第十三章电路的频率响应 前面二章为单一频率正弦激勋下电路的稳态响应和能量、功率问题 本章硏究正弦稳态下电路的响应与颞率的关系,即电路的频率响应:研究多 个不同频率正弦激劢下的峒应、平均功率的叠加 ?13-1再论阻抗与导纳 从电路频率响应的角度再论阻抗与导纳的作用 阻抗是频率的函数 以R和L串联组成的单口为例 Z(o)=R+ joL =R2+02L2∠Arcg =z(0)∠2(o) 阻抗模z()与阻抗角2()都是频率的函数。不同频率下的正弦稳态它们值会 有变化。单口网络的输入阻抗Z(j)可用于研究该网络的频率响应。 1.输入阻抗的幅频特性 z(0)~0 2.输入阻抗的相频特性 2(0)~ 导纳频率函数 单口网络的输入导纳函数Y(ji)也可用来表明该网络的频率响应。 Y(jo)l Z(joI 3.输入导纳的幅频特性 4.输入导纳的相频特性 y(0)~ 幅频特性和相频特性合称为单口网络的频率响应(或频率特性曲线)
以R和L并联电路为例,它的输入阻抗为 OLR ZR+Z, R+ joL 0LR+ jOLR DLR OLR R+2L2R2+02L2R2+02L2 R(O)+iX(o) R(o)是z(ji)的实部,称为电阻分量。X(o)是z(j)的虚部,称为电抗分量 输入导纳函数可表为 Y(0)=G()+jB(o) G(a)称为电导分量:B()称为电纳分量 无源单口网络的输入阻抗和输入导纳必然淸足下列不等式 Rz(j)≥0,Rp(o R(0)≥0,G()≥0 又由O2(o)n()和(O)折B(⑨)可知:当X()>0或B()0 0>y()>-90 若X(o)0,亦即网络呈电容性时 0>02() 90>9,()>0 若X()=0或B(O)=0,亦即网络呈电阻性的,此时2(0)=,()=0 ?13-2正弦稳态网络函数 正弦稳态网络函数:响应(输出)相量与激励(输入)相量之比,记为H(jo)
E 策动点函数:输入和输出属于同一端口。(策动点阻 抗和策动点导纳)转移函数:输入和输出属于不同+ 端口(电压、电流转移函数和转移阻抗、转移导纳) 1策动点阻抗函数:z(jO)= 2第动点导纳函数:Yji)= 显然有:z(jc)=-.-3转移阻抗函数 Yo) z1(j0)=24转移导纳函数:(j0)=2 5电压转移函数:K、(j0)=22 6电流转移函数:K1(j)= 显然,转移阻抗和转移导纳之间不成在互为倒数 的关系。这六种网络函数分别表征了特定激励和响应之间的全部特性 给定网络函数 H(je)=H(j)∠b() 就可求得在频率为@的正弦激励 ()=R2Ee」√2E 作用下的稳态响应 r()=R2Re」√Rcos+) 其中:R=H(ja)E =6(0)+ 例:求图小电路的转移导纳l2/U1 解由网孔法得
(1+j)1-jwl2=U1 n7+1+(-)2=0 解得转移导纳 Y,(w)= (22-1 Arg tg ,(w) 2v)3+(2y2-1) 22-1 2-B1=0(v)=∠90-Argg 2-61=0(w)=∠90-Argg 式中B2为i2的初相角,1为m的初相角。 当→>0时,i2/ 1→0:当 →x时,2/1→>0.5 ?13-3正弦稳态的叠加 运用叠加定理计算多个正弦电源作用下线性非时变电路的稳态响应时,需注意 1.正弦电源的频率相同 2.正弦电源的频率不相同 计算步骤 1)将频率相冋的正弦电源做相量模型求该频率下的稳态响应(化成时域正弦波形 2)将所有不同颏率的正弦电源做岀相应频率的相量模型并求该频率下的稳态响 应(化成时域正弦波形式) 3)最后将所有频率的正弦电源分别得到的正弦稳态相应以时域正弦波的形式叠 加起来 例试用叠加定理求图图示电路的电流m,已知v1()=5√2cot2r l2() ot(2t+90)V U2 =1 )
解作用于电路的两电压源频率相同,作岀w=2rad/s的相量模型如仁图所示,适用于计算任 电源单独作用时的电流。根据叠加定理: 1=/+/ 其中P和"分别是石图中U1=0和U2=0时电感支路的电流。即 Z2+2123/(Z1+23)Z1+23Z12+Z123+Z23 10 0∠90 1.58∠184A 2+j66.32∠71.6 z1+223(Z2+Z3)Z2+23212+Z123+Z2Z3 632∠7.61.58-71.6A 故得 =1.58184+1.58∠-71.6 =1.5+10.5+0.5-j1.5=2-j=224∠-26.6A i()=2242cos(21-266)A 例:求电路所示电流(t) 本题是不同频率正弦电源作用于电路的问题。 192 对应不同频率的电源分别应用相量法,最后再进行 时域叠加 4解:因为电源幅度用振幅相量计算更为方便,因此 10cos 5tV IH 均采用振輻相量进行计算,并为简便起见略去下标 2c05414 先考 1g2 j0.29 l0cos5V单独作用电路,得相量模型如下
j5 j5-j0.224 (5)(-10.2)24 j5-0.2 i0()=102c0s(5t+118) 10.2∠11.8A 再考虑2cos4V作用单独电路,得相量模型如下 16 +0.25 2A 32 =2.0614.9A 9 "(t)=2.06c08(41+14.9)A (1)=()+60(1)=10.2c0(5t+11.8)+206c0(41+14.9)A 3.推广更为一般的情況 线性非时变电路在期性非工弦激励下的稳态响应也可按多个不同频率正弦激励下响应的 解法来计算。 3.1步骤如下: )非正弦周期信号分解为付立时级数,也就是分解为直流分量与一系列频率成整数倍的正 弦成分,这些成分称为谐波分量。其中频率与非正弦周期信号频率一致的分量称为一次 谐波分量或基波,频率为非正弦周期信号二倍者称为二次谐波分量.依此类推。 2)求得每一谐波分量单独作用时的稳态响应,可用相量法 3)根据叠加定理,对所有稳态响应进行时域叠加求得总响应 下图是几种常见的非正弦周期信 (a)尖脉冲电流: (b)矩形波电压 (c)锯齿波电压 3.2非正弦期信号的分解首先先讨论几不同频率的正弦波的合成矩形波的问题 设有一个正弦电压u1= Ulmsinω,其波形如下图(a)所示。显然这一波形与同频率矩形波 相差甚远。如果在这个波形上面加上第二个正弦电压波形,其频率是Ⅵ1的3倍,而振幅为 m1的1/3,则表示式为 l2=U1 sin ot+ U sin3ot其波形如图(b)所示。如果再加上第三个正弦电压波形,其 频率为的5倍,振幅为的1/5,其表示式为
u3=Um sin@t +UIm sin 3ot+=Um sin 5ot 其波形如图(c)所示。照这样继续下去,如 果叠加的正弦项是无穷多个,那么它们的合成波形就会与图(d)的矩形波一样 由此可以 看出,几个不同频率的弦波可以合成一个非正弦的周期波。反之,一个非正弦的周期波可 以分解成许多不同频率的正弦波之和 方波的付立叶级数为 f() sin wt+-sin 3wt+-sin 5wt+ 其中A是方波的正輻度,负幅度为-A 例:幅度为200V,周期为lms的方波作用于RL电路。求稳态时电感电压 200 u t/ms (b) 已知方波的付立叶级数为 400 u, (0=100+ cos w,t-3cOs 3w: [+=cos 5w t 式中:W1 2丌×10rad/s,并且又已知R=509,L=25mH 根据方波的付立叶级数可知:图示方波作用于电路就相当于把100V直流电源、振幅为亠V 频率wr的正弦电源以及振幅为亠一颊率3w的正弦电源等同时串联作用于电路,如图所示
解法与上例相同。 电压转移函数 A, (j U(w) R+jt 输入电压频率v为0,w1、3w1,5w1 下面计算各分解电源的电感电压的稳态响应。为简使相量应用振輻相量弁且略去下标m 自流分量100W单独作用,输出电压为零 基波一 coS wt V单独作用,以U表示其相量,U1表示输出电压相量,此时w=w=2x 10rads,故 400 R+iwL50+12z×103×25×103,又U,x<0=127∠0V 0.955∠17.66 UsA,(mw1)=12720×0.95521766 121.2817.66 因而输出电压的基波: l1()=121.28cos(w+1766) 次波-400 co3wtV单独作用,以U3表示其相量,U3表示输出电压相量,此时 =3w7=6x×10rads,故 4(3)=/3-099605,义U,D-0=424-180V 400 R+j3w L 故得 U3=U34,(3w1)=424∠-180×0.993605 =42.10-173.95V 因而输出电压的三次谐波 (1)=42lcos(3t-173.95 其亡各次湝波单独作用,计算方法相似。总输出电感电压的稳态响应为 l()=121.28cos(wt+17.66)-42.lcos(3wt-173.95)+25.35c0s(5wt+3.66) 18.06c0s(7wt+26)+14.10cos(9wt+2.00 §13-4平均功率的叠加 多个电源作用于电路时功率的计算
如图所示电路,由叠加定理可知 其中()和(1)分别是电源u1(t)、u,2()单独作用 时在电阻R中产生的电流。瞬时功率为 p=R(1+i2)2=Ri2+R2+2Ri2=p1+p2+2Ri2 其中p1、P2分别为n1、l12单独作用时所产生的瞬时功率。一般运2≠0,因此p≠P1+P2 叠加定理不适用于瞬时功率 如果p为周期函数,其周期为T,则一周期内的平均功率当为 (P,P2+2Ri i2)dt=P+P 2R i, i,dt p的每一分量均是周期为T的周期函数。式中P1、P2分别为l1、u2单独作用时所 产生的平均功率 若b=0则有P=P+P,叠加定理可适用于平均功率。下面研究正弦稳态下 i2d=0成立的条件:设 ,(n)=Im cos(w, t +e) i (0)=I2m cos(w, t+e2) 若w≠2,且n2=nw,r为有理数,则必然存在公周期T=mT=nT2,分别为i, 的周期,mn为正整数 ii dt=Im I2m cos(mwt+0)cos(nwt+0,)dt IImL, cos(e-8,) 2-n 因此,当m=n,即w=2,叠加定理对平均功率不适用。当m≠n,叠加定理 对平均功率适用。即 多个不同频率正弦电流(电压)所产生的平均功率等于每一正弦电流(电压)单独作 用时所产生的平均功率的总和。设流过电阻R的电流可表示为 i(t=Io+Im cos(w !+)+I2m cos(w2 t+B2) 0、)
频率各不相同,且比值为有理数,则由叠加定理可得一个公周期的平均功率为 P=AR ⅠR+12R+Ⅰ2R+…+13R +B+P2+…+P 其中1,l2,…x为各不同频率正弦电流的有效值。并用总的有效值为L.则有 2R=G2R+2R+12R+…+13R 因此:=√+12+12+…+1 这就是根据定义得到电流(t)的有效值I的计算式 例:二个电压源与一个R=1009的电阻串联,若(1)1()=100c05(314+60), ly2()=50c0314:(2)l3(1)=100c0s(3141+60),a2()=50;(3) ln1(1)不变,2(1)=50c0471,分别求这三种情况下R的平均功率 :(1).出于u1、u2频率相等,不能应用叠加定理求平均功率,但可能用叠加定理求得 电流,然后再算平均功率P。 出u1、2分别作用时产生的电流,以相量表示为: 0A,=/+/ 0.866 故得:P ×100=37.5 (2)由于un1、2频率不同,可用叠加定理计算平均功率。 u1单独作用时:P=10√5 R 50W 100 出un单独作用时:P U2(50) 25W R 100 故得:P=B+P=75W 半均功率P是瞬时功率p在T 2丌21 s期间的平均值。 13145 (3)ln1、l2频率不同,其471/314-1.5为有理数,可用叠加定理计算平均功率
