李洁《数字信号处理》2005③ 数字信号处理 Digital Signal or ocessing 第二章时域离散信号和系统的频域分析 主讲教师:李洁 J形影 ■请问:对一个L离散系统施加一个单位幅度的复 正弦输入x(n)=e~那么,系统的输出是什么? y(n)=∑m)x(n-m)=∑加m)em e^"∑hm)e 序列的傅里叶变换在o0处的取值 o. H(e/o) =H(eoo) -e/(e/+arg( H (e/o); 系统的特征信号对LTI系统的分析十分重要。 x(n)= ∑aen-i-y)-san)x LTI(Linear Time- t1vartant)系统 李洁一《数字信号处理》一 微信和系的颜分析2/76 Digital Signal Processing _Jie Li 2005
李洁《数字信号处理》2005® Digital Signal Processing__Jie Li 2005® 1 数字信号处理 第二章 时域离散信号和系统的频域分析 Digital Signal Processing 主讲教师：李洁 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第二章 时域离散信号和系统的频域分析 2 / 76 请问：对一个LTI离散系统施加一个单位幅度的复 正弦输入 那么，系统的输出是什么？ 系统的特征信号对LTI系统的分析十分重要。 j n x n e 0 ( ) ω = ∑ ∞ =−∞ = − m y(n) h(m)x(n m) ∑ ∞ =−∞ − = m j n m h m e ( ) 0 ( ) ω ∑ ∞ =−∞ − = m j n j m e h m e 0 0 ( ) ω ω ( ) ω0 ω0 j n j = e ⋅ H e ( arg{ ( )}) 0 0 0 ( ) ω ω ω j j j n H e H e e + = ⋅ ∑= = M k j n k k x n a e 1 ( ) ω j n M k j k k k y n a H e e ω ω ∑= = ⋅ 1 ( ) ( ) LTI(Linear Time-invariant)系统 T[•] 特征函数 序列的傅里叶变换在ω0处的取值
李洁《数字信号处理》2005③ §2.1引言~§2.2序列的 Fourier变换 s=+2 的定义和性质 . Fourier变换的定义 FT( Fourier Transform) x(e")=∑x(n 存在FT的条件:序列绝对可和∑|xn)k IFT ( Inverse Fourier Transform) x(n) X(e/)e/do 对 Fourier变换的理解 是信号在频域的表达,在时域中x()各点的值承载 信息,而在频域中则是由Xe承赣信息。其含义 是将信号表达为许多复正弦信号卿的加权平均和 ,权值为X(e 李洁一《数字信号处理 信系的颜分折3176 影x去 AANA FIGURE 6.1 Real and imaginary parts of the complex exponential e", where s=o+ yoa, 李洁一《数字信号处理 微信和系的颜分析476 Digital Signal Processing _Jie Li 2005
李洁《数字信号处理》2005® Digital Signal Processing__Jie Li 2005® 2 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第二章 时域离散信号和系统的频域分析 3 / 76 §2.2 序列的Fourier变换 的定义和性质 1. Fourier变换的定义 ∑ ∞ =−∞ − = n j j n X e x n e ω ω ( ) ( ) FT（Fourier Transform) 存在FT的条件：序列绝对可和 ∑ ∞ =−∞ < ∞ n | x(n)| ω π ω π π ω x n X e e d j j n ∫− = ( ) 2 1 ( ) IFT（Inverse Fourier Transform) §2.1 引言 s =σ + jΩ sT jω z = e = r⋅e 对Fourier变换的理解： 是信号在频域的表达，在时域中x(n)各点的值承载 信息，而在频域中则是由X(ejω)承载信息。其含义 是将信号表达为许多复正弦信号ejωn的加权平均和 ，权值为X(ejω)。 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第二章 时域离散信号和系统的频域分析 4 / 76
李洁《数字信号处理》2005③ 例2.2.1设x(m)=R3(n),求x(m)的FT R(n)相频特性 李洁一《数字信号处理 信系的颜分折5176 习题开讲 习题6 6,试求如下序列的傅里叶变换 (2)x2(n)=6(n+1)+6(n)+6(n-1) 解 (1)x1(e)=∑a(n-3)e-m=e- (2)xc")=∑()=2+1+ 1+2(e"+e")=1+cosa Digital Signal Processing _Jie Li 2005
李洁《数字信号处理》2005® Digital Signal Processing__Jie Li 2005® 3 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第二章 时域离散信号和系统的频域分析 5 / 76 例2.2.1 设 ，求 x(n) = RN (n) x(n)的FT。 ∑ ∑ − = − ∞ =−∞ − = = 1 0 ( ) ( ) N n j n n j n N j X e R n e e ω ω ω ( ) ( ) 1 1 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 ω ω ω ω ω ω ω ω j j j j N j N j N j j N e e e e e e e e − − − − − − − − = − − = sin( / 2) sin( / 2) ( 1) / 2 ω ω ωN e− j N− = ( ) R4 n ( ) R4 n 习题6 习题开讲
李洁《数字信号处理》2005③ 习题开讲 (3)x3(n)=a'a(m),0<a<1 (4)x4(n)=(n+3)-a(n-4) )x()---1-2 =∑+S 1-C-1--=°"-1- 者x,(m)=(n+3)一(n-4)=R2(n+3) F(n--}= x,(e”) R(n+3)e-=!= (e一c呼) MATLAB 2序列 Fourier变换的 MATLAB实现 function AX, max, angXI= Fourier Tran(n, x, definition) %计算高散序列的 Fourier变换,并画出幅频特性和相频特性图 %调用格式: X, magX, ang]= FourierTran(n, x) %其中 n)的序号向量 图像分辨率欧认值每周期600点) eijw)的模 x(ejw)的幅角 if nargin<3 definition= 600: lot(w/pi, max, r', 'Line Width, 2) abe频率(单位x);yabe"e' i jomega e('幅须特性) gX/pi, r, 'Line 率(单位x));yabe弧度/z) Digital Signal Processing _Jie Li 2005
李洁《数字信号处理》2005® Digital Signal Processing__Jie Li 2005® 4 习题开讲 MATLAB 2. 序列Fourier Fourier变换的MATLAB实现 function [X,magX,angX] = FourierTran(n,x,definition) % 计算离散序列的Fourier变换，并画出幅频特性和相频特性图 % 调用格式: % [X,magX,angX] = FourierTran(n,x) % 其中 % n ---- x(n)的序号向量 % x ---- 时域序列x(n) % definiton ---- 图像分辨率(默认值每周期600点) % X ---- x(n)的Fourier变换X(ejw) % magX ---- X(ejw)的模 % angX ---- X(ejw)的幅角 if nargin<3 definition = 600; end k = -definition:definition; w = (pi/definition)*k; X = x*(exp(-j).^(n'*w)); magX = abs(X); angX =angle(X); figure(1) subplot(211) plot(w/pi,magX,'r','LineWidth',2) xlabel('频率（单位π）'); ylabel('|X(e^{ j\omega})|') title('幅频特性') subplot(212) plot(w/pi,angX/pi,'r','LineWidth',2) xlabel('频率（单位π）'); ylabel('弧度/π') title('相频特性')
李洁《数字信号处理》2005③ 3.序列 Fourier变换的性质 I)周期性 序列的 fourier变换是频率ω的周期函数,周期为2π x(e")=∑x(nlm=∑x(nl =一 字率与模拟颜率的区别与联 1)ΩT,棋拟颜本的单位为rad/8,而数字频率的单位为rad,代表在一个采样 间隔T上正弦序列相位的变化量。 2)它们所代表的信号变化快慢有所不同。对棋拟氖率,Ω越大,桃拟正弦信号变化 地越快;而对字频本o,正弦序列对。的变化呈现2x周期性,当o=0时,变化 最慢,当π时,变化最快。所以将=0附近称为数字低颜,将=元附近称为 数字高颜。 李洁一《数字信号处理 信号和系的分折9176 影x去 表221序列傅里叶变换的性质 傅里叶变换 X(e") Y(e" ar(n)+by aX(e")+bY(e”),a、b为常数 线性 时移与频移 x"(n) Hz(n)*y(n) X(e")·Y(e") 时域卷积定理 李洁一《数字信号处理 微信号和系的颜分折10/706 Digital Signal Processing _Jie Li 2005 5
李洁《数字信号处理》2005® Digital Signal Processing__Jie Li 2005® 5 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第二章 时域离散信号和系统的频域分析 9 / 76 3. 序列Fourier变换的性质 Ⅰ）周期性 序列的Fourier变换是频率ω的周期函数，周期为2π。 ( ) 6 R n ( ) 5 R n ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) j( 2 M ) n j M n n j j n X e x n e x n e X e ω ω ω π ω+ π ∞ =−∞ − + ∞ =−∞ − = ∑ = ∑ = 数字频率与模拟频率的区别与联系： 1）ω=ΩT，模拟频率的单位为rad/s，而数字频率的单位为rad，代表在一个采样 间隔T上正弦序列相位的变化量。 2）它们所代表的信号变化快慢有所不同。对模拟频率，Ω越大，模拟正弦信号变化 地越快；而对数字频率ω，正弦序列对ω的变化呈现2π周期性，当ω=0时，变化 最慢，当ω= π时，变化最快。所以将ω=0附近称为数字低频，将ω= π附近称为 数字高频。 / 2 − Ωs Ωs / 2 0 0 0 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第二章 时域离散信号和系统的频域分析 10 / 76 ( ) 0 e x n jω n 线性 X (e j(ω−ω0 ) ) 时移与频移 时域卷积定理
李洁《数字信号处理》2005③ 垂1x去 序列 Fourier变换飘移性质 FTle/sonx(m}/=X(e例证 须率(单位m) 率(单也n)05 0≤n≤100 李洁一《数字信号处理 放分114 形影x去 序列 Fourier变换时域卷积定理FT|x(m)y(m/=(eYo例证 李洁一《数字信号处理 微信号和系的颜分折12/706 Digital Signal Processing _Jie Li 2005
李洁《数字信号处理》2005® Digital Signal Processing__Jie Li 2005® 6 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第二章 时域离散信号和系统的频域分析 11 / 76 ( ) ( ) / 4 y n e x n jπn = ) 2 ( ) cos( n x n π = 0 ≤ n ≤100 0 ≤ n ≤100 序列Fourier变换频移性质FT[ejω0nx(n)]=X(ej(ω-ω0))例证 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第二章 时域离散信号和系统的频域分析 12 / 76 序列Fourier变换时域卷积定理FT[x(n)*y(n)]=X(ejω)Y(ejω)例证
李洁《数字信号处理》2005③ 李洁一《数字信号处理 的方13176 影x去 表22.1序列傅里叶变换的性质 换 傅里叶变 2L广x)频域卷积定理 iDx(e")/da] 「的对称性 X(e") x,(n) Re[X(e")] i Im[X(e -)] ∴∵∵ x(n)|2 .ix(")1do Parseval定理 李洁一《数字信号处理 微信号和系的颜分折14/706 Digital Signal Processing _Jie Li 2005 7
李洁《数字信号处理》2005® Digital Signal Processing__Jie Li 2005® 7 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第二章 时域离散信号和系统的频域分析 13 / 76 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第二章 时域离散信号和系统的频域分析 14 / 76 频域卷积定理 FT的对称性 Parseval定理
李洁《数字信号处理》2005③ 习题开讲 习题1 1.设X(e)和Y(e)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换,试求下面序列的傅里叶变换 解(1) FTx(n-n)]=∑x(n-n)e 令n n1+n,则 FT[(n-no)]=2 x(n)e"(+=eX(e") FT'(m)]=∑x(n)e"=[∑x(n)e]=x(e") 习题开讲 2 )*y(n) FTLr(n)* y(n) ∑[Exm)y-m)y 2 y()e""2z(m)e X(e)Y(e Digital Signal Processing _Jie Li 2005
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李洁《数字信号处理》2005③ 1习题开讲 (5)x(n)·y(n) (6)nx(n) r(n)e"(w-vmdw/ 22 Y(e")X(ee-sdol 或者 (6)因为X(e")=∑x(n)e,对该式两边对a求导,得到 FTLnz(n)3-i dx(e") 习题开讲 (7)x(2n) (9)x2(n)=/2(n/2),n=偶数 FT[z(2n)] -品( ∑ e'x(n FTLx(2)1=2[xe+)+X(e+)] 利用(5)题结果,令x(n)=y(n),则 F-x(c),x(")=x)x()d (9) 令n=n/2,-∞≤n≤∞,则 FT[x(n)]=∑x(n)e--x(e2”) Digital Signal Processing _Jie Li 2005
李洁《数字信号处理》2005® Digital Signal Processing__Jie Li 2005® 9 习题开讲 习题开讲
李洁《数字信号处理》2005③ ■FT的对称性 I)定义 共轭对称x(n)=x2(-n)实部为偶函数,虚部为奇函数 共轭反对称x(m)=-x。(-n)实部为奇函数,虚部为偶函数 李洁一《数字信号处理 的19176 FT的对称性 Ⅱ)一般序列的共轭对称序列和共轭反对称序列 共轭对称x(n)=-[x(n)+x*(-n x(n=x(n)+x(n) 共轭反对称x(n)=;[x(n)-x(-n) 李洁一《数字信号处理 微信号和系的颜分析20/76 Digital Signal Processing _Jie Li 2005 10
李洁《数字信号处理》2005® Digital Signal Processing__Jie Li 2005® 10 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第二章 时域离散信号和系统的频域分析 19 / 76 FT的对称性 Ⅰ）定义 ( ) ( ) * x n x n 共轭对称 e = e − 共轭反对称 ( ) ( ) * xo n = −xo −n 实部为偶函数，虚部为奇函数 实部为奇函数，虚部为偶函数 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第二章 时域离散信号和系统的频域分析 20 / 76 FT的对称性 Ⅱ）一般序列的共轭对称序列和共轭反对称序列 [ ( ) *( )] 2 1 x (n) x n x n 共轭对称 e = + − 共轭反对称 [ ( ) *( )] 2 1 xo (n) = x n − x −n x(n) x (n) x (n) = e + o