典型例题讲解 例1:对图示1-13电路中的电阻R=1092,求电压Uah R=lA R =1A RI=-lA RILI=-IA b b (a) (b) (c) (d) 图1-13 解:根据欧姆定律,当U、Ⅰ参考方向一致时,U=IR;当U、Ⅰ参考方向不一 致时,U=-IR。则 图(a)Uab=R=1×10=10V 图(b)U=-/R=-1×10=-10V 图(c)Ul=R=(-1)×10=-10V 图(d)Uab=-lR=-(-1)×10=10V 注意:在应用欧姆定律时,除应注意公式前的符号外,还应注意电流数值本 身的符号,两套符号不可混淆。 例2已知图1-14中,l2=3A,l3=10A,l4=-5A,l6=10A,l2=-2A,试 求电路中的未知电流。 图1-14 解:根据KCL列写方程 对节点a:l4-13-l2-l1=0 1=l4-13-12=(-5)-3-10=-18A
1 典型例题讲解 例 1：对图示 1-13 电路中的电阻 R =10Ω ，求电压Uab 。 I =1A a b R I =1A a b R R I = −1A a b I = −1A a b R （a） （b） (c) (d) 图 1-13 解：根据欧姆定律，当U 、I 参考方向一致时，U = IR ；当U 、I 参考方向不一 致时，U = −IR 。则 图（a） 10 Uab = IR = 1×10 = V 图（b） 10 Uab = −IR = −1×10 = − V 图（c） 10 Uab = IR = (−1) ×10 = − V 图（d） 10 Uab = −IR = −(−1) ×10 = V 注意：在应用欧姆定律时，除应注意公式前的符号外，还应注意电流数值本 身的符号，两套符号不可混淆。 例 2 已知图 1-14 中， 3 I 2 = A，I 3 = 10 A， 5 I 4 = − A，I 6 = 10 A，I 7 = −2 A，试 求电路中的未知电流。 a b 4 I 1I 2 I 3 I 5 I 6 I 7 I 图 1-14 解：根据 KCL 列写方程 对节点 a： I 4 − I 3 − I 2 − I1 = 0 ∴ 18 I1 = I 4 − I 3 − I 2 = (−5) − 3 −10 = − A
对节点b:l5-l ∴l5=l4+l6-l,=(-5)+10-(-2)=7A 注意:这里的两套符号问题,其一是方程中各项前的正、负号,其正、负由 电流参考方向对节点的相对关系决定(如流入为正,流出为负);其二是电流本 身数值的正、负号。 例3图1-15中各元件电压参考极性标示如图。已知U1=3V,U2=6V, U5=-8V,求U3,U4,U6及Ua。 5 图 解:根据KVL列写方程 对回路1,2,6可得:U1+U2+U6=0 ∴U6=-U/1-U2=-(3)-(6)=-9V 对回路1,5,4可得:U1+U5-U4=0 ∴U4=U1+U5=(3)+(-8)=-5V 对回路2,3,5可得:U2-U3-U=0 Us=(6)-(-8)=14v 由电路可见,Uα=-U6=9V。另外也可以另选路径进行计算,如分别选择路径 1,2,或3,4,则U=U1+U=U4+U3=9V 从本题应注意以下两点: (1)在运用KⅥL时也需与两套符号打交道。其一是方程各项前的符号,其正 负取决于各元件电压降的参考方向与所选回路绕行方向是否一致,一致取
2 对节点 b： I 5 − I 6 − I 4 + I 7 = 0 ∴ 7 ( 5) 10 ( 2) I 5 = I 4 + I 6 − I 7 = − + − − = A 注意：这里的两套符号问题，其一是方程中各项前的正、负号，其正、负由 电流参考方向对节点的相对关系决定（如流入为正，流出为负）；其二是电流本 身数值的正、负号。 例 3 图 1-15 中各元件电压参考极性标示如图。已知 3 U1 = V， 6 U2 = V， U5 = −8 V，求U3，U4，U6及Uac 。 1 2 5 a b 4 3 6 c d 图 1-15 解：根据 KVL 列写方程 对回路 1，2，6 可得：U1 +U2 +U6 = 0 ∴ 9 (3) (6) U6 = −U1 −U2 = − − = − V 对回路 1，5，4 可得：U1 +U5 −U4 = 0 ∴ 5 (3) ( 8) U4 = U1 +U5 = + − = − V 对回路 2，3，5 可得： 0 U2 −U3 −U5 = ∴ 14 (6) ( 8) U3 = U2 −U5 = − − = V 由电路可见，Uac = −U6 = 9V。另外也可以另选路径进行计算，如分别选择路径 1，2，或 3，4，则Uac = U1 +U2 = U4 +U3 = 9 V。 从本题应注意以下两点： （1） 在运用 KVL 时也需与两套符号打交道。其一是方程各项前的符号，其正、 负取决于各元件电压降的参考方向与所选回路绕行方向是否一致，一致取
正号,相反取负号;其二是电压数值本身的正、负号 (2)任意两点间的电压与计算时所选路径无关 例4图1-17所示电路中,已知U1=10V,Ua=5V,U2=4V,R1=292,R2=392, R3=1Ω,a、b两点处于开路状态,试计算开路电压U2 R 图1-17 解:由于a、b两点处于开路状态,则电流l3=0,电阻R3上无压降,流过电阻R1, R2的电流相同,即l1=l2 在左回路中应用KVL得 1R1+12R2+Ux=U1 1=l2 U1-Ua10-5 12 =1A R1+ R2 在右回路中应用KVL得 U2=-Ux+l2R2+Ux1=-4+1×3+5=4 因此KVL同样适用于回路的部分电路(开口电路)。 例5讨论图1-18中(a)(b)两个电路电源的工作状态。已知U,、J,均为正值 , (a) (b) 图1-18
3 正号，相反取负号；其二是电压数值本身的正、负号。 （2） 任意两点间的电压与计算时所选路径无关。 例4 图1-17所示电路中，已知 10 U1 = V，Us1 = 5V，Us2 = 4V，R1 = 2Ω ，R2 = 3Ω， R3 = 1Ω，a、b 两点处于开路状态，试计算开路电压 U2。 2 I 1 I 3 I U1 U2 Us2 Us1 R1 R3 R2 a b 图 1-17 解：由于 a、b 两点处于开路状态，则电流 0 I 3 = ，电阻 R3 上无压降，流过电阻 R1， R2 的电流相同，即 1 2 I = I 。 在左回路中应用 KVL 得 1 1 2R2 U 1 U1 I R I + + s = ∵ 1 2 I = I ∴ 1 2 3 10 5 1 2 1 1 2 = + − = + − = R R U U I s A 在右回路中应用 KVL 得 U2 = −Us2 + I 2R2 +Us1 = −4 +1× 3 + 5 = 4V 因此 KVL 同样适用于回路的部分电路（开口电路）。 例 5 讨论图 1-18 中（a）（b）两个电路电源的工作状态。已知Us 、 s I 均为正值。 s I Us s I Us （a） （b） 图 1-18
解:电压源的电压由其本身决定为U,而流过它的电流取决于外电路,在此由 电流源l决定;电流源的电流由其本身决定为,而它两端的电压取决于外电 路,在此由电压源U,决定。 对图(a) 电压源P1=-U,l0吸收功率,起负载作用。 对图(b 电压源P=U,l,>0吸收功率,起负载作用。 电流源P2=-U,l,<0发出功率,起电源作用 因此电源在电路中并非一定处于电源状态,有可能处于负载状态,要视其功 率的正、负值来确定 例6求图1-19(a)所示电路中A点电位U +50V R R3 50V|50V -50V 图1-19 解:所谓A点电位是指A点相对于接地点(参考点)的电压。不难理解,某点 的电位,随参考点的不同而不同,但任意两点间的电压却不随参考点而变化 图(a)是一种简化的习惯画法,完整的电路如图(b)所示。从图(a)可 以得到各支路电流分别为 UA-(-50) R R2 R 又对于A点应用KCL得
4 解：电压源的电压由其本身决定为Us ，而流过它的电流取决于外电路，在此由 电流源 s I 决定；电流源的电流由其本身决定为 s I ，而它两端的电压取决于外电 路，在此由电压源Us 决定。 对图（a） 电压源 P1 = −Us Is 吸收功率，起负载作用。 对图（b） 电压源 P1 = Us Is > 0 吸收功率，起负载作用。 电流源 P2 = −Us Is < 0 发出功率，起电源作用。 因此电源在电路中并非一定处于电源状态，有可能处于负载状态，要视其功 率的正、负值来确定。 例 6 求图 1-19（a）所示电路中 A 点电位U A 。 2 I 1 I 3 I R1 2 R3 R +50V -50V 1 I 2 I 3 I R1 R2 R3 A 50V 50V （a） （b） 图 1-19 解：所谓 A 点电位是指 A 点相对于接地点（参考点）的电压。不难理解，某点 的电位，随参考点的不同而不同，但任意两点间的电压却不随参考点而变化。 图（a）是一种简化的习惯画法，完整的电路如图（b）所示。从图（a）可 以得到各支路电流分别为 1 1 50 R U I − A = 2 2 ( 50) R U I A − − = 3 3 R U I A = 又对于 A 点应用 KCL 得 0 I1 − I 2 − I 3 =
代入具体数据得 UA-(-50)UA=0∴UA=14.3V 10 例7分别求图1-20所示电路的开路电压U、短路电流lc。 IKQIKQ IKQ IKQ 10V (a) (b) 解:(1)设开路电压Uc参考极性如图(a)所示,因为a、b两点开路,I=0, 则受控电流源的电流为零,相当于开路,显然两个电阻上无压降 Uoc=10V (2)设短路电流lxc参考方向如图(b)所示,因为a、b两点短路,≠0 则根据KVL得 1000×(ls-0.5/)+1000lsc=10 从本题可以看到: (1)对含受控源的电路仍可根据KCL、KⅥL及元件的VAR求得解答。 (2)受控源不同于独立源,它的电压、电流受电路中其他支路电压、电 流的控制;因而当控制量为零时,受控量也为零;此时受控电压源相当于短路, 受控电流源相当于开路 (3)在图1-20(b)中由于控制量的参考方向致变,所以受控量的参考方 向要作相应变化 例8试求图1-21所示电路中的电流l1及电流源电压U,并验证整个电路功率是 否平衡。已知R1=292,R2=1g
5 代入具体数据得 0 5 20 ( 50) 10 50 − = − − − −U A U A U A ∴ U A =14.3V 例 7 分别求图 1-20 所示电路的开路电压 UOC 、短路电流 SC I 。 10V 0.5I I a 1KΩ 1KΩ b 10V I a 1KΩ 1KΩ SC I SC 0.5I （a） （b） 图 1-20 解：（1）设开路电压UOC 参考极性如图（a）所示，因为 a、b 两点开路， I = 0， 则受控电流源的电流为零，相当于开路，显然两个电阻上无压降 ∴ UOC = 10 V （2） 设短路电流 SC I 参考方向如图（b）所示，因为 a、b 两点短路， I ≠ 0， 则根据 KVL 得 10 1000× (I SC − 0.5I SC ) +1000I SC = ∴ 3 20 I SC = mA 从本题可以看到： （1） 对含受控源的电路仍可根据 KCL、KVL 及元件的 VAR 求得解答。 （2） 受控源不同于独立源，它的电压、电流受电路中其他支路电压、电 流的控制；因而当控制量为零时，受控量也为零；此时受控电压源相当于短路， 受控电流源相当于开路。 （3） 在图 1-20（b）中由于控制量的参考方向致变，所以受控量的参考方 向要作相应变化。 例 8 试求图 1-21 所示电路中的电流 1 I 及电流源电压U x ，并验证整个电路功率是 否平衡。已知 R1 = 2Ω ， R2 =1Ω
R R U①UO3A0 (吸收) P2=(1+3)2R2=(2+3)2×1=25W>0(吸收) P控=21(1+3)=2×2×(2+3)=20W>0(吸收) P.=-U,1=-13×2=-26W<0 (产生 P.=U,,=(1-9)×3=-27W<0 (产生) 从计算结果中可知P收=P生=53W,即∑P=0,验证整个电路功率守恒 因此验证电路功率是否平衡是检验计算结果是否正确的一种较为有效的方 例9求图3-12(a)所示电路中流过电阻的电流l4及功率P
6 1I 1 2I s I R1 R2 Us Ux 13V 3A 图 1-21 解：由 KCL 知，流过电阻 R2 的电流为 1 I +3 在大回路中运用 KVL 得 Us R1 I1 + R2 ( I1 + 3) + 2I1 = 2 ( 3) 2 13 I1 + I1 + + I1 = 解得 2 I1 = A 在左回路中运用 KVL 得： U x Us R1 I1 − = 2I1 −U x =13 解得 9 U x = 2I1 −13 = 2 × 2 −13 = − V 现在讨论电路中各元件的功率，计算时应注意电压、电流的参考方向是否关联。 1 2 2 1 1 2 28 P IR R = = ×= W>0 (吸收) 2 2 2 1 2 ( 3) (2 3) 1 25 PI R R = + = + ×= W>0 (吸收) 1 1 P II 受控 = + =×× + = 2 ( 3) 2 2 (2 3) 20W>0 (吸收) 1 13 2 26 U s s P UI =− =− × =− W<0 (产生) (1 9) 3 27 s P UI I ss = = − × =− W<0 (产生) 从计算结果中可知 P P 吸收 = = 53 产生 W，即 0 ∑Pk = ，验证整个电路功率守恒。 因此验证电路功率是否平衡是检验计算结果是否正确的一种较为有效的方 法。 例 9 求 图 3-12 （ a ）所示电路中流过电阻的电流 4 I 及功率 P4
R1 R I R2 R2 R 2Q2 39 4 4 图3-12 解:本题利用叠加定理求解 l0V电压源单独作用,将6A电流源开路,如图(b)所示。显然电阻R1与R2 串联,R3与R串联,再并联,则 R, 6A电流源单独作用,将10V电压源短路,如图(c)所示。显然这时电阻R 与R2并联,R与R4并联,再串联,则 R ×6=3.6A R3+R4 根据叠加定理,则 14=-4+l"=-2+36=1.6A P4=14R4=16×2=512W 从本题求解中应注意: (1)由于l所选参考方向与/相反,所以利用叠加定理时前应取负号 (2)计算R的功率时不能利用功率叠加,即利用公式P1=2R1+1R是 错误的!只能根据叠加定理求得R1上的总电流l4,再利用公式P=l2R1才是正 确的 例10用叠加定理求图3-14(a)电路中电压U3
7 4Ω 2Ω 1Ω R1 R2 R4 R3 3Ω 4 I 10V 6A = R1 R2 R4 R3 4 I′ 10V + R1 R2 R4 R3 4 I′ 6A （a） （b） （c） 图 3-12 解：本题利用叠加定理求解。 10V 电压源单独作用，将 6A 电流源开路，如图（b）所示。显然电阻 R1与 R2 串联， R3与 R4 串联，再并联，则 4 3 4 10 10 2 2 3 I R R ′ = == + + A 6A 电流源单独作用，将 10V 电压源短路，如图（c）所示。显然这时电阻 R1 与 R2 并联， R3与 R4 并联，再串联，则 3 4 3 4 3 6 6 3.6 2 3 R I R R ′′ = ×= ×= + + A 根据叠加定理，则 4 44 I II = − + =− + = ′ ′′ 2 3.6 1.6 A 2 2 4 44 P IR = = ×= 1.6 2 5.12W 从本题求解中应注意： （1） 由于 4 I′所选参考方向与 4 I 相反，所以利用叠加定理时 4 I′前应取负号。 （2） 计算 R4 的功率时不能利用功率叠加，即利用公式 2 2 P IR IR 4 44 44 = + ′ ′′ 是 错误的！只能根据叠加定理求得 R4 上的总电流 4 I ，再利用公式 2 P IR 4 44 = 才是正 确的。 例 10 用叠加定理求图 3-14（a）电路中电压U3
=107① I492 图3-14 解:在运用叠加定理时,各独立源单独作用,受控源要保留在电路中。 10ⅴ电压源单独作用,4A电流源开路,如图(b)所示,则 IA 6+4 U3=-1071+41=-61=-6×1=-6V 4A电流源单独作用,10V电压源短路,如图(c)所示,则 6 1.6A 101+42=-10×(-1.6)+4×24=256V 两个独立源同时作用时,则 -6,+25.6=196V 例11已知图3-19电路中R=R2=R3=R=12,U1=15V,U2=13V,U3=4V 试求(1)a、b两点间的电压U是多少?(2)若ab间接R=52的电阻,那么 流过该电阻的电流是多少? 图3-19 解:(1)选择参考点如图所示。根据电路可得 1A R1+R2
8 1I 1 10I 6Ω 10V Us 4A 4Ω = 1I′ 1 10I′ 6Ω Us 10V 4Ω ′ + 1 I′′ 1 10I′′ 6Ω Us ′′ 4A 4Ω （a） (b) (c) 图 3-14 解：在运用叠加定理时，各独立源单独作用，受控源要保留在电路中。 10V 电压源单独作用，4A 电流源开路，如图（b）所示，则 1 10 1 6 4 I′ = = + A 3 11 1 U II I ′ ′′ ′ =− + =− =− × =− 10 4 6 6 1 6 V 4A 电流源单独作用，10V 电压源短路，如图（c）所示，则 2 6 4 2.4 6 4 I′′ =× = + A 1 4 4 1.6 6 4 I′′=− × =− + A 3 12 U II ′′ ′′ ′′ =− + =− × − + × = 10 4 10 ( 1.6) 4 2.4 25.6V 两个独立源同时作用时，则 3 33 1 UUU = + =− + = ′ ′′ 6 25.6 19.6 V 例 11 已知图 3-19 电路中 1234 RRRR = = = =Ω1 ， 1 U =15V， 2 U =13V， 3 U = 4 V。 试求（1）a、b 两点间的电压Uab是多少？（2）若 ab 间接 5 R = 5Ω的电阻，那么 流过该电阻的电流是多少？ U1 R3 U3 R2 U 2 R1 R4 a b 1I 2 I 图 3-19 解：（1）选择参考点如图所示。根据电路可得 1 2 1 1 2 15 13 1 1 1 U U I R R − − = == + + A
U3 R+ 所以a、b两点的电位分别为 Ua=U2+lR2=13+1x1=14V Ub=l2R4=2×1=2V 即a、b两点间的电压为 Uo=Ua-Ub=14-2=12 V (2)如果在ab间接R3=592的电阻,则流过该电阻的电流为 J=m=2=24A R55 注意:此结论是错误的!因为(1)中所求a、b间的12V电压实际上是a、b两 点间的开路电压,跨接电阻后该电阻上的电压不再是12V。应该利用戴维南定理 求解之 从a、b两点看进去的等效电阻 R=(RR)+(RR)=1+1+1+1=12 则所求电流为: Ro+R,1+52 此时该电阻两端的电压为:U,=IaR5=2×5=10V 例12对图3-21(a)所示电路,求负载电阻R1上消耗的功率P1 509200i 509 200i 50g 50g2 1009 10092ua 1009 (b) (c)
9 3 2 3 4 4 2 1 1 U I R R = == + + A 所以 a、b 两点的电位分别为 2 12 13 1 1 14 U U IR a = + = +×= V 2 4 21 2 U IR b = = ×= V 即 a、b 两点间的电压为 14 2 12 U UU ab a b = − = −= V （2）如果在 ab 间接 R5 = 5Ω的电阻，则流过该电阻的电流为 2.4 5 12 5 = = = R U I ab ab A 注意：此结论是错误的！因为（1）中所求 a、b 间的 12V 电压实际上是 a、b 两 点间的开路电压，跨接电阻后该电阻上的电压不再是 12V。应该利用戴维南定理 求解之。 从 a、b 两点看进去的等效电阻 = Ω + × + + × = + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) R0 R1 R2 R3 R4 则所求电流为： 2 1 5 12 R0 5 = + = + = R U I ab ab A 此时该电阻两端的电压为： 10 Us = I ab ⋅R5 = 2×5 = V 例 12 对图 3－21（a）所示电路，求负载电阻RL 上消耗的功率PL 。 a b 100Ω 1 i 1 4i 5Ω 50Ω 40V 50V 50Ω RL a b 100Ω 1 i′ 50Ω 40V 50Ω uoc 1 200i′ a b 100Ω 1 i′′ 50Ω 40V 50Ω 1 200i′′ sc i （a） （b） （c）
509200 50 L25g2 ①10d50V 40V (d) 图3-21 解:(1)求un。将图(a)中受控电流源与电阻的并联组合等效为受控电压源与 电阻的串联组合,并断开a、b支路,设u的参考极性如图(b)所示。由KVL 得 100i+200i+100i1=40 所以=0.A =100i=10V (2)求R 【方法一】开路、短路法。将图(b)中a、b端短路,并设短路电流参考方向 如图(c)所示。由图可知i=0,从而受控电压源相当于短路,图(c)可以等 效为图(d),显然 所以 Ro 259 0.4 【方法二】外加电源法。将图(b)中40ⅴ独立电压源短路,受控源保留,并在 a、b端加电压源u,如图(e)所示。由图可得 l1 100 由KVL得 +200i l2 100 t+200 将i与u关系代入上式得2 100 据KCL有 i=i+12=100100 25 所以R0 59
10 50Ω 40V 50Ω sc i 100Ω 1 − i′′′ 50Ω 50Ω 200 1 i′′′ U i a b RL 5Ω 25Ω 10V 50V （d） （e） （f） 图 3－21 解：（1）求uoc 。将图（a）中受控电流源与电阻的并联组合等效为受控电压源与 电阻的串联组合，并断开 a、b 支路，设uoc 的参考极性如图（b）所示。由 KVL 得 100 200 100 40 i 1 ′ + i 1 ′ + i 1 ′ = 所以 0.1 i 1 ′ = A 10 uoc = 100i 1 ′ = V （2）求 R0 【方法一】开路、短路法。将图（b）中 a、b 端短路，并设短路电流 sc i 参考方向 如图（c）所示。由图可知 0 i 1 ′′ = ，从而受控电压源相当于短路，图（c）可以等 效为图（d），显然 0.4 100 40 isc = = A 所以 = = = 25Ω 0.4 10 0 sc oc i u R 【方法二】外加电源法。将图（b）中 40V 独立电压源短路，受控源保留，并在 a、b 端加电压源u ，如图（e）所示。由图可得 100 1 u i′′ = 由 KVL 得 100 200 1 2 u i i + ′′ = 将 1i′′ 与u 关系代入上式得 u u u i 100 3 100 100 200 2 = + = 据 KCL 有 100 25 3 100 1 2 u u u i = i′′+ i = + = 所以 0 = = 25Ω i u R