第八章二阶电路 包含一个电容和一个电感,或两个电容,或两个电感的动态电路成为二阶电路。这类电 路叮以用一个二阶微分方程或者两个联立的一阶微分方程米描述,且仍然可以运用分解方法 来进行分析 81LC电路肿的正弦振荡 物理分析 图8-1小由一个电感L和一个电容C构成的零输入LC电路,设电容的初始电压为U 电感的初始电流为零 L 图8-1LC电路中能量的振荡 、数学分析 设u(O)=l,i2(0)=0 初始时刻1=0,w1=0,WC=CU U1=L=U0≠0→≠0→i开始增长,W发生转移 bI正向增长期间,Uc,wW (Uc=U4=La=0→=0→)m=1,Wmx=L/2 c.i正向减少期间,c被反向充电 u个当1=0时,u=0(做性相反),W2=0,Wcm=+c0
d.I反向增长期间,c开始放电 u当u。=O时,im=1,WC=0,Wm= e.1反向增长期间,c被充电 u个,当i=0时,=u0,W1=0,WCm=tc 振荡 1.贮能在电场和磁场之间往返转移,电路中的电流和电压将不断的改变大小和极性,形 成振荡。当R=0时,这种由初始贮能维持的振荡是等輻振荡。 2,当R≠0时,振荡称为阻尼振荡或衰减振荡。 3.当R较大时,电路不产生振荡 四.振荡方式变化简析 如图8-2设LC回路中L=HC=1F,2(O)=1v,4(0)=0 图8-2LC振荡回路 根据元件的VAR得 猜想u1(1)=cos,i()=sint,显然符合例始条件及元件的WAR 所以LC回路中的等幅振荡是正铉方式随时闰变化的。 LC回路的贮能W()=Li2()++cm2(t)=(sin2t+cos2)=J 即贮能不断在电场和磁场之间往返,永不消失。 82~84RLC串联电路的零输入响应
含源电阻网络 b 图8-3RLC串联电路 图8-3小电路(a),运用戴维南定理可得图(b)所小的RLC串联电路。以电容电压lc(1) 作为响应,根据元件的VAR以及KVL得 d-u du LC-+RC-+uc=loc(o) 这是一个线性阶常系数微分方程。本节讨论电路得零输入响应,也就是uoc()=0时 电路的响应,此时式变为齐次方程 dour du 0 dtl dt LC L称为衰减常数:0 称为固有振荡频率 2lc=0 由微分方程的理论可知,这一齐次方程解的形式将由特征方程根的性质而定。式的特征 方程为 L LC 该方程的两个特征根为 R R 2L LC 特征根即电路的固有频率,由于R、L、C数值不同,有频率S1,S2会出现以下三种不同 的情況 (1)当a>∞0时,s1;S2为不相等的负实数;
(2)当=O。时,S1,S2为相等的负实数 (3)当a,即(2)2>LC时,s,s:为不相等的负实数,微分方程的通解为 (t)=K1e+k2 根据初始条件 lc(0)=K1+K2 d/0=xs+k2s2=2(O s24c(0)-2(0) K 因而所求响应为 (se”-S2e)+ SI- (S1-S2)C 路中的电流 (o=cuc-uc(O), s,C s2-s,e-e)+20 为了简化讨论中的计算,又不失一般性,令c(0)=U0,i(0)=0。上式表明i(t) 始终为负佰,页说明电容电压的变化率始终为负值,即电容电压始终单调下降。因此电容自 始至终在放电,最后电压、电流均趋于零。lC()和i1()的波形如图8-4所小。由于电流 得初始值和稳态值均为零,因将在某一时刻′电流达到最大值,此时令· di dt in
i(t)uc(t) U 图8-4过阻尼时的c()和i2(t)的波形 从物理意义上说,。。见书135页 例82图8-3所示电路C=F,L=H,R=392,u2(O)=2V,(0)=1A,120时um2(2) 0,试求。()及i2(1),t≥0 的s12=-+√(2)2-=-3+1 由l2(t)=K1e+k2e 订得u2(0)=K1+K2 0)=s1K1+S2K2 解得K1=6,K2=-4 故得u、()=6e2-4e4 又i1()=C lyi的波形如图8-7所小
▲a( 临界阻尼情况( critically damped) 当a=n,即 R 2LLC,S2为相等的负实数(S1=2=-a),微分方程的 通解为: uc()=Ke+K,te=(K+k,t)e 根据初始条件 (0)=K -aK, +K i2(0) C 得系数 K,=l(0) +ac(0) 因而所求响应为:c(1)=c(0)(1+ae i2(0) C i, (=c luc(t) c(0)a Cte +i, (O(I-at ) e
由上两式可见:电路得响应仍然是非振荡性的。 例83图8-3所示电路中R=192L=是H,C=1F;u2(0)=-1,(0)=0;t≥0,u() C。试求() 解:电路的固有频率 s32=-±√)2- 电路属于临界阻尼状态。 i2()=K1e”+K2te 0)=K1=0 2(0)=sK1+K2 又由图8-3所示电路可知 La+l2(0)+R0)=0 因此s1K1+K2 K1=0, 所以i()=4e2A(≥0) i(d) 图8-8界阻尼时的零输入响应i 欠阻尼情况 当∝<0,即()2 2LLC时,S1,s2为共轭复数,其实部为负数,即 Jod 微分方程的通解为 I Cos@,t+K sIno 根据初始条件uc(0)=K1 i2(0)
得系数 K1=lc(0) 例84电路如图8-3,R=192,L=1H,C=1F,u2(O)=1,2(0)=1A。求零输入响应 (1)及i(t) 解:512=-12=-±m同有频率为共轭复数,响应时振荡性的 衰减系数a为 衰减振荡角频率v为。 u (o=e(K cos wat+K, sin wat) 由上式可得 (0)=K1=1,u(O)=-aK1+wk2 故知K1=1,K2=√3 因此()=e(cost+√3sin)(t≥0) 可得 i()=2ecos(1+3)4(≥0) l.(1)及i()波形如图8-11所示 图8-1168-4
例85图8-12所示LC振渤回路,L=H,C=4F,l(0)=1V,(0)=1A 求零输入响应4(1)及() l2(t) +=0 √c u (t)=K cos wot+K, sin wot K1=1 (0)=k2 得K1=1,K2=k 因此a()=cos2t+ksin2=1.0lcos(21-7) i4()=C=-8in2t+cos2t=8.06c05(2+83)4(≥0) 波形如图8-13所小 85直流RLC串联电路的完全响应 如果在图所示的电路中,uoc(t)=U。(t≥0),则该电路的微分方程为 上式所对应的非齐次方程的通解为:le()=uc(1)+lm(t) 其中满是方程的特解Cp()=U;根据国有频率的三种不同情,方程的齐次解形式
仍分别如二式所示,但其中的系数K1、K2需在求得非其次方程的通解后方可确定。 86GCL并联电路的分析 设含电感和电容的阶电路如图8-17所示,运用诺顿定理可得如图(b)所示的GCL 并联电路。根据元件的VAR以及KCL得 将上述方程与方程对比可以发现:方程是方程得对偶形式,即GCL并联电路是RLC串联电 路的对偶形式,因而可以从已有的串联电路的解答方使地推出串联电路的解答 含源电阻网络 图8-17GCL并联电路 例8-9图817所示电路,L=lHC=IF求i(1)的阶跃响应,若(1)G=10S; (2)G=2S:(3)G=S 解:电路方程如(8-48)式,其中i()=1A, s12=-是±y(是)2- 一是士八-() 当(是)2>时用(a)式;当(是)2<时用(b)式
