第十章协方差分析 第一节协方差分析的意义 张下一张主页退出
第十章 协方差分析 第一节 协方差分析的意义 上一张 下一张 主 页 退 出
协方差分析有二个意义,一是对试验进行 统计控制,二是对协方差组分进行估计,现分 述如下。 对试验进行统计控制 为了提髙试验的精确性和准确性,对处理 以外的一切条件都需要采取有效措施严加控制, 使它们在各处理间尽量一致,这叫试验控制。 但在有些情况下,即使作出很大努力也难以使 试验控制达到预期目的。例如:研究几种配合 饲料对猪的增重效果,希望试验仔猪的初始重 相同,因为仔猪的初始重不同,将影响到猪的 增重。经研 张下一张[主页退出
协方差分析有二个意义 ， 一是对试验进行 统计控制，二是对协方差组分进行估计，现分 述如下。 一、对试验进行统计控制 为了提高试验的精确性和准确性 ，对处理 以外的一切条件都需要采取有效措施严加控制， 使它们在各处理间尽量一致，这叫试验控制。 但在有些情况下，即使作出很大努力也难以使 试验控制达到预期目的。例如：研究几种配合 饲料对猪的增重效果，希望试验仔猪的初始重 相同，因为仔猪的初始重不同，将影响到猪的 增重。经研 上一张 下一张 主 页 退 出
发现:增重与初始重之间存在线性回归关系。但 是,在实际试验中很难满足试验仔猪初始重相同 这一要求。这时可利用仔猪的初始重(记为x)与 其增重(记为y)的回归关系,将仔猪增重都矫正 为初始重相同时的增重,于是初始重不同对仔猪 增重的影响就消除了。由于矫正后的增重是应用 统计方法将初始重控制一致而得到的,故叫统计 控制。统计控制是试验控制的一种辅助手段。经 过这种矫正,试验误差将减小,对试验处理效应 张下下一张主页退出
发现：增重与初始重之间存在线性回归关系。但 是，在实际试验中很难满足试验仔猪初始重相同 这一要求。 这时可利用仔猪的初始重(记为x)与 其增重(记为y)的回归关系， 将仔猪增重都矫正 为初始重相同时的增重，于是初始重不同对仔猪 增重的影响就消除了。由于矫正后的增重是应用 统计方法将初始重控制一致而得到的，故叫统计 控制。统计控制是试验控制的一种辅助手段。经 过这种矫正，试验误差将减小，对试验处理效应 上一张 下一张 主 页 退 出
估计更为准确。若y的变异主要由x的不同造成 (处理没有显著效应),则各矫正后的间将没有 显著差异(但原y间的差异可能是显著的)。若y 的变异除掉x不同的影响外,尚存在不同处理的 显著效应,则可期望各y间将有显著差异(但原 y间差异可能是不显著的)。此外,矫正后的′和 原y的大小次序也常不一致。所以,处理平均数 的回归矫正和矫正平均数的显著性检验,能够提 高试验的准确性和精确性,从而更真实地反映试 验实际。这种将回归分析与方差分析结合在一起, 对试验数据进行分析的方法,叫做协方差分析 (analysis of covariance)
估计更为准确。若 y 的变异主要由x的不同造成 (处理没有显著效应)，则各矫正后的 间将没有 显著差异(但原y间的差异可能是显著的)。若 y 的变异除掉x不同的影响外， 尚存在不同处理的 显著效应，则可期望各 间将有显著差异 (但原 y间差异可能是不显著的)。此外，矫正后的 和 原y的大小次序也常不一致。所以， 处理平均数 的回归矫正和矫正平均数的显著性检验，能够提 高试验的准确性和精确性，从而更真实地反映试 验实际。这种将回归分析与方差分析结合在一起， 对试验数据进行分析的方法，叫做协方差分析 (analysis of covariance)。 y y y y
、估计协方差组分 在第八章曾介绍过表示两个相关变量线性相 关性质与程度的相关系数的计算公式: ∑ (x-x)(y-y) 若将公式右端的分子分母同除以自由度(n 1),得 ∑(x-x)y-y)/(n-1) ∑(x ∑(y-y) (10-1) 张下一张主页退出
二、估计协方差组分 在第八章曾介绍过表示两个相关变量线性相 关性质与程度的相关系数的计算公式： 若将公式右端的分子分母同除以自由度(n- 1)，得 （10-1） − − − − = 2 2 ( ) ( ) ( )( ) x x y y x x y y r − − − − − − − = ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( )( ) /( 1) 2 2 n y y n x x x x y y n r 上一张 下一张 主 页 退 出
其中 ∑(x-x)2 是x的均方MS,它是x的 方差σ2的无偏估计量 是y的均方MSy,它是y的 方差a2的无偏估计量;
其中 是x的均方MSx，它是x的 方差 的无偏估计量； 是y的均方MSy，它是y的 方差 的无偏估计量； 1 ( ) 2 − − n x x 2 x 1 ( ) 2 − − n y y 2 x
2(-3Xy-称为x与y的平均的离均差 的乘积和,简称均积,记为MPx,即 MP ∑(x-x(y-元) C∑x)∑ (10-2)
1 ( )( ) − − − n x x y y 称为x与y的平均的离均差 的乘积和，简称均积，记为MPxy，即 1 ( )( ) − − − = n x x y y MPxy 1 ( )( ) − − = n n x y x y （10-2）
与均积相应的总体参数叫协方差 ( Covariance),记为COv(x)或。。统 计学证明了,均积MP是总体协方差cOvx,y) 的无偏估计量,即EMPx= COV(X,y) 于是,样本相关系数r可用均方MSx、MSy 均积MP表示为: MP xy (10-3) MSMS 张下一张主页退出
与 均 积 相 应 的 总 体参 数 叫 协 方 差 （covariance），记为COV(x,y)或 。统 计学证明了，均积MPxy是总体协方差COV(x,y) 的无偏估计量，即 EMPxy= COV(x,y)。 于是，样本相关系数r可用均方MSx、MSy， 均积MPxy表示为： （10-3） xy x y xy MS MS MP r = 上一张 下一张 主 页 退 出
相应的总体相关系数p可用x与y的总体标 准差σ、σ,总体协方差cov(xy)或表 示如下: p- cor(x, y)=oyy (10-4) O、O,O,O1
相应的总体相关系数ρ可用x与y的总体标 准差 、 ，总体协方差COV(x,y)或 表 示如下： （10-4） x y xy x y xy x y COV x y = = ( , )
均积与均方具有相似的形式,也有相似的 性质。在方差分析中,一个变量的总平方和与 自由度可按变异来源进行剖分,从而求得相应 的均方。统计学已证明:两个变量的总乘积和 与自由度也可按变异来源进行剖分而获得相应 的均积。这种把两个变量的总乘积和与自由度 按变异来源进行剖分并获得获得相应均积的方 法亦称为协方差分析。 张下一张主页退出
均积与均方具有相似的形式 ， 也有相似的 性质。在方差分析中，一个变量的总平方和与 自由度可按变异来源进行剖分，从而求得相应 的均方。统计学已证明：两个变量的总乘积和 与自由度也可按变异来源进行剖分而获得相应 的均积。这种把两个变量的总乘积和与自由度 按变异来源进行剖分并获得获得相应均积的方 法亦称为协方差分析。 上一张 下一张 主 页 退 出