Arbitrage Pricing Theory Risk-Neutral Pricing and Martingale 1
Arbitrage Pricing Theory Risk-Neutral Pricing and Martingale 1
风险中性定价和鞅 ·假设市场上交易的证券中，有一只是无风险债券，它在1期的支 付确定为1。令它的支付向量为X1=[1;；1]=l,价格为St,这 里定义为元素全为1的列向量。由资产定价基本原理，存在一个 严格为正的状态价格向量中可对所有交易证券定价，包括无风险 证券。因此，对于无风险债券，有 s=rφ=∑ 定义1单位无风险证券投资获得的净支付或净收益率(net rate of return),也称作无风险利率，并记为。则 S(+)=10r=- S 2
风险中性定价和鞅 • 假设市场上交易的证券中，有一只是无风险债券，它在1期的支 付确定为1。令它的支付向量为𝑋1 = 1 ; ⋯ ; 1 = 𝑙，价格为𝑆𝑡 ,这 里定义为元素全为1的列向量。由资产定价基本原理，存在一个 严格为正的状态价格向量中可对所有交易证券定价，包括无风险 证券。因此，对于无风险债券，有 𝑆1 = 𝑙 𝑇𝜙 = 𝜔 𝜙𝜔 定义1单位无风险证券投资获得的净支付或净收益率(net rate of return),也称作无风险利率，并记为。则 ( ) 1 1 1 1 1 1 or F F S S r r S− + = = 2
利率也叫做货币的时间价值(time value of money) 因为它反映 了以今天的1单位资源交换未来确定的资源时市场提供的回报。由 定价关系有 1+r ∑4。 把债券的定价公式重新写成 S= 1=∑。 1+re 以此形式把债券的价格表达成其支付的线性函数的方法叫贴现 (discounting)。也就是说，债券的价格就是它未来支付的折现。这 个线性函数的系数，即+ 也称为折现因子，Tε被称为折现率。 3
利率也叫做货币的时间价值（time value of money），因为它反映 了以今天的1单位资源交换未来确定的资源时市场提供的回报。由 定价关系有 把债券的定价公式重新写成 以此形式把债券的价格表达成其支付的线性函数的方法叫贴现 (discounting)。也就是说，债券的价格就是它未来支付的折现。这 个线性函数的系数，即 1 1+𝑟𝐹 也称为折现因子，𝑟𝐹被称为折现率。 1 1 Fr = + 1 1 1 F S r = = + 3
·对于市场上的其他证券，如支付为xn=Xn=xm;xnn的 证券n,由定价公式S=(中TX)T=XT中可得 Sn=xp=∑p。Xa 其中，n=2,.,N。定义 9。=功。1∑中 显然，qw,>0,∑wqaw=1。因此，Q三{qw,ωE2}可以被解释为2 上的概率测度。因此，我们可以把定价方程重新写为 8=6-2%X-9.2X.=s2a.X=1+[] 4
• 对于市场上的其他证券，如支付为𝑥𝑛 = 𝑋∙,𝑛 = ቂ𝑥1 ቃ ,𝑛; ⋯ ; 𝑥Ω,𝑛 的 证券n，由定价公式𝑆 = ሺ𝜙 ሻ 𝑇𝑋 𝑇 = 𝑋 𝑇𝜙可得 其中，𝑛 = 2, ⋯ , 𝑁。定义 显然，𝑞𝑤 > 0, σ𝜔 𝑞𝜔 = 1。因此，𝑄 ≡ {𝑞𝜔, 𝜔 ∈ Ω}可以被解释为Ω 上的概率测度。因此，我们可以把定价方程重新写为 , T n n n S x X = = q / = , , 1 , 1 1 T Q n n n n n n F S X X q X S q X E X r = = = = = + 4
·这里，我们把证券n的支付当成一个随机变量并记作xn,而E[] 则表示在概率测度Q下取期望值。上式的含义：证券价格就是它 在概率测度Q下的期望支付对无风险利率的折现，称之为sk- neutral pricing公式，Q被称为risk-neutral measure。 ·因为S1=中且=1，资产定价公式可以写成 S,/S,=Ee[ 注意S1和Sn是证券1和n以现在的消费品作为计量单位的价格。而两 者之比”则是证券n以证券1为计量单位的价格。也就是说，如果我 们使用1单位的证券1作为价格的计算单位，那么证券n的0期价格 就变成。而它在1期的价格则是 xn/x1=n 5
• 这里，我们把证券n的支付当成一个随机变量并记作x𝑛，而𝐸 𝑄 ⋅ 则表示在概率测度Q下取期望值。上式的含义：证券价格就是它 在概率测度Q下的期望支付对无风险利率的折现，称之为 riskneutral pricing 公式，Q被称为 risk-neutral measure。 • 因为S1 = 1 1+𝑟𝐹 且x1 = 1, 资产定价公式可以写成 注意𝑆1和𝑆𝑛是证券1和n以现在的消费品作为计量单位的价格。而两 者之比𝑆𝑛 𝑆1 则是证券n以证券1为计量单位的价格。也就是说，如果我 们使用1单位的证券1作为价格的计算单位，那么证券n的0期价格 就变成𝑆𝑛 𝑆1 。而它在1期的价格则是 / / 1 1 Q n n S S E x x = 1 / n n x x x = 5
般说来， 我们记Sm,t三Snt/S1,t为以无风险债券为单位的、证券n 在t期的价格（支付)，这里t=0,1。那么，我们有 Snt =E [Snt+1] 其中，t=0。如果把不同日期的价格写成一个序列，我们可以把它 看作是一个随机过程。 定义如果一个随机过程，21,22，.现在的值恒等于对于其未来值的 条件期望：2t=Et[2t+1],我们称之为鞅。 因此，（4.10)式所表述的是：以债券价格为计量单位，证券价格 在风险中性测度Q下是鞅。Q也称作equivalent martingale measure。 “等价”是说Q与真实的概率测度P等价。给定两个概率测度 如果它们有相同的0概率集，也就是说Pw=0当且仅当qw=0则称 这两个概率是等价的。 6
一般说来，我们记𝑆ƿ 𝑛,𝑡 ≡ 𝑆𝑛,𝑡/𝑆1,𝑡为以无风险债券为单位的、证券n 在t期的价格（支付），这里t=0,1。那么，我们有 𝑆ሚ 𝑛,𝑡 = 𝐸 𝑄 𝑆ሚ 𝑛,𝑡+1 其中，t=0。如果把不同日期的价格写成一个序列，我们可以把它 看作是一个随机过程。 定义如果一个随机过程， 𝒛𝟏, 𝒛𝟐, ⋯现在的值恒等于对于其未来值的 条件期望： 𝒛𝒕 = 𝑬𝒕 ൣ𝒛 ൧ 𝒕+𝟏 ，我们称之为鞅。 因此，（4.10）式所表述的是：以债券价格为计量单位，证券价格 在风险中性测度Q 下是鞅。Q也称作equivalent martingale measure。 “等价”是说 Q 与真实的概率测度 P 等价。给定两个概率测度， 如果它们有相同的0概率集，也就是说 𝑝𝑤 = 0当且仅当𝑞𝑤 = 0则称 这两个概率是等价的。 6
课堂练习 证明Brownian motion is a martingale. Definition 3.3.1.Let (F,P)be a probability space.For each wE sup- pose there is a continuous function W(t)of t >0 that satisfies W(0)=0 and that depends on w.Then W(t),t>0,is a Brownian motion if for all 0=to <t1<.<tm the increments W(t1)=W(t1)-W(to),W(t2)-W(t1),.,W(tm)-W(tm-1) (3.3.1) are independent and each of these increments is normally distributed with E[W(t+1）-W(t)】]=0, (3.3.2) Var[W(ti+i）)-W(ti)】=ti+1-ti. (3.3.3) 7
课堂练习 证明Brownian motion is a martingale. 7
作业习题 1.(计算题)经济在1期有4个可能状态。在市场中有5只可交易证券，它们的支付矩阵 X如下：日 1100 0 X= 210 4327 3210 1)证明市场是完备的。日 2)假设证券的价格分别是1,2.5,1.5,0.75,025]，证明状态价格向量存在且唯-。 并给出它的值。 3)证明市场上存在冗余证券。 4)选择一组足以保证市场完全的复合证券。把每一只Arrow-Debreu证券都表示成这些证 券的组合。称这些组合为状态或有组合。 假设证券1.23.5的价格是[0.8,2,12,0.2]， 5)计算利率 6)构建等价鞅测度 7)证明5只证券价格具有熟性质 8
作业习题 8
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