Chapter 3 Arbitrage Pricing Theory-Il
Chapter 3 Arbitrage Pricing Theory-II 1
Section 3 套利(Arbitrage)
Section 3 套利（Arbitrage）
套利的定义 记交易证券的价格向量为S=S1;.;SN,支付矩阵为X。从X到S的 映射称作资产定价关系(asset pricing relation or asset pricing model). 考虑一个交易证券的组合，日=[日1；.；0w]。它在0期的价值为 S0,在1期的支付向量为X0。 定义套利机会存在当且仅当存在一个投资组合0=[01；；0w]: 1)ST0≤0 2)X0≥0 3)上述不等式至少有一个是严格成立的
套利的定义 记交易证券的价格向量为𝑆 = ൣ𝑆1 ; ⋯ ; 𝑆𝑁൧,支付矩阵为𝑋。从𝑋到𝑆的 映射称作资产定价关系(asset pricing relation or asset pricing model). 考虑一个交易证券的组合，𝜃 = ൣ𝜃1 ; ⋯ ; 𝜃𝑁൧。它在0期的价值为 𝑺 𝑻𝜽,在1期的支付向量为𝑿 𝜽。 定义 套利机会存在当且仅当存在一个投资组合𝜃 = ൣ𝜃1 ; ⋯ ; 𝜃𝑁൧： 1）𝑆 𝑇𝜃 ≤ 0 2）𝑋 𝜃 ≥ 0 3）上述不等式至少有一个是严格成立的
套利的类型 ·第1类套利：ST00,初始投资为0的组合叫做arbitrage portfolio ·第川类套利：ST00, 套利不依赖于任何私有信息。特别地，套利依赖于证券在每一个状 态下的支付，但不依赖于每一状态发生的可能性。私有信息一般是 相对于后者。若存在套利机会，所有人都可以利用这些套利机会
套利的类型 • 第I类套利：𝑆 𝑇𝜃 0, 初始投资为0的组合叫做arbitrage portfolio • 第III类套利： 𝑆 𝑇𝜃 0, 套利不依赖于任何私有信息。特别地，套利依赖于证券在每一个状 态下的支付，但不依赖于每一状态发生的可能性。私有信息一般是 相对于后者。若存在套利机会，所有人都可以利用这些套利机会
Principle of No-Arbitrage ·给定支付矩阵，证券价格不能是任意的，否则就可能存在套利机 会。 定理：在市场均衡中不存在套利机会。 证明：我们用反证法来证明这个结论。令{c,k=1,.,K为均衡配置，S为交易证券的 均衡价格，X为支付矩阵。假设市场中存在着套利机会日。让我们来考虑一个参与者k 的套利交易。这不需要额外的资源却可将他的消费提高为c+[-S0:X]>c。由不满 足公理，c+[-S0:X]>c。因此，对于参与者k来说，不是最优的。这与均衡条件 矛盾。QED
• 给定支付矩阵，证券价格不能是任意的，否则就可能存在套利机 会。 定理: 在市场均衡中不存在套利机会。 Principle of No-Arbitrage
Principle of No-Arbitrage 无套利原理：证券市场中不存在套利机会。作为证券价格和支付 的基本性质，无套利原理对证券价格和支付之间的关系或资产定 价关系作出了限制。 ·课堂习题： 假设市场上有3只证券，A、B和C: A:1E B:1 022 C:2 20 0
Principle of No-Arbitrage • 无套利原理：证券市场中不存在套利机会。作为证券价格和支付 的基本性质，无套利原理对证券价格和支付之间的关系或资产定 价关系作出了限制。 • 课堂习题： 假设市场上有3只证券，A、B和C:
Principle of No-Arbitrage ·则支付矩阵如下： 102 X- 1 2 0 2 0 考虑以下两个组合： 1)01=[2；-1;-1] 2)02=[2;0;-1] 以上的两个组合分别属于第几类套利？如果市场是有效的，套利机会是 如何消失的？
Principle of No-Arbitrage • 则支付矩阵如下： ·考虑以下两个组合： 1) 𝜃1 = 2; −1; −1 2) 𝜃2 = 2; 0; −1 以上的两个组合分别属于第几类套利？如果市场是有效的，套利机会是 如何消失的？
作业 1.银行1的存贷利率为1而银行2的为r2,且1>r2。证明存在套利机会。 2.银行i的贷款利率为ria(即顾客借钱的利率)而存款利率为rib,i=1,2. (a)证明无套利要求ria≥rib: (b)两个银行的存贷利率应该满足什么样的条件才能使市场上不存在套利 机会。 3.考虑上一次中定义的市场。假设5只交易证券的价格分别为1,2,3/2,1,1/2. (a)在这样的价格和支付下存在套利机会吗？ (b)你能构建第1、2以及3类套利机会吗？
作业 1.银行1的存贷利率为r1而银行2的为r2,且r1>r2。证明存在套利机会。 2. 银行i的贷款利率为𝑟𝑖𝑎（即顾客借钱的利率）而存款利率为𝑟𝑖𝑏, 𝑖 = 1,2. (a)证明无套利要求𝑟𝑖𝑎 ≥ 𝑟𝑖𝑏. (b)两个银行的存贷利率应该满足什么样的条件才能使市场上不存在套利 机会。 3.考虑上一次中定义的市场。假设5只交易证券的价格分别为1,2,3/2,1,1/2. (a)在这样的价格和支付下存在套利机会吗？ (b)你能构建第1、2以及3类套利机会吗？
推荐阅读 ·王江《金融经济学》4.2,4.3节
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