无套利定价 期权定价 第二部分：美式期权定价 1
无套利定价 期权定价 第二部分：美式期权定价 1
重点提要 1.美式期权的价值大于对应的欧式期权； 2.无红利的美式看涨期权不会提前执行，有红利的欧式看涨期权 有可能提前执行，深度实值看跌期权可能提前执行； 3.美式期权平价公式及其证明。 2
重点提要 1. 美式期权的价值大于对应的欧式期权； 2. 无红利的美式看涨期权不会提前执行，有红利的欧式看涨期权 有可能提前执行，深度实值看跌期权可能提前执行； 3. 美式期权平价公式及其证明。 2
C(S,k)=(S.k)+arly erercise premium 美式期权价值与欧式期权价值 P(S.K)S,K)arlyeercis prmum ·美式期权允许投资者在到期日之前提前行权(early exercise), 如果提前行权，则获得内部价值S一K; ·对于美式期权来说，early exercise只是权利而非义务； ·如果持有美式期权至到期日，则它的支付与相应的欧式期权完全 一样。 ·因为期权持有者有权利提前执行，而他只有在更优时才提前执行， 所以美式期权的价格永远不会低于相应的欧式期权。这就是说， C(S,K)≥c(S,K),P(S,K)≥p(S,K) 3
美式期权价值与欧式期权价值 • 美式期权允许投资者在到期日之前提前行权（early exercise）， 如果提前行权，则获得内部价值𝑆 − 𝐾； • 对于美式期权来说，early exercise 只是权利而非义务; • 如果持有美式期权至到期日， 则它的支付与相应的欧式期权完全 一样。 • 因为期权持有者有权利提前执行，而他只有在 更优时才提前执行， 所以美式期权的价格永远不会低于相应的欧式期权。这就是说， 3
美式期权什么时候执行最优 影响提前执行的一个重要因素是标的证券支付的股利。我们考虑 两种情况，无红利，和有红利。 ·判断美式期权是否提前执行，即判断提前执行的价值和持有到期 的价值哪个大，数学语言 IfS-K>c(S,),则立即执行 IfS-K<c(S,KW,则持有到期 IfS-K=c(S,K),解此非线性方程，得到的S*即最有执行边界；
美式期权什么时候执行最优 • 影响提前执行的一个重要因素是标的证券支付的股利。我们考虑 两种情况，无红利，和有红利。 • 判断美式期权是否提前执行，即判断提前执行的价值和持有到期 的价值哪个大，数学语言 If S-K > c(S,K)，则立即执行； If S-K < c(S,K), 则持有到期； If S-K = c(S,K)，解此非线性方程，得到的𝑆 ∗即最有执行边界； 4
无红利支付美式期权的最优执行策略 A.No Dividends 看涨期权：没有红利，看涨期权不会提前执行。 原因：对于美式期权，我们可以证明没有红利，立即执行的价值小 于持有到期的价值；即S-K≤c(S,K): 2 3 Proof: K S-K≤S- -≤maxf0,S- K ]≤c(S,K) 1+ 1+r 思考：这三个不等式分别是怎么推导出来的？
无红利支付美式期权的最优执行策略 A. No Dividends 看涨期权：没有红利，看涨期权不会提前执行。 原因：对于美式期权，我们可以证明没有红利，立即执行的价值小 于持有到期的价值；即𝑆 − 𝐾 ≤ 𝑐 𝑆,𝐾 ; Proof: 1 2 3 思考：这三个不等式分别是怎么推导出来的？ 5
·这就是说，提前执行美式看涨期权所得到的价值不会高于把它当 作欧式看涨期权卖出所得的价值。由于不等式在某些状态下总是 成立的，因此提前执行是次优的氵 ·无红利看涨期权提前执行的成本有两个： 1)执行价的时间价值（如果提前执行，你会立即支付K,即牺牲K的 时间价值)； 2)选择不执行的权利。 因此，无红利的美式期权提前执行不是最优的，我们认为无红利支 付的美式期权的价值等于对应欧式期权的价值，即 C(S,K=c(S,K) 6
• 这就是说，提前执行美式看涨期权所得到的价值不会高于把它当 作欧式看涨期权卖 出所得的价值。由于不等式在某些状态下总是 成立的，因此提前执行是次优的； • 无红利看涨期权提前执行的成本有两个： 1）执行价的时间价值（如果提前执行，你会立即支付K,即牺牲K的 时间价值）； 2）选择不执行的权利。 因此，无红利的美式期权提前执行不是最优的，我们认为无红利支 付的美式期权的价值等于对应欧式期权的价值，即 𝐶 𝑆,𝐾 = 𝑐 𝑆,𝐾 6
看跌期权：无红利时，看跌期权可能会提前执行；只有深度实值的 看跌期权才会选择提前行权。 对于看跌期权来说，提前行权的收益是获得K,而提前执行的成本 是选择提前执行的权力。注意 P(5.K)-max[k-S.p(S.K)l-mwxlK-S.+ K-S+c(S,K)】 1 2 思考：上面的两个等式是如何推导的？ 如果K-S> K一S+c(S,K),提前执行是最优的；换句话说 1+rp 当且仅当Rc(S,K)时，我们会选择提前执行；这个条件当且 1+TE 仅肖K>>S时成立，E 即$很小时，看跌期权处于深度实值的状态，我 们会选择提前执行
看跌期权：无红利时，看跌期权可能会提前执行；只有深度实值的 看跌期权才会选择提前行权。 对于看跌期权来说，提前行权的收益是获得K，而提前执行的成本 是选择提前执行的权力。注意： 思考：上面的两个等式是如何推导的？ 如果𝐾 − 𝑆 > 𝐾 1+𝑟𝐹 − 𝑆 + 𝑐 𝑆,𝐾 ，提前执行是最优的；换句话说， 当且仅当 𝑟𝐹 1+𝑟𝐹 𝐾 > 𝑐 𝑆,𝐾 时，我们会选择提前执行；这个条件当且 仅当K>>S时成立，即S很小时，看跌期权处于深度实值的状态，我 们会选择提前执行。 1 2 7
有红利支付美式期权的最优执行策略 B With Dividends 结论：支付红利的美式期权有可能提前执行，有可能不提前执行； 假设股票在t=0支付红利D。S表示支付红利前的股票价值。持有以 这个股票为标的的美式看涨期权的投资者面临以下两个选择： 1)立即执行期权：这个选择是投资者立即获得K,并且还会获得红 利D,以即之后卖出股票的股票价值S, 2)持有期权并在t=1时行权，此时美式期权等同于欧式期权。 支付红利的美式看涨期权当且仅当 C(S,D,K)=max S+D-K,c(S,K)>c(S,K) 会选择提前执行。 8
有红利支付美式期权的最优执行策略 B With Dividends 结论：支付红利的美式期权有可能提前执行，有可能不提前执行； 假设股票在t=0支付红利D。S表示支付红利前的股票价值。持有以 这个股票为标的的美式看涨期权的投资者面临以下两个选择： 1）立即执行期权：这个选择是投资者立即获得K, 并且还会获得红 利D，以即之后卖出股票的股票价值S; 2) 持有期权并在t=1时行权，此时美式期权等同于欧式期权。 支付红利的美式看涨期权当且仅当 𝐶 𝑆, 𝐷,𝐾 = max 𝑆 + 𝐷 − 𝐾, 𝑐 𝑆,𝐾 ≥ 𝑐 𝑆,𝐾 会选择提前执行。 8
同理，对于美式看跌期权，我们有 P(S,D,K)=max K-S-D,p(S,K)>p(S,K) 对于美式看涨期权，红利支付诱导提前执行，而对于美式看跌期权，红 利支付会推迟提前执行。 9
同理，对于美式看跌期权，我们有 𝑃 𝑆,𝐷,𝐾 = max 𝐾 − 𝑆 − 𝐷, 𝑝 𝑆,𝐾 ≥ 𝑝 𝑆,𝐾 对于美式看涨期权，红利支付诱导提前执行，而对于美式看跌期权，红 利支付会推迟提前执行。 9
推荐阅读 1.必读：王江，金融经济学，5.3小节； 2. 学有余力选读：Merton和Stol关于美式期权的平价关系在金融学顶 刊]ournal of Finance争论（吵架）系列文章 [1]Stoll,H.R.(1969).The relationship between put and call option prices.Journal of Finance,24(5),183-184. [2]Merton,R.C.(1973).The relationship between put and call option prices: comment.The Journal of Finance,28(1). [3]Stoll,H.R.the relationship between put and call option prices:reply, American finance association. 推荐理由：了解期权早期市场的一个发展（看看领域大牛都是如何在领 域顶刊上面文明地吵架~) 10
推荐阅读 1. 必读：王江，金融经济学，5.3小节； 2. 学有余力选读：Merton和Stoll关于美式期权的平价关系在金融学顶 刊Journal of Finance争论（吵架）系列文章： [1] Stoll, H. R. . (1969). The relationship between put and call option prices. Journal of Finance, 24(5), 183-184. [2]Merton, R. C. . (1973). The relationship between put and call option prices: comment. The Journal of Finance, 28(1). [3] Stoll, H. R. . the relationship between put and call option prices: reply, American finance association . 推荐理由：了解期权早期市场的一个发展（看看领域大牛都是如何在领 域顶刊上面文明地吵架~） 10