第六章电容元件与电感元件 实际上,许多实际电路并不能只用电阻元件和电源元件来构成亡的模型。在模型中往 不可避免地要包含电容元什和电感元件。这两种元件的伏安关系都设计对电流、电压的微分 或积分,称之为动态元件( dynamic element)。 全少包含一个动态元件的电路称为动态电路 61电容元件( capacitor) 电路理论中的电容元件是实际电容器的理想化模型 1、电容器:把两块金属极板用介质隔开就可构成一个简单的电容器。在外电源作用下 两块柲板上分别存储等量的昦性电荷:外电源撤走后,这些电蒨依靠电场力的作用,相互吸 引,而乂为介质所绝缘不能中和,因而柲板上的电荷能长久存储下去。因此(1)电容器是 种能够存储电的器件:(2)电容器是一种能够存储电场能贔的器件:(3)理想电容器是 种电荷与电压相约束的器件 2、电容元件的定义:一个二端元件,如果在任一时刻t,它的电荷q()同它的端电压 之间的关系可以用a-q平面的一条曲线来确定,则此二端元件称之为电容元件 在讨论q(t)与l()的关系时,通常采用关联的参考方向,即在假定为正电位的极板上 电荷也假定为正。如图6-1所小中q(1)与(m)即假设为关联参考方向 图6电容元件的符号 3、线性非时变电容元件:如果-q平面上的特性曲线是一条通过原点的直线,且不 随时间而变,则此电容元件称之为线性非时变电容元件,亦即 q(1)=Cl() 式中C为正值常数,它是用来度量特性曲线斜率的,称为电容。在国际单位制中,C的单 位为法拉(F)。 每一个电容器允许承受的电压值是有限度的,电压越高,介质就会被击穿。因此使用 电容器时不应超过他的额定工作电压。 62电容的伏安关系 、伏安关系的微分形式 1、微分形式: 设电容如图6-1所小,且设电流i()的参考方向箭头指向标注q()的极板,于是 1(1)
上式是在u(ω)和i(1)关联参考方向的前提下使用的:如果u()和i()是非关联参考方向,则 i(1)=-C 2、物理意义 (1)某一时刻电容的电流取决于该时刻电容电压的变化率,即(1)x一:如果电容两 端的电压不变,即为直流时,则有一=0,即电流i()=0,电容元件相当于开路。因此 电容有隔直流的作用 (2)如电流()是有限值,则有一,是有限值,即电容电压u(t)不能跃变,只能连续 变化。 伏安关系的积分形式 、积分形式: l(1) i()d2 C4+c(4=m0n)+L(55 2、物理意义 (1)在某一时刻t时电容电压的数值并不取决于该时刻的电流值,而是取决于从-x到 所有时刻的电流值,也就是说与全部过去历史有关。 (2)没有必要去了解初始时刻t0以前电流的情況,t0以前全部厉史情况对未来(t>to 时)产生的效果可以由(t0),即电容的初始电压来反映。也就是说,只要知道了初始时刻 10开始;作用的电流(1)以及电容的初始电压u(t0),就能确定t≥to时的电容电压l(1)。 电容是聚集电荷的元件,式实际上分别是从电荷变化的角度和电荷积累的角度来描述电容的 伏安关系的。 例6-1电容与电压源相接如图6-3a)所小,电压源电压随时间按三角波方式变化如图 (b),求电容电流。 解已知电源两端电压u(t),求电流可用(6-4)式。 从0.25到075ms期间,电压u出1100V线性下降到-100V,其变化率 200×103=-4×10
6-3线性电容对三角波电压源的响应 故知在此期间,电流 C业=10-6×4×103=-0.4A 从0.75到1.25期间 054×10 du- 200 故知在此期 i=Cm=10×4×103=0.4A 得电流随时间变化的曲线如图(c)中所示,这种曲线称为波形图
63电容元件的连续性质和记忆性质 电容的伏安关系 )=C(k uc(o)+cL i()ds t≥t 反映电容电压的两个重要性质,即电容电压的连续性和记忆性。 设想作用」电容的电流波形如图6-8〈a)所示,冫u(0)=0,则不难根据例6-2所示的方 法求得电容电压如图(b)所示 u(y) 图681F电容的电流及电压的波形 电容电压的连续性 1、内容:设电容电流()在闭区间[动]内为有界的,则电容电压c(0)在开区间 (ta,b)内为连续的。特别是,对任何时间t,且t<t<tb uc(t)=uc(t)
3、上式常归结为“电容电压不能跃变”,在动态电路分析问题中常用到这一结论,但 需要注意的是,当电容电流为无界时不能运用 电容电压的记忆性 电容电压取决于电流的全部历史,因此电容电压有“记忆”电流的性质,电容时一种 记忆元件。通常使用了初始电压c(0)对t<to时电流的记忆作用,二不必过间t<to时电 流的具体情況,即能在解决t≥10时的电容电压c(1)的问题中考虑到它的影响 设电容电压初始值a(t0)=U图6-9(a),由式可得 l()=u(0)+idl=(t0)+u1(t) U0+u1( t≥to 图6-9具有初始电压u的电容(图a)及其等效电路(图b) 由此可知:一个已被充电的电容,若已知l(0)=U,则在t≥l0时可被等效为一个未允电 的电容与电压源相串联的电路,电压源的电压值即为t0时电容两端的电压U0(图6-9b) 64电容的储能 电容的功率 0 p(t=u(t)i(t) cw(t)
p>0表示电容吸收能量,电能转化为电场能: p<0表示电容释放能量,电场能转化为电能 电容的储能 电容的能量总是为正,但有时增加,有时誠少。能量増加期间,即为电容吸收能量 能量减少期间,即为电容释放能量 设在1~12对电容充电,则 d=C/) Cu(e)au() du c(a2)-n2(4小 由上式可知,在t1到t2期间供给电容的能量只与时间端点的电压值u(t1)和u(2)有 关,而与此期间的其他电压值无关。电容时储能元件,1~12供给电容的能量是用来改变电 容的储能状况的,亦即电容在某一时刻t的储能只与该时刻t的电压有关,即 正是电容的储能本质使电容具有记忆性质:正是电容电流在有界的条件下储能不能跃 变使电容电压具有连续性质。如果储能跃变,能量变化的速率,即功率p()=一,将为无限 大,这在电容电流为有界的条件下是不可能的 65电感元件( inductor) 电路理论中的电感元件是实际电感器的理想化模型 1、电感器:把导线绕制威线圈,导线中冇电流通过时,其周围建立磁场。因此(1)电 感器是一种能够存储磁场能量的器件:(2)理想电感器是一种电流与磁链相约束的器件 2、电容元件的定义:一个二端元件,如果在任一时刻t,它的电流()同它的磁链U() 之间的关系可以用i-平面的一条曲线来确定,则此二端元件称之为电感元件 在讨沦i(1)与ψ()的关系时,通常采用关联的参考方向,即两者的参考方向应符合右 手螺旋法则,如糾6-14所示中,十,一号既表示磁链也表示电压的参考方向。 () 16-14电感元件的符号
3、线性非时变电感元件:如果i-平面上的特性曲线是一条通过原点的直线,且不 随时间而变,则此电感元件称之为线性非时变电感元件,亦即 v(t=li(t) 式中L为正值常数,它是用来度量特性曲线斜率的,称为电感。在国际单位制中,L的单位 为享利(H)。 每一个电感线圈都有一定的额定工作电流,电流过大,会使线圈过热或使线圈受到过 大电磁力的作用而发生机棫变形,甚至烧毁线圈 66电感的伏安关系 伏安关系的微分形式 微分形式: 根据电磁感应定律,感应电压等于磁链的变化率。当电压的参考方向与链的参考方向 符合右手螺旋法则时,可得 ()=2a=L dt dt 上式是在(1)和()关联参考方向的前提下便用的:如果()和i()是非关联参考方向,如 图6-16则 ()=-L e(t)+ 6-16e与i1参考方向一致以及u与i参考方向一致的含义 2、物理意义 (1)某一时刻电感的电压取决于该时刻电感电流的变化率,即u()x2:如果流过电 感的电流不变,即为直流时,则有一=0,即电压l(t)=0,电感元件相当于短路 (2)如果电l()是有限值,则有一是有限值,即电感电流i()不能跃变,只能连续 伏安关系的积分形式 1、积分形式: u(s)de LCusyds+ Cus)d-i)+ICu(s)ds 2、物理意义 (1)在某一时刻t时电感电流的数值并不取决于该时刻的电压值,而是取决于从-x到 所有时刻的电压值,也就是说与全部过去历史有关
(2)没有必要去了解初始时刻t0以前电压的情况,t0以前全部历史情况对未来(t>to )产生的效果可以由(t0),即电感的初始电流来反映。也就是说,只要知道了初始时刻to 开始作用的电压()以及电感的初始电流(t0),能确定t≥10时的电感电流i(t)。 67电感元件的连续性质和记忆性质 电感的伏安关系 i(=IL u(s)ds iL (to)+ t≥to 反映电容电压的两个重要性质,即电容电压的连续性和记忆性。 一、电容电压的连续性 1、内容:设电感电压(0)在刚区向L。内为有界的,则电感电流(0)在开区间 (ta,)内为连续的。特别是,对任何时间t,且t。<t<tb, 2、证明: 3、上式常归结为“电感电流不能跃变”,在动态电路分析问题中常用到这一结论,但 需要注意的是,当电感电为无界时不能运用 、电感电流的记忆性 电感电流取决于电压的全部历史,因此电感电流有“记忆”电压的性质,电感是一种 记忆元件。通常使用了初始电流i(t0)对t<to时电压的记忆作用,二不必过问t<to时电 压的具体情况,即能在解决t≥t0时的电感电流i2(m)的问题中考虑到它的影响 如图6-18(a)设电容电压初始值(0)=I,由式可得
图6-18具有初始电流的Ⅰ的电感(图a 及其等效电路(图b) i(1)=i(0)+ +i1() 由此可知:一个具有初始电流的电感,若已知i(t0)=1,则在t≥10时可被等效为一个初始 电流为零的电感与电流源相联的电路,电流源的电流值即为t0时电感的电流l(图6 例6-4若2H电感的电压波形如图6-19(a)所示,已知0)=0.试绘出电流波形 解已知电容电流的波形求电容电压波形,或是已知电感电压波形求电感电流的波形 都涉及积分的问题。 在ls<t<2s期间,u()为负的常数,因此,i(n)线性下降。 (O0=1t=04t=2,总面积为1=-,故知们=2时,电流下降至一士A 在2S<ts3期间,u(t)为正的常数,且,()=1
故知(0线性上升,全t=3时,i为A. 3st≤4s期间,u(t)线性下降,且为正值,故知在此期间i(t)按抛物线上升。因此4s时,w()为零,i(t)扔为A,体现出电流对电压的记忆性质。 故得i(t)波形如图(b)所示。 68电感的储能 、电感的功率 p(1)=l()i(1) dw(o) 0 p>0表小电感吸收能量,电能转化为磁场能 p<0表示电感释放能量,磁场能转化为电能。 电感的储能 电感的能量总是为正,但有时増加,有时誠少。能量増加期阃,即为电感吸收能量 能量减少期间,即为电感释放能量。 在t1~t2期间电感的储能为 2(15)=Dp(=[Ck Li() di() L(2)-P( 由上式可知,在1到t2期间供给电感的能量只与时间端点的电流值(1)和(2)有 关,而与此期间的其他电流值无关。电感是储能元作,t1~t2供给电感的能量是用来改变电 感的储能状况的,亦即电感在某一时刻t的储能只与该时刻t的电流有关,即 2(t)==L(t) 电感的储能本质使电感具有记忆性质:正是电感电压在有界的条件下储能不能跃 变使电感电流具有连续性质。如果储能跃变,能量变化的速率,即功率p()d为无限 大,这在电感电压为有界的条件下是不可能的
