x x = = = 1 1 2 3 （5–5） 式中：G 代表几何平均数， 代表连乘符号 例 5–6 某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的 合格率分别为 95％、92％、90％、85％、80％，整个流水生产线产品的 平均合格率为： 0.5349 88.24% 0.95 0.92 0.90 0.85 0.80 5 5 = = G = 2. 加权几何平均数（Weighted Geometric Mean） 与算术平均数一样，当资料中的某些变量值重复出现时，相应地， 简单几何平均数就变成了加权几何平均数。计算公式为： f n i f i f f n f f f G n i x x x x x x = = = 1 1 2 3 1 2 3
(5-6) 式中:f代表各个变量值出现的次数。 例5-7某工商银行某项投资年利率是按复利计算的。20年的利 率分配如表5-6,计算20年的平均年利率。 表5-6 投资年利率分组表 年限 年利率(%)本利率(%)x年数(个)厂 第1年 105 第2年至第4年 3 第5年至第15年 第16年至第20年 118 按公式计算20年的平均年利率: xG=V105×108×115×1.18=11414% 即20年的平均年利率为11414%-1=1414% 3.几何平均数特点 (1)几何平均数受极端值的影响较算术平均数小 (2)如果变量值有负值,计算出的几何平均数就会成为负数或虚 数 (3)它仅适用于具有等比或近似等比关系的数据。 (4)几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均数 52集中趋势——位置平均数 位置平均数,就是根据总体中处于特殊位置上的个别单位或部分 单位的标志值来确定的代表值,它对于整个总体来说,具有非常直观 的代表性,因此,常用来反映分布的集中趋势。常用的众数、中位数 52.1众数(Mode 1.众数的含义 某制鞋厂要了解消费者最需要哪种型号的男皮鞋,调查了某百货 商场某季度男皮鞋的销售情况,得到资料如表5-7
（5–6） 式中：fi 代表各个变量值出现的次数。 例 5–7 某工商银行某项投资年利率是按复利计算的。20 年的利 率分配如表 5–6，计算 20 年的平均年利率。 表 5–6 投资年利率分组表 年限 年利率（%） 本利率（%）xi 年数（个）fi 第 1 年 5 105 1 第 2 年至第 4 年 8 108 3 第 5 年至第 15 年 15 115 11 第 16 年至第 20 年 18 118 5 合 计 — — 20 按公式计算 20 年的平均年利率： 1.05 1.08 1.15 1.18 114.14% 20 1 3 11 5 xG = = 即 20 年的平均年利率为 114.14%-1=14.14% 3. 几何平均数特点 （1）几何平均数受极端值的影响较算术平均数小。 （2）如果变量值有负值，计算出的几何平均数就会成为负数或虚 数。 （3）它仅适用于具有等比或近似等比关系的数据。 （4）几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均数。 5.2 集中趋势——位置平均数 位置平均数，就是根据总体中处于特殊位置上的个别单位或部分 单位的标志值来确定的代表值，它对于整个总体来说，具有非常直观 的代表性，因此，常用来反映分布的集中趋势。常用的众数、中位数。 5.2.1 众数（Mode） 1. 众数的含义 某制鞋厂要了解消费者最需要哪种型号的男皮鞋，调查了某百货 商场某季度男皮鞋的销售情况，得到资料如表 5–7
