第十四章耦合电感和理想变压器 本章介绍两种电路元件一一耦合电感与理想变压器 耦合电感是记忆元件,而理想变压器是非记忆元件;耦合电感是贮能元件, 而理想变压器不贮能也不耗能 ?141耦合电感的伏安关系 耦合电感:指多个线圈(介绍两个线圈)相互之间存在磁场的联系 亡是耦合线圈的理想化模犁 单个线圈(电感、或称自感)的关系:磁链=数乘以磁通:Q=N 线性自感一磁链与电流之比:L=9=N 若电感电压电流关联参考方向,由电磁感应定律可知: dt dt 设两线圈的电压和电流参考方向均各自关联。由图,磁通方向与电流方向符合右 于法则。 其中q1表小线圈1电流在本线圈中产生的磁 链,称为自感磁链:;类此有92 %表示线图2的线圈电流在线圈1中产生的磁 Ⅱ1链,称为互感磁链,类此有21。图中显示自磁 链与互磁链的参考方向一致:若线圈2改变绕 (2 向,则自磁链与互磁链参考方向将不一致。因 此,穿过一线圈的总磁链有两种可能,分别表 9=1+92=L1±M12l2 92=92+1=L12±M1式中L1=2,L2=92称为自感系数,单位亨(利)用 式中M1=92,M2=9称为互感系数,单位亨(利)H,EM12=M2=M 当两个线圈同时通以电流时,每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压
di +M di 在正弦交流电路中,其相量形式的方程为 1+l2,=M U1= jOL, 11+ joM12 12 耦合电感的性质: U2=jOM2111+ jOL,12 ①从能量角度可以证明,对于线性电感M2=M2=M2互感系数M只与两个线 圈的儿何尺寸、匝数、相互位置和周围的介质磁导率有关,如其他条件不变时, 隅合系数( coupling coefficien)k,k表示两个线圈磁耦合的紧密程度 k=M,可以证明,k三1。全耦合时:的=1,2=的 L,Lz N L N2中2 互感线圈的同名端具有互感的线圈两端 12M21=L1L2 L,L 的电压包含自感电压和互感电压。表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关。对 自感电压,当l,i取关联参考方向,i与φ符合右螺旋定则,其表达式为 d中1 L1以上式说明,对于自感电压由于电压电流为同 线圈上的,只要参考方向确定了,其数学描述便可容易地写出,可不用考虑线 圈绕向。对线性电感,用w,描述其特性,当u,i取关联方向时,符号为正:当 l,i为非关联方向时,符号为负。 对互感电压,因产生该电压的的电流在另一线圈上,因此,要桷定其符号,就必 须知道两个线圈的绕向。这在电路分析中显得很不方便。引入同名端来解决这个 问题。同名端:当两个电流分别从两个线閣的对应端子流入,其所产生的磁场 相互加强时,则这两个对应端」称为同名端。同名端表明了线圈的相互绕法关系 确定同名端的方法:(1)当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出)时,两个 电流产生的憾场相互增强.(2)当随时间増大的时变电流从一线闔的一端流入 时,将会引起另一线圈相应同名端的电位升高 例 同名端的实验测定
M 2 2 电压表正偏,1与2是同名端 0, M 当两组线圈装在黑盒里,只引出四个端线组,要确定其同名端,就可以利用上面 的结论来加以判断。 三、由同名端及ui参考方向确定耦合电感线圈的伏安关系 有了同名端,以后表示两个线圈相互作用,就不再考虑实际绕向,而只画出 同名端及参考方向即可。(参考前图,标出同名端得到下面结论)。 l21=-M c"∧A 时域形式 M di di di 2 M dr *l d, 在正弦交流电路 中,其相量形式的方程为 Ly U1=jL1i1+joM2U2=jMI1+joL2F2注意: (1)一个线圈可以不和一个线圈有磁耦合关系:有三个线圈,相互两两之间都 有磁耦合,每对耦合线圈的同名端必须用不同的符号来标记
(2)互感电压的符号有两重含义。同名端 参考方向:互感现象的利与弊: 利用——变压器:信号、功率传递避免——千扰 ?14-2耦合电感线圈间的串联和并联 12 l1=L1 L2 I2 u-M d+ l dt 1 耦合电压等效为附加电压源 L, W2 di l1 dt di 1 L1 L22 耦合电感的串联 (1)顺接:异名端相接
()=1x+2Mx+12x=(1+L2+2M) dt dt dt dt 顺接串联的耦合电感可以用一个等效电感L米代替。 (2)反接:同名端相接 . Ly di M d t ()=L1-2M+L2=(L1+L2-2M)=L 反接串联的耦合电感可以用一个等效电感L来代替。 电感为无源元件,贮能W=L2≥0 ∴L+L2≥2M 在正弦稳态电路中 顺接串联的等效阻抗Z=v(L1+L2+2M) 反接串联的等效阻抗Z=w(L1+L2-2M 注意:在正弦稳态分析中,两个串联电感的等效阻抗在有互感时并不能如直流电 阻电路中把两电感阻抗相加,而应根据顺,反串接加、减2zM才行。而将互感 现象用附加电压源等效并,电感的串并联与电阻电路中相同。 耦合电感的并联 Ly jwL juLy jwM(1-12)
U=JWL,-JwL1,+ jwMl, -JWLI+JwL I,+JwM,+jwL, L,-2jwM,=0 互阻抗Z jwL,+ 0jw1+jw2-2 -jwL,+ jwM jwl,+ jwL,+jwL,-2jwM U(L1+L2-2M) (LL2-M2) 等效阻抗为Z=jv(LL2-M2),等效电感为∠=(LL2-M) (L1+L2-2M 2M 两个并联电感的等效阻抗在有互感时不能用z=22计算 L20∴LL2-M220,即:M2≤LL2,∴Mm=√L2 耦合系数k M ￥√42,0≤k≤1,k反映了磁通相耦合的程度。k≈1为紧耦合,k较小为松 ?143空芯变压器电路的分析 设空芯变压器电路 R R2 R RI
(R+jwL)I,+jwM2=U 1mM1+(R2+mL)2+Rh2=0 Z1+Z122=U,Z1=R1+mwL1,22=Z21=mwM z2l1+Z212=0 Z2=R2+R+jwl R,+Ri+jwL, n21Z2-21(R+mL)(R2+R2+mL)+(wM) Z212 (R,+jwL)(R2+R,+ jwL, )+(wM) U 若同名端位置与上图不同,则Z12=Z2=-wM。对一样,对2却是不同 输入阻抗 (R,+ jwL) (R2+R2+iw2) 次级回路在级回路的反映阻抗 当2=0,即次级开路,则Z=Z1,当2≠0,Z1中增加了反映阻抗项。 等效初级电路 1) Z 1)初次级电流比 M 71(R2+R2+nw2) ∴12=二/mM互感电压 次级自阻抗 (2)初次级电压比 U.R/ -jwMR (R,+wL(R2+RL+jwL2)+(wM)
例1.1=39H,12-001,4#5H,R1=209,2=082,RL=429, RI R2 0=lrad/s t 原:N jo L jo L 空芯变压器原边等效电路为: =z,+=10.5-(-6.9)A 11 =0.351A (M)2 其中:Z1=R1+jdL=20+jl131 Z2=R2+R1+joL=42.08+j1885 例2.已知US=20V,原边等效阻抗Z=10-j10W.求:ZX并求负载获得的有功 功率. 10g 10+j10g j10Q2 ZF10-j10Q2 Z=0M =+…zx=2+98 此时负载获得的功率:Z,=z,PA10W实际是最佳匹配 P=P=(,20,)3R=10w?144耦合电感的去耦等效电路 在一ˆ公共端钮相联接的耦合电感,去耦等效电路可用三个电感组成的T形网络等效组成
di l4=L1 di l4 dt di 系数相等可得: L-M, L,=M, L=L,-M ?145理想变压器的伏安关系 当耦合电感满足下面三个条件时 1.L1,L2→但L12比值不变(磁导率》)则有2.个耦合k 3.没有能量损耗 则耦合电感就成了理想变压器,它只冇唯一的参数,称之为变比或匝比n nU 1 12(t)=m1(t) i2(t)=--i(1) 理想变压器是一种非记忆元件 其伏安关系与同名端位置的关系为 当电压参考方向相对于同名端位置一致时,则关系式取正号 当电流参考方向相对于同名端位置相反时,则关系式取正号 如下图 其伏安关系为 i2()=-i1(1)
?145理想变压器的阻抗变换性质 理想变压器的次级接电阻RL I i RL 下面以时域变量进行推导: n(2-l2/R2) R 电阻R接在次级,在变压器例级端的等效输入电阻为R2n2。 当n>1(NN2小为升压变压器,变换后数值变小,当nN2)时为降压变压器,变换 后数值变大。从匝薮少的一端的输入电阻是誡小的,而从匝数多的一端的输入电阻是增大的。 初级回路串接R u,=nu=n(u,-Ri=nu, -nRi=nu, -(ni)=nu, +n ri 初级串联电阻R转移到次级回路中以电阻n2R出现。 正弦稳态时,可实现最大模匹配下的功率匹配。 例:已知电源内阻RS=1kW,负载电阻RL=10W。为使RL上获得最大功率,求 理想变压器的变比n Rs n'R