第十二章正弦稳态功率和能量 相电路 木章讨论正弦稳态元件及单口网络的瞬时功率、平均功率(有功功率)、无功 功率、视在功率、复功率和功率因数。正弦稳态单口网络向可变负载传输最大功 率的问题,以及三相电路的基本概念。 ?12-1基本概念 1、瞬时功率p(1)定义为能量对吋间的导数,当端口电压和电 流釆用关联参考方向,它吸收的功率是由同一时刻的电压与 电流的乘积来确定的。为p(t)==,=u(t)i(t) N 正弦稳态时,端口电压和电流是相同频率的正弦量,即 u(o=Um cos(ot +Q,)=v2U cos(ot +@.) i(r)=Im cos(ot +o, )=v2/ cos(ot+@) P(r=u(oi(o=Um cos(ot+@u)Im coS(@t+o) 瞬时功率为 Unln[cos(-9)+cos(2o1+m+)22=是电压与 UI cos e,+UI cos(2ot+20, -B2) 电流的相位差。瞬时功率山一个恒定分量和一个频率为2a的正弦分量组成,周 期性变化,当p()>0时,该网络吸收功率:当p()0时,表示能量确 实流入元件或网络:p()<0时,表示能量实际上流出该元件或网络。如果元件是
电阻元件,流入的能量将变換成热能而被消耗,不可能再行流出。如果元件中动 态元件,流入的能量可以被存贮起来,在其它时刻再行流出,送回外电路 线性非时变R、L、C的功率、能量的一般关系式可由表12-1表明 端元件吸收功率 消耗功率「流入能量 存贮能量 的VAR Ri或 Ri=g R|"2或 dt dt cp()-n2( u=L 如=1Ld2 4)=P(o ?12-2电阻的平均功率 电阻元件的功率 设正弦稳态电路中,在关联参考方向下,瞬时功率为 PR(=u(ti(t) 没流过电阻元件的电压为 u(t) 其电阻两端电流为 i(t=u(U/RA 则电阻吸收的瞬时功率为 p(t=(oi(o=U cos(ot+eu-mcos(o t+eu) R =UmImcos-(t+0=-UmIm[1/ 2(wt+Bu7 其中:= p(t)≥0,U和I为电压、电流的有效值,正弦条件下有 电阻瞬时功率的波形图如下。由图可见,电阻元件的瞬时功率是以两倍于电压的 频率变化的,而且p(t)≥0,说明电阻元件是耗能元件
瞬时功率在一周期内的平均值称为平均功率,记为P。平均功率又叫有功功率 p2(t)↑ag(t),ih(t) PR(t) 电阻的平均功率 U..=/RR R 可见对于电阻元件,半玓功率的计算公式与直流电路相似。 ?12-3电感、电容的平均功率 1.电感元件的功率 在关联参考方向下,设流过电感元件的电流为 ()=√2l1 sin ota 则电感电压为 n2()=√2l1x1in(on+xy=√ U, sin((m+x 其瞬时功率为:P2(1)=t2(1)×i1(1)=2U1l2sin(O+) sin ot=U1lsin2o上式表 明,电感元件的瞬时功率也是以两倍于电压的频率变化的:且p1(t)的值可正可负, 其波形图如下图所小。 从图上看出,当4()、(0)都为正值时或都为负值时,P(O)为正,说明此时 电感吸收电能并转化为磁场能量储存起来;反之,当P1()为负时,电感元件向 外释放能量。PL()的值正负交替,说明电感元件与外电路不断地进行着能量的 交换
P2(t)tug(2),in (t) P2(t) (t) T/2 电感消耗的平均功率为:p p,(tdt I sin2ott=0电感消耗的平 均功率为零笭,说明电感元件不消耗功率,只是与外界交换能量 2.电容元件的功率 在电压、电流为关联参考方向下,设流过电容元件的电流为 i()=√2 sin ota则电容电压为 n()=√21X。sin(o-x)=√2csm(m-x)其瞬时功率为 p(t=u(t)i (t)=2U I sin(ot-)sin t=-U I sin 2ot l2()、i(0)、P()的波形如图所示。 pc (r),ic (t),uc(t) (t) 从图上看出,Pc①、与P1(波形图相似,电容元件只与外界交换能量而不消耗能 电容的平均功率也为零,即 n.=rOh=(U125m20)4=0电感元件以磁场能量与外界进行能量 交换,电容元件是以电场能量与外界进行能量交换
?12-4单口网络的平均功率功率因数 1.瞬时功率 如图所示二端电路中,设电流t)及端口电压l(t)在 关联参考方向下,分别为 u(t)=U cos(ot +(,)=N2U cos(ot +om)V p(t) N i(o=I coS ot= v2I cos otA 则二端电路所吸收的瞬时功率为 p()=(1))=√2Ucos(o+0n)×√2 cost UIm[cos(20t+Qu)+coS Pu =Un[cos(2ot+Ou)+cos qu 上:式表明,二端电路的瞬时功率由两部分组成,一项为常量,另一项是两倍于电 压角频率而变化的正弦量。瞬时功率如图所示。 从图上看出,(t)或t)为零时,p(t)为零:当二者同号时,p(t)为正,电路吸 收功率;二者异号时,p(t)为负,电路放出功率,图上阴影面积说明,一个周期 内电路吸收的能量比释放的能量多,说明电路有能量的消耗。 瞬时功率p(1)有时为正,有时为负。p()>0时网络N吸收功率,p(t)0部分仍大于p( <0的部分。因此,平均来看网络N仍是吸收功率的。其平均功率显然是p(t)表 达式中的常量部分。另一项为正弦项,角频率为20,它在一整个循环内的平均 值为零 2.有功功率(也叫平均功率)和功率因素 p=T() [UI cos -Ul cos(2at +o,)Jt UmM COS P =Ul cos p z 式中co2=cos(n=0)=cos(,-0),称为二端电路的功率因素,功率因素的 值取决于电压与电流之间的相位差92,92也叫功率因素角。 芢N只由R、L、C等无源元件组成,则
U=ZI Z为N的输入阻抗,g2为阻抗角。平均功率与阻抗角的余弦成比例 如果单口网络内含有受控源,2可能大于90,平均功率为负值,说明网络对外 提供能量 如果单口网络内含有独立源时,o2为端口电压与端口电流之间的相位差,P可 正可负。 3.视在功率和功率因数 电工技术中,记 S=-U=Ul 为视在功率。单位为伏安(VA),而不是瓦特(W) 平均功率一般是小于视在功率的,而是P=Scosφ,称cosφ为功率因数。用λ 表示。即 P 若N不含独立源,则功率因索角9>0表示阻抗为电感性,<0表示阻抗为电 容性。无论φ为正为负,cosO总为正值。只给λ不能体现电路的性质,因此加 上“滞后”或“超前”字棦。所谓后,是指电流滞后电压,即φ为正值。所 超前,是指电流超前电压,即φ为负值。 电气设备都是以额定视在功率米表示它的容量。 4.功率因数提高a.功率因数的意义 功率因数是电力系统很重要的经济指标。它关系到电源设备能否充分利用. 为提高电源改备的利用率,减小线路压降及功率损糅,应设法提高功率因数 b.提高功率因数的方法 提高感性负拔功率因数的常用方法之一是在其两端并联电容器。感性 负载并联电谷器后,它们之间相互补偿,进行一部分能量交换,减少了电源 和负载间的能量交换. C.感性负载提高功率因数 5.平均功率的其它求解方法 由U=12,有 P-12z coso,-/'Re(z) P cos=Rey
Rez-j Imz Rez+Imz Rey F22 另外无源单口网络的平均功率也可以根据功率守恒法则来算。P=∑P。若元件是电感或 电容,则该元件的平均功率为零 P=端口处所接电源提供的屮均功率 =网络内部各电阻消耗的平均功率的总和 例1.单口网络的电压为u=3002cos(314+10),电流i=50√2cos(3141-45) 电压电流关联参考方向,求该网络所吸收的功率 解:U=300V,I=50A,(2=10-(-45)=55,A=c0s55=0.574 P= U cos q2=300×50×0.574=8610W 例2.已知R=3g2,joL=j492 10CS,=1265418.5A, 1=20∠-53.1A,2=20∠90A,U=100∠0V,求单口网络的功率P 解一:就网络端口电压和电流来计算 P=Ucos(,-6)=100*12.65c0s18.5 rj/C=1200W 解二:腻内部电阻进行计算。 P=1R=202×3=1200W 解三:根据网络内部的RL支路计算,该支路的 P=U11cos(53.1)=100*20cos31=1200W 这也就是整个网终的功率 视在功率:S=UⅠ=100*12.65=1265·A 功率因数:A P1200 S126=0.949(超前),由端口电压与电流判断出“超前 ?12-5单口网络的无功功率 分析上节公式中以角频率2交变的功率分量。设网终输入阻抗为Z阻抗角为v2,则交 变的功率分量利用三角展开为
UI cos(2ot+P)=UI(cos e cos 2ot-sin p, sin 2ot) 瞬时功率P()可写作 p(t)=UI cosp 1+ cos 2a)-UI sin e, sin 2ot 其第一分量为非负,其平均值为U/cosq2,这一分量显然是阻抗的电阻分量所消耗的功率 第二分量则以角频率2在横轴上下波动,其平均值为零。其振幅为Usinφ:。这分量表 明电源与阻抗的电抗分量间存在能量往返流动。定义振幅为元功功率,即 Q=UI sin p 无功功率反映电源(或外电路)和单口网络内储能元件之间的能贔交换情况,单位 为乏(var)(无功伏安: volt amper reactive 其物理意义如下 若冈络为纯电感时,即②2=90时,Q1=U,称它为电感的无功功率。即是 电源与电感间能量往返遮率的最大值。它表明电源与电感间能量往返规模。 由U=oL可得Q=oL2=2mL2=2oWL 电感所吸收的无功功率等于磁场贮能平玓值的2ω倍。若网络为纯电容时,即 =-90时,Q=-U,称它为电容的无功功卒。且有 Q=-0CU2=-2oCU2=- 电容的无功功率为负,其值等于电场贮能平均值的20倍 对于仟何无源单口网络,可以证明 Q=2ω(W1-W)无源单口网络无功功率的大小反映了电源参与贮能交换的程 无功功率的其它计算方法 0=-14 ImZ=/ ImZ Q=--U4 ImY=-U Imy 网络吸取的总无功功率 Q=∑Q 视在功率、平均功率与无功功率的关系 但单口网络的视在功率
S≠>S 例1.已知()=5√20s2MA,电路处于稳态。试求电源提供的P、Q,并计算S 0.5F 和λ 解:对电源而言的无源单口网络的输入阻抗为 (1+j)(2-j) P=2ReZ=25*3=75W Q=/ ImZ=2 8.3 0.994(滞后) 例2.已知:f=50Hz,U=220V,P=50kW, cos1=0.5滞后)。(1),在使用时,电源供应的 电流是多少?无功功率Q是多少?(2).如果b P=50k W 并联电容器,使功率因数提高到1,求并联电 容(,此时电源供应的电流是多少? 由P 故得 U cos (, 5=4553 P为电源提供的功率 Q2=Usin2=Uy1-cos202=220*455*0.866=867kvar (2)为减少电源与负载间徒劳往返的能量交换,并联电容器使能量在阻抗网络 内自行交换。使总负载的功率因数为1,则电源就可不再提供无功功率。 并联电容后, 2 c
故 86.7×103 220255702 F U2100z× P=PL=50kW,故得 221A 220 电源提供的电流大为降低。电动机电流滞后电压的角 度为 @,= Arc cos 0.5=60 相量图如右图 ?12-6复功率 复功率的定义 根据电压相量与电流相量计算平均功率P和无功功率Q。设单口网络的电压 相量和电流相量其电压电流采用关联的参考方向,设为 U=U∠ =1∠6 且r=∠-为电流相量的共轭复数,则 U=U(,-,)=Uos6-8)+jsin(a,-)=P+Q 称复数U/”为复功率或相量功率,以S表示之,单位:VA。即 +jQ=P+j2o( 复功率S的模即为视在功率S 复功率还有两个常用的公式 S=UI=ZII=1Z S=UIEUQUY=UVr=U-r 复功率守恒定理 对于工作于正弦稳态的电路,由每个独立电源发出的复功率的总和等于电路 中其它电路元件所吸收复功率的总和 ∑S.=∑S 出此可以导出一个正弦稳态电路的有功功率和尤功功率也是守恒的结论
