Chapter 3 Arbitrage Pricing Theory-Il 1
Chapter 3 Arbitrage Pricing Theory-II 1
3.2套利和资产定价 ·3.2.1一般市场结构 复合证券(Composite Securities):大多数交易证券的市场结构都 比AD证券要复杂；令n=1,.,N表示交易的复合证券，Xn= X,n=飞1，ni.;xa,ni;Xn,n 表示第n个证券的支付，则可以构造 支付矩阵： u X.n X.N X= 七al Xo.n Xo.N X2. Xo.n . Xo.N
3.2 套利和资产定价 • 3.2.1 一般市场结构 复合证券（Composite Securities）:大多数交易证券的市场结构都 比AD证券要复杂；令𝑛 = 1, ⋯ , 𝑁表示交易的复合证券，𝑋𝑛 = 𝑋⋅,𝑛 = ቂ𝑥1 ቃ ,𝑛; ⋯ ; 𝑥𝜔,𝑛; ⋯ ; 𝑥Ω,𝑛 表示第n个证券的支付，则可以构造 支付矩阵：
冗余证券(Redundant Securities) ·给定市场上的交易证券集合，它们的支付可能是相关联的。比如，可能存在一只证券j,它 的支付可以表示成其他证券支付的线性组合。在这种情况下，支付矩阵X不是满秩的。令 X,为别除证券后的支付矩阵， XV=X1,.,X-1,X+1,xw ·这里xn是证券n的支付向量。令日为所有W只证券组成的组合，而日，是别除j后的N一 1只证券的组合。我们已经假设x,是其他证券的线性组合，因此，存在日 ,使得 x=X8=X8,+8x=X8,+8,X8=X(8,+8,8)
冗余证券（Redundant Securities） • 给定市场上的交易证券集合，它们的支付可能是相关联的。比如，可能存在一只证券𝑗，它 的支付可以表示成其他证券支付的线性组合。在这种情况下，支付矩阵X不是满秩的。令 𝑋∖𝑗为剔除证券j后的支付矩阵， 𝑋∖𝑗 = 𝑋1,⋯ ,𝑋𝑗−1,𝑋𝑗+1,⋯ , 𝑥𝑁 • 这里𝑥𝑛是证券n的支付向量。令𝜃为所有𝑁只证券组成的组合，而𝜃∖𝑗 ，是剔除𝑗后的𝑁 − 1只证券的组合。我们已经假设𝑥𝑗 ,是其他证券的线性组合，因此，存在𝜃\𝑗 ∗ ，使得
冗余证券(Redundant Securities) ·其中，0：是第j只证券的数量。括号里面的是删除j后的N-1只证券 生成的组合，没有证券我们也可以生成相同的支付，所以证券 称为冗余证券。 习题2：假设x=[091 证明第三个证券是冗余证券；
冗余证券（Redundant Securities） • 其中，𝜃𝑗是第j只证券的数量。括号里面的是删除j后的N-1只证券 生成的组合，没有证券j我们也可以生成相同的支付，所以证券j 称为冗余证券。 习题2：假设 证明第三个证券是冗余证券； 1 01 , 0 11 X =
证券市场的不同描述方式 忽略市场摩擦，对市场结构X的描述中可以只包括具有线性独立 ● 支付的证券，这意味着X当中的证券数目不会超过D。因为X是满 秩的（它的N列是独立的），它的秩必须满足：rank(X)= min{N,2}=N。 ·思考：如果N≠2，证券市场是什么样的？
证券市场的不同描述方式 • 忽略市场摩擦，对市场结构X的描述中可以只包括具有线性独立 支付的证券，这意味着X当中的证券数目不会超过Ω。因为X是满 秩的(它的N列是独立的)，它的秩必须满足：𝑟𝑎𝑛𝑘 𝑋 = min 𝑁, Ω = 𝑁。 • 思考：如果𝑁 ≠ Ω，证券市场是什么样的？
证券市场的不同描述方式 ·给定具有线性独立支付矩阵X的证券集合，我们可以形成N个线性 独立的组合，记为01，.，0，.，0w。此时我们可以把每个组合当 作一个证券，它们的支付矩阵是 X.8 Xg三 Xo.6 Xo.0o Xo.0N =X[e,.,0n,.,0w]=XH Xo.a Xo.0 Xo.ON 其中，Xg的第n列是组合On的支付向量。Xe是满秩的
证券市场的不同描述方式 • 给定具有线性独立支付矩阵X的证券集合，我们可以形成N个线性 独立的组合，记为𝜃1 , ⋯ , 𝜃𝑛, ⋯ , 𝜃𝑁。此时我们可以把每个组合当 作一个证券，它们的支付矩阵是 其中，𝑋𝜃的第n列是组合𝜃𝑛的支付向量。𝑋𝜃是满秩的
·证明：令H三[日1，.，0N,则H为(N×N)矩阵。因为各组合（即H的列向量）之 间是独立的，H满秩。由于rank(AB)≤min{rank(A),rank(B),rank(X)= rank(XHH-1)≤min{rank(XH),rank(H-1)}≤rank(XH)≤rank(X),于 是rank(XH)=rank(X)=WN。因而Xe也是满秩的。 ·用这些组合作为基本单元，可以生成这些组合的组合。特别的，我们可以用 这些组合来复制原始证券： X=XoH- ·H-1的第n列，记作H,给出了由组合0，.，0N生成的一个组合，也就是X= XgH-1的第n列，这与开始的第n只证券的支付相同。也就是说，O,.,0v的 组合H复制了原始市场结构中的第只证券。原始证券的任意组合0，都可 以由01，.，0N的组合H-10复制：
• 证明：令𝐻 ≡ ൣ𝜃 ൧ 1 , ⋯ , 𝜃𝑁 ,则H为(𝑁 × 𝑁)矩阵。因为各组合(即H的列向量)之 间是独立的，H满秩。由于𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴𝐵) ≤ min{𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴), 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐵)}, 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑋) = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑋𝐻𝐻 −1 ) ≤ min{𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑋𝐻), 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐻 −1 )} ≤ 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑋𝐻) ≤ 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑋)，于 是𝑟𝑎𝑛𝑘 𝑋𝐻 = 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝑋 = 𝑁。因而𝑋𝜃也是满秩的。 • 用这些组合作为基本单元，可以生成这些组合的组合。特别的，我们可以用 这些组合来复制原始证券： • 𝐻 −1的第n列，记作𝐻⋅,𝑛 −1 ,给出了由组合𝜃1 , ⋯ , 𝜃𝑁生成的一个组合，也就是𝑋 = 𝑋𝜃𝐻 −1的第n列，这与开始的第n只证券的支付相同。也就是说， 𝜃1 , ⋯ , 𝜃𝑁的 组合𝐻⋅,𝑛 −1复制了原始市场结构中的第n只证券。原始证券的任意组合𝜃，都可 以由𝜃1 , ⋯ , 𝜃𝑁的组合𝐻 −1 𝜃复制： 1 X X H − =
证券市场的不同描述方式 X0=XHH-0=X(H-0) ·因此，如果不存在摩擦， 独立组合01，.，0n,.,0w提供了市场结 构的一个等价描述。在以后的讨论中，我们有时会选择等价描述 中较为便利的一个
证券市场的不同描述方式 • 因此，如果不存在摩擦，独立组合𝜃1 , ⋯ , 𝜃𝑛, ⋯ , 𝜃𝑁提供了市场结 构的一个等价描述。在以后的讨论中，我们有时会选择等价描述 中较为便利的一个。 ( ) 1 1 X XHH X H − − = =
生成Span ·我们考虑rank(X)=N=2的特殊情形，此时X是一个秩为2的可 逆方阵。因此我们可以用复合证券复制所有的A-D证券。 定义1w为2×1的列向量，其第w个元素为1、其他元素均为0。为 了构造状态W或有证券的支付，我们有 X0。=1。 当X是可逆时，我们只需选择 0。=X-1。→0=X-I=X-1
生成 Span • 我们考虑𝑟𝑎𝑛𝑘 𝑋 = 𝑁 = Ω的特殊情形，此时X是一个秩为Ω的可 逆方阵。因此我们可以用复合证券复制所有的A-D证券。 定义1𝑤为Ω × 1的列向量，其第𝑤个元素为1、其他元素均为0。为 了构造状态 w 或有证券的支付，我们有 当X是可逆时，我们只需选择 X 1 = 1 1 1 X X I X 1 − − − = = =
·也就是说，组合Ow,在状态w时支付为1，其他状态不支付。因此，0w 正是state w contingent claim。给定X,Ow是唯一的。因此，在满秩的金 融市场结构和A-D经济之间有了一一对应。B的第w列对应着状态w的 A-D证券。 思考：请举个栗子来理解上面这段话
• 也就是说，组合𝜃𝑤,在状态w时支付为1，其他状态不支付。因此， 𝜃𝑤 正是state w contingent claim。给定X, 𝜃𝑤是唯一的。因此，在满秩的金 融市场结构和A-D经济之间有了一一对应。𝜃的第w列对应着状态w的 A-D证券。 思考：请举个栗子来理解上面这段话