第三部分正弦稳态分析 第十一章阻抗与导纳 正弦稳态电路中,各个电压、电流响应与激励均为同频率的正弦波,因而它 们可用相量来表示。 先研究正弦稳态电路中的各电压、电流的相量表示,各相量间的约束关系。 ?11-1有效值有效值相量 一.有效值: 将直流电流Ⅰ和正弦电流it)通过电阻R时的功率和能量作一比较,导出正 弦电压电流的有效值 阻R通过直流电流I时,吸收的功率P=FR,在时间T内获得的能量为 W=PT=2RT。 通过周期电流信号i)时,电阻吸收的功率p()=(UR是时间的函数,在一 冑期T内获得的能量为 W - (ORdt 当直流电流Ⅰ或者电流沁通过同电阻R时,假设它们在一个周期的时间内获 得相同的能量,即F=FRT=()Rd由此解得 电流)的方均根值,称为有效值。 对于正弦电流(D)= Incos(on+),方均根值(有效值) 1i(d Vlo / m cos(ot+o)dt V7l0=20+02+2)==0707m 结果表明,振幅为m1的正弦电流与数值为=0.707/m的直流电流,在一个周期 內,对电阻R提供相同的能量。也就是说正弦电压电流的有效值为振幅值的0.707 倍,或者说正弦电压电流的振幅是其有效值的√2倍
正弦电压()= Ucos(n+)有效值为 u(td t Um cos(ot+o)dt=0.707U 对于半波整流波形,其表达式:h(r)= A sin(t(0<t<T/2) h (odt td t T VT A [1-cos cot ] d t 0.5A 可得半波整流波形的有效值是振幅值的0.5倍。 小结: (1)正弦量的有效值为其振幅值的√2,与角频率和初相无关,有效值可代替振 幅作为正弦量的一个要素 (2)非正弦周期量的有效值没有上述关系,需要单独计算 当然,还有平均值的定义。即:一个周期内取其平均 有效值相量 在正弦稳态电路的计算问题中,有时只关心正弦量的有效值,所以复数也定 义为有效值相量的形式。 引入有效值之后,以电压为例,正弦电压表小为: )=√2Ucos+() 对应的电压振幅相量可表示为 电压有效值相量表示为 U=U∠0 亡也是一个复数,它的模为止弦电压的有效值,它的辐角为正弦电压的初相 同理有: i(t=Im cos(ot +(: )=v2/ cos(ot+0 ∠01
敞地:可以任意选用振幅相量或有效值相量来表示同一个正弦量:但选用有效 值相量更为普遍些。在没有特指的情况下,指的是有效值相量 相量:用复平面(二维空间中的复常数表示正弦量的振幅或有效值、初相。以正 弦电压为例: ()=Re{Un∠(t+)}=Re{Un∠∠o}=Re{n∠Or}=Re{2U∠or} 三,相量图: 为了形象描述各个相量(表示正弦量)之间的相位关系,把一些相量画在同 张复半面内 参考相量:图中假设为零相位的相量。 例11已知电流i1(0)=5c0s(314t+60?A,2(0=10sin(31460?A。写出它们的 相量,画出相量图,并求)=1(0)+i2() 解: (1)=-10sin(314t+60)=-10cos(314t-30) 10cos(314t+150)—>12=10150A ln=lm+l2m=5∠60+10∠150 (2.5+14.33)+(-8.66+j5) (-6.16+j9.33)=1181234A -+11+l2=0 可得电流的表达式为 ()=i1(1)+i2(t)= I cos(3141+() in=118234 l1.8cos(3141+1234)A I+j 相量图如右图所示。从相量图容易看出 各正弦电压电流的相位关系:12()超前 5△Q 10A5 1 i1(0)90。 相量图的另一个好处是可以用向量和复 数的运算法则求同频率正弦电压或电流之和。一平行四边形法则。 ?11-2基尔霍夫定律的相量形式 基尔霍夫电流定律的相量形式
电路中全部电流都具有同一频率ω,则可用振幅相量或有效值相量表示 i, (D=Re[ime=relv2iejex1 代入KCL中得 ∑()=∑Re[ma2]=0 ()=∑Re√2ie"1=0 相量形式的KCL定律: ∑加m=0或∑ 相量形式的KCL定律:有相同频率的正弦电路中的仟一节点,流出该节点的全 部支路电流相量的代数和等于零。 注意 流出节点的电流取”+”号,流入节点的电流取””号。流出任一节点的全 部支路电流振幅(或有效值)的代数和并不一定等于零。即,一般情况 下:∑/m≠0∑/≠0 例1已知()=10√2cos(o+60)A,i()=5V2siOA试求电流O及其有效 值相量。 解:根据图(a)电路的时域模型,得图(b)所小的相量模型—将时域模型中各电 流符号用相应的相量符号表示。 12 有效值相量=10∠60A 5∠-90A 列图(b)相量模型中节点1的KCL方程, i()=10√2cos ,i2(1)=5√2 sin otA
由此可得 =l1+12=10∠60+5∠-90 5+j8.66-j5=5+j3.66 6.2∠36.2A 相量图如右图所示,用来检验复数计算的结果是否基本正确。 二.基尔霍夫电压定律的相量形式KVL: l(D)=0 相量形式的KVL定律 0或∑U=0 对于具冇相同频夲的正弦电流电路中的仟囯路,沿该囯路全部攴路电压楫量的 注意 ●与回路绕行方向相同的电压取”+”号,相反的电压取”号。沿任一回路 全部支路电压振幅(或有效值)代数和并不一定等于零,即一般来说 Umn≠0∑Uk 例6求s(1)和相应的相量,并画出相量图。已知1()=-6√2 cos ot V u,(0=8v2 cos((+90)V, u,(0=12v2 cost V 解:根据电路的时域模型,画岀右图相量模型,并计算出电压相量。 并且U1=6∠-180VU2=8∠90VU3=12∠0V 图(b),以顺时针为绕行方向,列出的相量形式KVL方程 Us=U1+U2+U3=6∠-180+890+12∠0=-6+j8+12=6+j8=10∠531V 出相量得时间表达式
l5(1)=10√2 各相量的关系如右图 +1 ?113三种电路元件伏安关系的相量形式 电阻元件伏安关系的相量形式 K姆定律的时域表示:u(n)=Ri(r) 当电流)=mos(wt+)时,电阻上电压电流关系: u(t)=Um cos(at+o)=Ri(t)=RIm cos(ot+o,) 电压和电流是同频率的正弦时间函数。其振嗝或有效值之间服从欧姻定律,其相 位差为零(同相),即电阻元件的时域模型及反职电压电流关系的波形如下图示 可见,在仟一时刻,电压的瞬时值是电流的R倍,电压与电流同相位。 由上述推导,得出 在关联参考方向下电阻电压电流的相量形式为 U=RI, U=RI 这是复数方程,同时提供振幅之间和相位之间的两个关系, (1)V=R(2)h1=(。相量模型如图(a)所示,反映电压电 流相量关系的相量图如图(b)所小,由此可看出电阻电压与电流的相位相同
U 小结:1)电阻元件两端的电压和电流的相量值、瞬时值、最大值、有效值 均服从欧娴定律。 2)电阻两端的电压与电流同相(电压电流的复数比值为一实数) 电容元件伏安关系的相量形式 电容电压电流时域关系为i(t)=C 当(0)=Umos(w+a1) i(t=Im cos(ot+0=CUm cos(ot+u) coCUm sin(ot +ou)=CoCUm coS(ct+@+90) 电容的电压和电流是同频率。其振幅或有效值以及相位间的关系为 JOCU 或=0CU 91=0u 其中:j=√-1=e,又称之为90度旋转算子 电容元件的时域模型如图(a)所示,电压电流的波形图如图(b)所示。由此可看出 电容电流超前于电容电压90 由上述推导,得 在关联参考方向 下电容元件电 压和电流相量的 关系式
这个复数方程包含振幅间与幅角间的关系。电容元件的相量模型如图(a)所示, 其相量关系如图(b)所示 jac (b) 三.电感元件伏安关系的相量形式 电感上电压电流时域关系:(0)=∠q() 当()=mcos(wt+)时 u(t=Um cos(ot +9u)=L[m cos(ot +o) -OLIm sin(ot +O)=OLI coS(ot+(+90) 伏安关系的相量形式为: U=L或U=LI U=JOLI 1=0 电感元件的时域模型如图(a)所示,伏安关系的波形如图(b)可看出电感电压超 前于电流90°,当电感电流由负值增加经过零点时,其电压达到正最大值。 KCL、KVL和元件VCR的时域和相量形式小结:
时域形式 相量形式 基尔霍夫电流定律 基尔霍夫电压定律 0 电压源 us(t) Ov) US=Ue 电流源 is(t)=Iv2 cos(ot +0 is=lejo 电阻 电感 电容 11-4阻抗与导纳相量模型 R、L、C元件VAR的相量关系如下 设电流、电压的参考方向关联,则 电阻:R:U=Ri,电阻:R 电容:C:b=1 容抗:1/j0C)(与jo成反比 电感:L:U=jL,感抗:joL(l成正比)、L、C元件电压与电流相量间的 关系类似欧姆定律,电压与电流相量之比是一个与时间无关的量(单位:Ω) 二.阻抗与导纳的定义 般无源二端网络No 阻抗:Z( 显然有:Z=Y
可得欧姆定律的相量形式:U=Z或=YU 称为电导 G、C、L元件的导纳以下=0,y==1 称为感纳 lOL L Y c 称为容纳 G、C、L元件的导纳是一个与时间无关的量,它是一个复数 例1u()=1 试求(),u2(O),2(O,u( 2H j4Ω 解:相量模型如图(b)所示。等效阻抗 Z+Z1+Z=2+-12=2+2=2√2459 相量电流 2.5∠-45A Z2√2∠45 RLC元件上的电压相量 UR=2/=5-45V U1=j41=10445V =5∠-135V 时间表达式 i(1)=2 2()=5√2cos(21-45)=7.07c0(2-45)V l1()=10、2cos(21+45)=1414cos(21+45)V c(1)=5√2cos(21-135)=7.07cos(21-135)V U1 I 2 0.25F=vc 29+Uc