第七章一阶电路 71分解方法在动态电路分析中的应用 电路可以分解为两个单口网终,其一含所有的电源及电阻元件,另一则只 动态元件。含源电阻网络部分可以用戴维南或渃顿定理简化。 、含电容元件的一阶电路 对含电容C的一阶电路如图7-1(a)所示,简化后的电路如图(b)、(c) 源电阻网终 u 图7一1a)单一电容元件电路 (b)用戴维南定理简化 c)用诺顿定理简化 图(b)的RC串联电路,若以电容电压uc()作为电路响应,根据元件VAR以及KVL
可得:RC=+lc=l(7-1) 类似地,对图(c)电路,由元件VAR以及KCL可得:C=+GnuC=i2(7-2 dt 给定初始条件uc(t0)以及t≥t时的a(1)或i2()便可由阶微分方程(7-1)或(7 2)解得t≥to时的lc(t)。在求得c(t)后,根据置换定理以电压源去置换电容,使原电 路变換成为一个电阻电路,运用电阻电路的分析方法就可以求解t≥to时所有的攴路电流与 含电感元件的一阶电路 对含电感的一阶电路,电路如图(a)所示,简化后的电路如图(b)(c)。以2()作为 L L 电路响应,列写的微分方程为
GL 结合初始条件i(t0)以及t≥10时的a0()或i()使可由阶微分方程(7-3)或(7-4 解得≥t时的i()。在运用置换定理时以电流为i2()的电流源去置换电感,继而可以求 解t≥t0时所有的攴路电流与电压 注意:处理一阶电路最关键的步骤时求得uc(1)或i(t),在需要确定初始条件uc(t0)或 i2(t0)时,应运用电容电压和电感电流的连续性质。 72换路定则与初始值的确定 换路与换路定则 1、換路:在动态网络的分析中,电路的接通、断开,电路接线的改变和电路参数或电 源的突然变化等都成为“换路 2、换路定则:电路发生换路的时刻记为.把换路前瞬间记为-,而把换路后瞬 间记为10+。当10+时,电容电压C和电感电流汇分别为 2(n)=n(G)+45)4 i2(0-)=i(t0)+ l42(d 若在t=t0处,电容电流和电感电压u为有限值,则电容电压uC和电感电流汇在 该处连续,它们不能跃变。即 uc(to =uc(t 般情況下,选择t=0,则有 lc(0)=2(0.) (0.)=i2(0) 二、初始值的确定 初始值指电路换路后瞬间的值,一般情滉即电路在t-0时的值。求初始值的步骤: 1、根据换路前的电路求待uc(0)或i(0),其中电容元件C开路,电感元件L短路 2、根据换路定则求的电容电压或电感电流的初始值,即 lc(0)=uc(0)或i2(0)=12(0)
3、画出t=0时的等效电路,求得所需的任意电压、电流的初始值。其中根据置换定 理,用电压等于uc(0.)的电压源置换电容元件C·用电流等于(0)电流源置换电感元件 L,独立电源均取t=0吋的值。 73零输入响应 零输入响应:电路没有外施激励,仅由初始时刻动态元件的储能所产生的响应称为动态 电路的零输入响应 RC电路(图7-2) U(0)=U 2已充电的电容与电阻相联接 图7-3t≥0时的电路,U(0)=U 1、数学模型:RCm+l=0 2、求解:特征方程RCS+1=0 特征根S=-RC 通解l2(t)=ke 因为u。(O)=40所以k=uo 所以u2()=u0e i(t)=c dr=r u(t)=iR=-uge
3、讨论:如图7-4,7-5 0.0184 r() 图7-4RC电路电容放电时u随时间变化的曲线 图7—5RC电路电容放电时电流随时间变化的曲线 l.(t),u12(,(n)是随时间衰减的指数函数 τ-RC,时间常数(单位秒,反映了指数函数袁减的快慢,同样的初始电压,若c大→贮你 电荷多(贮能大)→放电缓慢。若R大→放电电流小 =时,l2=0e=0.36810,1=5,l=l0e3=0.007 理论上,t=x时,u。=0(稳态):一般地t=(3-5)时,u≈0 RL电路(图7-6,7-7)
S 图7一6具有初始电流l的电感与电阻相联接 12() 图7一7RL电路,i(0)=l0 1、数学模型:L+i1R=0 2、求解:特征方程LS+R=0 特征根S= 通解i=ke 因为i1(O)=10所以K=1 12(t)=l0e 所以2()=L业=-R n2(O)=1R=lnRe(≥0) 3.讨论:如图7-8
0.368/ 图78图77所示R电路i及u随时间变化的曲线 (1)2,u1,ug场是按指数规律变化的 2)=k时间常数,同样的初始电流,若L大→贮能大,R小→电阻功率小 指数衰减缓慢 (3)t=时,i1(x)=0,u2(x)=0,u2(x)=0(稳态 零输入响应的特点 1,零输入(u,)场按指数规律衰减,这是因为在没用外施电源的条件下 原有的贮能总是要逐渐衰减至零的 2衰减遮度取决于电路本身固有性质,与初始电压,电流无关; RC: T=RC, RL: T=ZR 3.若初始状态增大α倍,则零输入响应也相应地增大α倍。这种正比例关系称作零输入比例性」 是线性电路激励与响应呈线性关系反映 4同一电路中各电压,电流变化的时间常数相等。 例7-2电路如图7-9所小,在t=0时开关由a投向b,在此以前电容电压为U。试求
t≥0时,电容电压及电流。 图7-9例7-2 R, 0时的电路图 解电容的初始电压为U将随时间衰减到零,自电容两端向左看等效电阻为R1+R2,间常 数为(R1+R2)C因此 l(t)=Ue(t≥0) ()=-C如 例7-3电路如图7-11所示已知 R1=992,R2=492,R3=89,R4=39,R3=19。t=0时开关打开,求2(),t≥0
i(1) 40 图7-12用电压源置换电容后所得的电阻电路,t≥0 进而=RC=12×1=12s 所以12(D)=2(0)e=10e 根据分流作用得:41()=5e i2(1)=eA 故得 lan(t)=-4()+32(t)=eV( 74零状态响应
零状态响应:电路的初始状态为笭,仅由初始时刻施加于电路的励所产生的响应称为 动态电路的零状态响应。 RC电路(图) 1、数学模型 2、求 、RL电路(图7-18) R 2(1) 18三源与RL电路相接 1、数学模型:L动+iR=v 2、求解:通解1()=计+1p=k+Q=ke+“%k i/(t)=k(1 <1(1)=L如=ue ()=u,(1-e) (∞) 1()=0,1(o)=l 零输入响应的特点:1.零状态响应实质上是在直流电压或电流作用下电路中动态元件的贮能 从零而逐渐增长的过程。u4,是按指数规律由安上:升至稳态值;稳态时电容相当于开 路,电感相当于短路。在知道u(1),i(1)以后,可利用置换定理求电路中的电压电流 2.若外施激励增大α倍,则零状态响应也增大α倍,这种正比例关 系称作零状态比例性