免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ 第五章《一元一次不等式和一元一次不等式组》综合指导 、复习目标 1、通过复习,进一步了解一元一次不等式和一元一次不等式组的基本概念,了解不等 式(组)的解和解集的概念 2、理解并掌握不等式的基本性质,能运用不等式的基本性质解一元一次不等式并会 在数轴上表示解集,联系、比较不等式的变形与方程变形的异同 3、能利用数轴求出一元一次不等式组的解集 4、能从实际问题中抽象出一元一次不等式(组),加深对数学模型的认识,体会数学 化的过程,提高用数学分析和解决问题的能力 二、重难点提示 1、重点:(1)能熟练解一元一次不等式(组) (2)能利用一元一次不等式(组)解决实际问题 2、难点:(1)对比一元一次不等式和一元一次方程的异同 (2)利用好数轴这个工具 三、知识梳理 (一)有关概念 1、一元一次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1的不等式叫做一元 一次不等式 2、一元一次不等式组:关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了 一个一元一次不等式组 3、不等式(组)的解:能使不等式(组)成立的未知数的值叫做不等式(组)的解 4、不等式(组)的解集:一个不等式(组)的所有解组成这个不等式(组)的解集 注意不等式(组)的解与不等式(组)的解集的关系:不等式(组)所有的解的集合 组成不等式(组)的解集,不等式(组)的每一个解都是解集的一个元素例如,x=3.5,4, 7…都是不等式x+5>8的解,而x>3是这个不等式的解集 (二)不等式的三个基本性质 ①性质1:如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.即不等式两边都加上(或减去)同 一个数或同一个整式,不等号的方向不变 ②性质2:如果a>b,并且c>0,那么ac>bc.即不等式的两边都乘(或除以)同 解压密码联系qq119139686加徽信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 Jlaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 第五章《一元一次不等式和一元一次不等式组》综合指导 一、复习目标 1、通过复习，进一步了解一元一次不等式和一元一次不等式组的基本概念，了解不等 式（组）的解和解集的概念． ２、理解并掌握不等式的基本性质，能运用不等式的基本性质解一元一次不等式并会 在数轴上表示解集，联系、比较不等式的变形与方程变形的异同． ３、能利用数轴求出一元一次不等式组的解集． ４、能从实际问题中抽象出一元一次不等式（组），加深对数学模型的认识，体会数学 化的过程，提高用数学分析和解决问题的能力． 二、重难点提示 １、重点：（１）能熟练解一元一次不等式（组）． （２）能利用一元一次不等式（组）解决实际问题． ２、难点：（１）对比一元一次不等式和一元一次方程的异同． （２）利用好数轴这个工具． 三、知识梳理 (一)有关概念 1、一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1 的不等式叫做一元 一次不等式. 2、一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了 一个一元一次不等式组. 3、不等式（组）的解：能使不等式（组）成立的未知数的值叫做不等式（组）的解. 4、不等式（组）的解集：一个不等式（组）的所有解组成这个不等式（组）的解集. 注意 不等式（组）的解与不等式（组）的解集的关系：不等式（组）所有的解的集合 组成不等式（组）的解集，不等式（组）的每一个解都是解集的一个元素.例如，x=3.5，4， 7…都是不等式 x+5＞8 的解，而 x＞3 是这个不等式的解集. (二) 不等式的三个基本性质 ①性质 1：如果 a＞b，那么 a+c＞b+c，a-c＞b-c. 即不等式两边都加上（或减去）同 一个数或同一个整式，不等号的方向不变. ②性质 2：如果 a＞b，并且 c＞0，那么 ac＞bc.即不等式的两边都乘（或除以）同一
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ 个正数,不等号的方向不变 ③性质3:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc.即不等式的两边都乘(或除以)同 个负数,不等号的方向改变. (三)解一元一次不等式的步骤及注意点 解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程的的一般步骤大体相同,主要有:①去 分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为 注意①上述步骤并不是解所有的不等式都必须经历的,具体情况应该具体分析 ②解一元一次不等式的每一步骤的注意点与解一元一次方程的相应步骤的注意点基本 相同,我们可以结合解一元一次方程的步骤总结解一元一次不等式的每一个步骤的注意点 需要特别注意的是在去分母和系数化为1的两个步骤里,如果不等式的两边都乘或除以同 个负数时,不等号的方向一定要改变 (四)如何把一元一次不等式的解集在数轴上表示出来 在数轴上表示不等式的解集可以概括为三步走:首先要在数轴上找到不等式的解集的 起始点的位置,然后确定该点是实心圆点还是空心圆圈,最后确定方向 注意①判断是实心圆点还是空心圆圈的方法:如果有等号,则表示包括该点,那么该 点就应该是实心圆点:如果没有等号,则表示不包括该点,那么该点就是空心圆圈. ②判断方向的方法:如果是大于号,就是向右的方向;如果是小于号,就是向左的方 (五)解一元一次不等式组的步骤 、求出一元一次不等式组中的每一个不等式的解集 2、在数轴上标出每个不等式的解集,并找出公共部分,这个公共部分即为该不等式组 的解集 (六)用不等式(组)解决实际问题的步骤 1、一般步骤: (1)审题; (2)设未知数: (3找出大小关系 (4)列出不等式(组); 5)解不等式(组),并根据问题的实际意义确定问题的解 解压密码联系qq119139686加徽信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 Jlaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 个正数，不等号的方向不变. ③性质 3：如果 a＞b，并且 c＜0，那么 ac＜bc. 即不等式的两边都乘（或除以）同一 个负数，不等号的方向改变. (三)解一元一次不等式的步骤及注意点 解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程的的一般步骤大体相同,主要有:①去 分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为 1. 注意 ①上述步骤并不是解所有的不等式都必须经历的，具体情况应该具体分析. ②解一元一次不等式的每一步骤的注意点与解一元一次方程的相应步骤的注意点基本 相同，我们可以结合解一元一次方程的步骤总结解一元一次不等式的每一个步骤的注意点. 需要特别注意的是在去分母和系数化为 1 的两个步骤里，如果不等式的两边都乘或除以同一 个负数时，不等号的方向一定要改变. （四）如何把一元一次不等式的解集在数轴上表示出来. 在数轴上表示不等式的解集可以概括为三步走:首先要在数轴上找到不等式的解集的 起始点的位置，然后确定该点是实心圆点还是空心圆圈，最后确定方向. 注意①判断是实心圆点还是空心圆圈的方法：如果有等号，则表示包括该点，那么该 点就应该是实心圆点；如果没有等号，则表示不包括该点，那么该点就是空心圆圈. ②判断方向的方法：如果是大于号，就是向右的方向；如果是小于号，就是向左的方 向. （五）解一元一次不等式组的步骤 1、求出一元一次不等式组中的每一个不等式的解集； 2、在数轴上标出每个不等式的解集，并找出公共部分，这个公共部分即为该不等式组 的解集. （六）用不等式（组）解决实际问题的步骤 1、一般步骤： ⑴审题； ⑵设未知数； ⑶找出大小关系； ⑷列出不等式（组）； ⑸解不等式（组），并根据问题的实际意义确定问题的解
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ (6)检验,写出答案. 2、注意:①“至多”、“至少”、“不大于”、“不小于”等词语很关键,一定要准确理解. ②在实际问题中对答案很可能有一定的限制(往往取正整数),所以要根据实际情 况把解集中的符合条件的解选出来 思想方法总结 1、数形结合思想 数轴是一个非常重要的工具,利用好数轴这个工具,不仅能够形象地理解一元一次 不等式的解集,直观求出不等式组的解集,并且能够有效地解决一些问题(参见例7) 2、转化思想 解一元一次不等式的过程实质是利用不等式的性质将不等式不断变形为x>a或 x3是x+3>6的解 C.x=是6x≥3的解集.D.x15的解集 分析:把x=-3代入x+315的两边都除以-3,得x”或“b,则1-a 分析:需要把不等式的基本性质牢记,才能熟练做出这类题目 解:①根据不等式的性质2,由xb得-a<-b:再根据不等式的性质1,得1-a<1-b 例3“哥哥的年龄比我大,3年后哥哥的年龄仍然比我大.”这一生活现象暗合了不 等式的哪一条性质? 解压密码联系qq119139686加徽信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 Jlaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com ⑹检验，写出答案. 2、注意：①“至多”、“至少”、“不大于”、“不小于”等词语很关键，一定要准确理解. ②在实际问题中对答案很可能有一定的限制（往往取正整数），所以要根据实际情 况把解集中的符合条件的解选出来. 四、思想方法总结 1、数形结合思想 数轴是一个非常重要的工具，利用好数轴这个工具，不仅能够形象地理解一元一次 不等式的解集，直观求出不等式组的解集，并且能够有效地解决一些问题（参见例 7） 2、转化思想 解一元一次不等式的过程实质是利用不等式的性质将不等式不断变形为x＞a或 x＜a 的形式. 3、比较的方法 在复习过程中要注意比较解一元一次不等式与一元一次方程的异同，比较用一 元一次不等式与用一元一次方程解决实际问题的异同，可以提高学习效率和学习质量. 五、典型例题分析 1、有关概念 例 1 下列说法正确的是：A. x=-3 是 x+3＜-2 的解. B. x＞3 是 x+3＞6 的解. C. x= 1 2 是 6x≥3 的解集. D. x＜-5 是-3x＞15 的解集. 分析:把 x=-3 代入 x+3＜-2 中不成立,所以答案 A 错误;答案 B 和答案 C 混淆了解和 解集两个概念;在不等式-3x＞15 的两边都除以-3,得 x＜-5,所以答案 D 是正确的. 2、不等式的性质 例 2 用“＞”或“＜”填空：①已知 x＜y，则 3x-1＿3y-1.②已知 a＞b，则 1-a＿ 1-b. 分析：需要把不等式的基本性质牢记，才能熟练做出这类题目. 解：①根据不等式的性质 2，由 x＜y 得 3x＜3y；再根据不等式的性质 1，得 3x-1＜3y-1. ②根据不等式的性质 3，由 a＞b 得-a＜-b；再根据不等式的性质 1，得 1-a＜1-b. 例 3 “ 哥哥的年龄比我大，3 年后哥哥的年龄仍然比我大.”这一生活现象暗合了不 等式的哪一条性质？
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解:设哥哥现在a岁,我b岁,则3年后哥哥(a+3)岁,我(b+3)岁.由a>b 得出a+3>b+3暗合了不等式的性质 反思:用这种合情推理的方式理解数学性质可以让我们对知识理解的更深刻,记忆 的更牢固 例4请你利用不等式的性质说明怎样由“三角形的任意两边之和大于第三边 出“三角形的任意两边之差小于第三边” 分析:这是一道数形结合的题目 解:设三角形的三边分别为a、b、C,“由三角形的任意两边之和大于第三边”可知 a+b>c,移项(即根据不等式的性质1),得a>c-b,b>c-a,即c-bb、b+c>a可得b-a3(x+4) 去括号,得 12-1+x>3x+12 移项,得 x-3x>12-12+1 合并同类项,得 -2x>1 系数化为1,得 解压密码联系qq119139686加徽信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 Jlaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 解：设哥哥现在 a 岁，我 b 岁，则 3 年后哥哥（a+3）岁，我（b+3）岁.由 a＞b 得出 a+3＞b+3 暗合了不等式的性质 1. 反思：用这种合情推理的方式理解数学性质可以让我们对知识理解的更深刻，记忆 的更牢固. 例 4 请你利用不等式的性质说明怎样由“三角形的任意两边之和大于第三边”推 出“三角形的任意两边之差小于第三边”. 分析：这是一道数形结合的题目. 解：设三角形的三边分别为 a、b、c，“由三角形的任意两边之和大于第三边”可知： a+b＞c，移项（即根据不等式的性质 1），得 a＞c-b，b＞c-a，即 c-b＜a，c-a＜b.同理， 由 a+c＞b、b+c＞a 可得 b-a＜c、b-c＜a、a-b＜c、a-c＜b，所以“三角形的任意两边之 差小于第三边.” 3、解一元一次不等式 例 5 解不等式 2- 1-x 6 ＞ x+4 2 分析：去分母时切记不要漏乘不含分母的项，当分子是多项式时要给分子整体加上 括号，如果乘以一个负数还要改变不等号的方向；去括号时要注意括号前的因数乘以括号 里的每一项，如果括号前面是负号，还要注意去掉括号后，括号里的每一项都要改变符号； 移项要注意变号；在系数化为 1 时，如果原来的系数为负数，一定要改变不等号的方向. （解一元一次不等式的注意事项与解一元一次方程的注意事项基本相同，只有划线部分是 解一元一次不等式所特别注意的.） 解：去分母，得 12-（1-x）＞3（x+4） 去括号，得 12-1+x＞3x+12 移项，得 x-3x＞12-12+1 合并同类项，得 -2x＞1 系数化为 1，得
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ 4、解一元一次不等式组 1-2(x-1)>1① 例6解不等 式组 解:解不等式①,得x3,求a的取值范围. 3x+23.我们不妨把表示数a的点看作是一个动点,将这两个 不等式的解集在数轴上表示有三种可能性,如图1、图2与图3.显然,在图1与图3两种 情况下,不等式组的解集为x>3,而在图2的情形下,不等式组的解集为x>a.由图1 和图3可知:a≤3. 反思:数轴是一个非常重要的工具,上面这道题目就是利用数轴的一个很好的例子 5、用不等式(组)解决实际问题 例8在一次环保知识竞赛中,竞赛试题共有25道题.每道题都给出4个答案,其中 只有一个答案是正确的.要求学生把正确答案选出来.每道题选对得4分,不选或错选倒扣 解压密码联系qq119139686加徽信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 Jlaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com x＜- 1 2 4、解一元一次不等式组 例 6 解不等 式组 解：解不等式①，得 x＜1. 解不等式②，得 x≥-2. 在数轴上表示不等式①、②的解集，如下图所示. 这两个不等式的解集的公共部分是-2≤x＜1. 所以，不等式组的解集是-2≤x＜1. 例 7 若不等式 组 的解集为 x＞3，求 a 的取值范围． 解：解 3x+2＜4x-1，得 x＞3.我们不妨把表示数 a 的点看作是一个动点，将这两个 不等式的解集在数轴上表示有三种可能性，如图 1、图 2 与图 3.显然，在图 1 与图 3 两种 情况下，不等式组的解集为 x＞3，而在图 2 的情形下，不等式组的解集为 x＞a.由图 1 和图 3 可知：a≤3. 反思：数轴是一个非常重要的工具，上面这道题目就是利用数轴的一个很好的例子. 5、用不等式（组）解决实际问题 例 8 在一次环保知识竞赛中，竞赛试题共有 25 道题.每道题都给出 4 个答案，其中 只有一个答案是正确的.要求学生把正确答案选出来.每道题选对得 4 分，不选或错选倒扣
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ 2分.如果一个学生在本次知识竞赛中的得分不低于60分,那么他至少选对了多少道题? 分析:这道题的数量关系很明确,就是由作对题目所得分数减去作错题目所扣分数 大于或等于60分,关键是如何列代数式正确表示作对题目所得分数与作错题目所扣分数 解:设他选对了x道题,根据题意,得(注意:不能设成“他至少选对了x道题”) 4x-2(25-x)≥ 解得x≥ 因为题目数必须是正整数,而符合条件的正整数最小是19,所以他至少选对了 19道题 例9今年9月份,我市某果农收获苹果30吨,梨13吨,现计划租用甲、乙两种货 车共10辆将这批水果全部运往南方.已知甲种货车可装苹果4吨和梨1吨,乙种货车可装 苹果、梨各2吨.该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案?请你设计出来. 分析:这类方案设计题虽然没有出现表示不等关系的术语,但同学们要明白这是利 用不等式组来解决实际问题.题目中的不等关系为:①甲种货车和乙种货车合运的苹果至 少为30吨:②甲种货车和乙种货车合运的梨至少为13吨.另外注意答案一定要取自然数 解:设安排甲种货车ⅹ辆,则安排乙种货车(10-x)辆,根据题意,得 4x+2(10-x)>30 +2(10-x)≥13 解这个不等式组得 所以5≤x≤7,又因为x必须取整数,所以x可以取5,6,7.即安排甲、乙两 种货车共有三种方案 ①甲种货车5辆,乙种货车5辆 ②甲种货车6辆,乙种货车4辆 ③甲种货车7辆,乙种货车3辆 解压密码联系qq119139686加徽信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 Jlaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 2 分.如果一个学生在本次知识竞赛中的得分不低于 60 分，那么他至少选对了多少道题？ 分析：这道题的数量关系很明确，就是由作对题目所得分数减去作错题目所扣分数 大于或等于 60 分，关键是如何列代数式正确表示作对题目所得分数与作错题目所扣分数. 解：设他选对了 x 道题，根据题意，得（注意：不能设成“他至少选对了 x 道题”） 4x-2（25-x）≥60 解得 x≥ 110 6 因为题目数必须是正整数，而符合条件的正整数最小是 19，所以他至少选对了 19 道题. 例 9 今年 9 月份，我市某果农收获苹果 30 吨，梨 13 吨，现计划租用甲、乙两种货 车共 10 辆将这批水果全部运往南方.已知甲种货车可装苹果 4 吨和梨 1 吨，乙种货车可装 苹果、梨各 2 吨.该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你设计出来. 分析：这类方案设计题虽然没有出现表示不等关系的术语，但同学们要明白这是利 用不等式组来解决实际问题.题目中的不等关系为：①甲种货车和乙种货车合运的苹果至 少为 30 吨；②甲种货车和乙种货车合运的梨至少为 13 吨.另外注意答案一定要取自然数. 解：设安排甲种货车 x 辆，则安排乙种货车（10-x）辆，根据题意，得 解这个不等式组得 所以 5≤x≤7，又因为 x 必须取整数，所以 x 可以取 5，6，7.即安排甲、乙两 种货车共有三种方案： ①甲种货车 5 辆，乙种货车 5 辆； ②甲种货车 6 辆，乙种货车 4 辆； ③甲种货车 7 辆，乙种货车 3 辆
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