李洁《数字信号处理》2005③ 数字信号处理 Digital Signal processing 第三章离散 Fourier变换 主讲教师:李洁 影x去 由于数字信号处理 器只能处理离散信 傅氏 号,所以我们需要继 1 续将离散时间序列进 行频域离散化(即就 是要找到依赖于离散 时间变量到依赖于离 散频率变量之间的一 种映射关系)一这就 是DFT的作用。 图1.5各种域和各种变换的关系 李洁一《数字信号处理 2151 Digital Signal Processing _ Jie Li 2005
李洁《数字信号处理》2005® Digital Signal Processing__Jie Li 2005® 1 数字信号处理 第三章 离散Fourier变换 Digital Signal Processing 主讲教师：李洁 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第三章 离散Fourier Fourier变换 2 / 51 由于数字信号处理 器只能处理离散信 号，所以我们需要继 续将离散时间序列进 行频域离散化（即就 是要找到依赖于离散 时间变量到依赖于离 散频率变量之间的一 种映射关系）—这就 是 DFT 的作用
李洁《数字信号处理》2005③ 李洁一《数字信号处理 3l51 影x去 四种傅里叶变换形式的归纳 时间函数 频率函数 连续和非周期 非周期和连续 连续和周期(T。) 非周期和离散(a2 离散(T)和非周期 周期 和连续 仅此变换对适合于在数字信号处理器上实现 结论 总之,一个域的离散就必然造成另 个域的周期延拓,而一个域的非周期与 另一个域的连续是相对应的 李洁一《数字信号处理 4151 Digital Signal Processing _ Jie Li 2005
李洁《数字信号处理》2005® Digital Signal Processing__Jie Li 2005® 2 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第三章 离散Fourier Fourier变换 3 / 51 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第三章 离散Fourier Fourier变换 4 / 51 总之，一个域的离散就必然造成另 一个域的周期延拓，而一个域的非周期与 另一个域的连续是相对应的。 仅此变换对适合于在数字信号处理器上实现 结论
李洁《数字信号处理》2005③ 垂1x去 §31离散 Fourier变换的定义 定义 X(k)=DFx(m=∑x(n)k=01…,N-1 x(n)=IDFTIX() (kWxn=0,1, 其中WA 注意 (1)x(n)是有限长序列,且长度为M。与 Fourier变换和z变换不同,n仅定义在 [0M-1]的整数区间上; (2)变换核为Wx 将时域序列x(n)变换为频域序列X(k); (3)序列x(n)经离散 Fourier变换后得到k定义在[0,N-1]上的频域序列X(k),其中 N称为变换区间长度,NM (4)离散 Fourier变换使得时域序列与频域序列之间建立关系,使信号在微处理 器上的频域分析成为可能; (5)x(n)的离散 Fourier变换的结果与变换区间长度有关 5|51 x(m=R4幅频特性 例3.11x(m)=Rm,求x(m)的8 点和16点D 解:设变换区间N=8 点2 X(k)=∑xmW k=0,1 51 Digital Signal Processing _ Jie Li 2005
李洁《数字信号处理》2005® Digital Signal Processing__Jie Li 2005® 3 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第三章 离散Fourier Fourier变换 5 / 51 1. 定义 ( ) [ ( )] ( ) 0,1, , 1 1 0 = =∑ = − − = X k DFT x n x n W k N N n kn N L ( ) 0,1, , 1 1 ( ) [ ( )] 1 0 = = ∑ = − − = − X k W n N N x n IDFT X k N k kn N L 其中 N j N W e 2π − = §3.1 离散Fourier Fourier变换的定义 （1）x(n)是有限长序列，且长度为M。与Fourier Fourier变换和z变换不同，n仅定义在 [0,M-1]的整数区间上； （2）变换核为 ，将时域序列x(n)变换为频域序列X(k)； （3）序列x(n)经离散Fourier Fourier变换后得到k定义在[0,N-1]上的频域序列X(k)，其中 N称为变换区间长度，N≥M； （4）离散Fourier Fourier变换使得时域序列与频域序列之间建立关系，使信号在微处理 器上的频域分析成为可能； （5）x(n)的离散Fourier Fourier变换的结果与变换区间长度有关。 N j N W e 2π − = 注意 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第三章 离散Fourier Fourier变换 6 / 51 例 3.1.1 x(n)=R4(n),求x(n)的8 点和16点DFT。 解：设变换区间N=8 ∑ ∑= − = = = 3 0 8 7 2 0 8 ( ) ( ) n j kn n kn X k x n W e π ( ) ( ) (1 ) 1 (1 ) 8 8 8 2 2 2 8 2 4 8 2 j k j k j k j k j k j k j k j k e e e e e e e e π π π π π π π π − − − − − − ⋅ − − = − ⋅ − = ) 8 sin( ) 2 sin( 8 3 k k e j k π π − π = k = 0 , 1 , ... , 7
李洁《数字信号处理》2005③ ATAB用 MATLAB实现DFT function (xk= dft(xn, N) o Computes Discrete Fourier Transform ye xk=dft(xn, N) %e Xk= DFT coeff. array over 0<=k<=N-I Z xn=N-point finite-duration sequence n=[0: 1: N-1 row vector for n [0: 1: N-1: row vecor for k WN=exp(-j"2*pi/N): %Wn factor nk=n*k; creates a n by N matrix of nk values WNnk=WN. nk: DFT matrix Xk=xn wNnk: row vector for DF coefficients 习题开讲 习题1(6) 0<m<N 解(6)X(k)=∑ 。+1S。一m+m Digital Signal Processing _ Jie Li 2005
李洁《数字信号处理》2005® Digital Signal Processing__Jie Li 2005® 4 MATLAB 用MATLAB实现DFT function [Xk] = dft(xn,N) % Computes Discrete Fourier Transform % ----------------------------------- ----------------------------------- % [Xk] = dft(xn,N) % Xk = DFT coeff. array over 0 <= k <= N-1 % xn = N-point finite-duration sequence % N = Length of DFT % n = [0:1:N-1]; % row vector for n k = [0:1:N-1]; % row 1]; % row vecor for k WN = exp( WN = exp(-j*2*pi/N); % j*2*pi/N); % Wn factor nk = n'*k; % creates a N by N matrix of = n'*k; % creates a N by N matrix of nk values WNnk = WN .^ = WN .^ nk; % DFT matrix Xk = xn * WNnk; % row vector for DFT coefficients ; % row vector for DFT coefficients 习题1（6） 解 习题开讲
李洁《数字信号处理》2005③ 2.DFT和z变换的关系 Y(=)=ZT[x(n)]=2r(n)z Rr-<=kR X(k)=DFx(m)=∑x(n)Wkk=0.1,…,N-1 X(k)=X()|学0≤k≤N-1 说明DFT是变换在单位园上等间隔采样N个点的结果 X(k)=X(e") 0≤k≤N-1 说明DFT是序列 Fourier变换在0,2区间上等 间隔采样N个点的结果。 51 影x去 例:R(m)的 Fourier变换与64点DFT 128点DFT j Im[= 李洁一《数字信号处理 10151 Digital Signal Processing _ Jie Li 2005
李洁《数字信号处理》2005® Digital Signal Processing__Jie Li 2005® 5 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第三章 离散Fourier Fourier变换 9 / 51 ( ) ( ) 0 1 2 = ≤ ≤ − = X k X z j N k k N z e π − + ∞ =−∞ − = = ∑ x < < x n n X (z) ZT[x(n)] x(n)z R | z | R ( ) [ ( )] ( ) 0,1, , 1 1 0 = = ∑ = − − = X k DFT x n x n W k N N n kn N L ( ) = ( ) 2 0 ≤ ≤ −1 = X k X e k N k N j π ω ω 说明DFT是z变换在单位园上等间隔采样N个点的结果 说明DFT是序列Fourier Fourier变换在[0，2π]区间上等 间隔采样N个点的结果。 2. DFT和z变换的关系 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第三章 离散Fourier Fourier变换 10 / 51 例：R8(n)的Fourier Fourier变换与64点DFT、 128点DFT
李洁《数字信号处理》2005③ 由此例我们可以看出,对同一个序列x(m): (1)DFT的变换区间不同,得到不同的X(k)。当n确 定后,X(k与x(m是一一对应的; (2)当N足够大时,X(k的包络可逼近e曲线; (3)X(4)表示=(2x/Nk频率点的幅度谱线。 请问k处对应的模拟频率应该是多少 对于模拟频率,N点DFT意味着频域采样间隔为 (1NT)Hz。所以用DrT进行谱分析时,称F=(1/NT) 为频率分辨率。而NT表示时域采样的区间长度(也称 为鳯察时间或记录时间,记为Tp=NT 李洁一《数字信号处理 11|51 形影x去 3.DFT的隐含周期性 )Wk=wk+mN.mN 均为整数 ∴D后的X/具周期性,周期为NX(k+mN)=X(k) ∴IDF后的x(0具周期性,周期为Nx(n+mN)=x(m) Ⅱ)概念 周期延拓序列 (n)=∑x(n+mN 记作 x(n=x((n) 主值序列 x(n)=x(m)R、(m) 李洁一《数字信号处理 e变类 12/51 Digital Signal Processing _ Jie Li 2005
李洁《数字信号处理》2005® Digital Signal Processing__Jie Li 2005® 6 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第三章 离散Fourier Fourier变换 11 / 51 由此例我们可以看出，对同一个序列x(n)： （1）DFT的变换区间不同，得到不同的X(k)。当n确 定后，X(k)与x(n)是一一对应的； （2）当N足够大时，|X(k)|的包络可逼近|X(ejω)|曲线； （3）|X(k)|表示 ωk = (2π / N)k 频率点的幅度谱线。 ? 请问k处对应的模拟频率应该是多少 对于模拟频率，N点DFT意味着频域采样间隔为 (1/NT)Hz (1/NT)Hz。所以用DFT进行谱分析时，称F= (1/NT) F= (1/NT) 为频率分辨率。而NT表示时域采样的区间长度(也称 为观察时间或记录时间，记为Tp=NT)。 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第三章 离散Fourier Fourier变换 12 / 51 均为整数 ∴DFT后的X(k)具周期性，周期为N X(k +mN) = X(k) ∴IDFT后的x(n)具周期性，周期为N x(n + mN) = x(n) ∑ ∞ =−∞ = + m x(n) x(n mN) ~ 周期延拓序列 主值序列 ( ) ( ) ~ x(n) x n R n N = ⋅ n N x (n) x(( )) ~ = 记作 3. DFT的隐含周期性 Ⅰ） W W k m N k mN N k N , , + = Ⅱ）概念
李洁《数字信号处理》2005③ 垂1x去 Ⅲ)周期延拓序列的离散 Fourier级数(DFS) 如果x(n)的长度为N,且x(n)=x(n) 则可写出x(n)的离散傅里叶级数表示式 R(k)=∑x(m)W=∑x(x)W= ()=3∑R(6W=3∑x(W (1)和违续时间周期信号类似,周期序列可用离散 Fourier级教来表示; (2)对周期序列,只要知道它的一个周期的内容就可以完全确定这个序列,也就是说 只有一个周期承载信息,其它周期的值都是冗余的; (3)点效为N的有限长序列和周期为N的周期序列,都是由N个值来定义 (4)与有限长序列的DFT变换对相比,不难发现,周期序列和有限长序列本质上是一 (5)有限长序列及其DFT可以分别看作周期序列及其DFS的主值序列,因此,一定要 这个隐含周期性主要对有限长序列的移位运算产生 较大影响,进而使得对有限长序列只能计算圆周卷积) 注意 李洁一《数字信号处理 1351 影x去 §3.2离散 Fourier变换的基本性质 离散傅里叶变换 X(k) )=ax, (n)+bx, (n k)循牙移位性质糖技环位性质 时域循环卷积定理 x1(k)·X2 X(N一k) EN),复共辄序列的:x:(), 李洁一《数字信号处理 451 Digital Signal Processing _ Jie Li 2005
李洁《数字信号处理》2005® Digital Signal Processing__Jie Li 2005® 7 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第三章 离散Fourier Fourier变换 13 / 51 Ⅲ）周期延拓序列的离散Fourier Fourier级数（DFS） （1）和连续时间周期信号类似，周期序列可用离散Fourier级数来表示； （2）对周期序列，只要知道它的一个周期的内容就可以完全确定这个序列，也就是说 只有一个周期承载信息，其它周期的值都是冗余的； （3）点数为N的有限长序列和周期为N的周期序列，都是由N个值来定义。 （4）与有限长序列的DFT变换对相比，不难发现，周期序列和有限长序列本质上是一 样的； （5）有限长序列及其DFT可以分别看作周期序列及其DFS的主值序列，因此，一定要 注意有限长序列的隐含周期性。（这个隐含周期性主要对有限长序列的移位运算产生 较大影响，进而使得对有限长序列只能计算圆周卷积） 注意 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第三章 离散Fourier Fourier变换 14 / 51 §3.2 离散Fourier变换的基本性质 线性性质 循环移位性质 时域循环卷积定理 复共轭序列的DFT
李洁《数字信号处理》2005③ 离散傅里叶变换(DF Re[um)] k》十X”((N一k X(k)= 2 X((N一k)]RN() (m)(N-),1,()画xDFT的共轭对称性 为任意实序列 n[X(k)]=-1m[X(N一h))s]Rx《k》 X(k》|=|X((N-h》)x|Rx(h) 15/51 影x去 序列及其DFT的实、虚、偶、奇关系 r(m)[或X()] X(k)[或x(n)] 偶对称 偶对称 奇对称 实数 实部为俩对称、虚部为奇对称 虚数 实部为奇对称、虚部为偶对称 实数偶对称 实数偶对称 实数奇对称 虚数偶对称 虚数偶对称 虚数奇对称 实数奇对称 李洁一《数字信号处理 16151 Digital Signal Processing _ Jie Li 2005
李洁《数字信号处理》2005® Digital Signal Processing__Jie Li 2005® 8 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第三章 离散Fourier Fourier变换 15 / 51 DFT的共轭对称性 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第三章 离散Fourier Fourier变换 16 / 51
李洁《数字信号处理》2005③ 有限长序列×00 鲁音香音 李洁一《数字信号处理 15 影x去 周期延拓序列x的 鲁音音香 鲁音香 香音香音 图期延拓序列移位xPp6 李洁一《数字信号处理 18/51 Digital Signal Processing _ Jie Li 2005
李洁《数字信号处理》2005® Digital Signal Processing__Jie Li 2005® 9 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第三章 离散Fourier Fourier变换 17 / 51 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第三章 离散Fourier Fourier变换 18 / 51
李洁《数字信号处理》2005③ 潘环移位序列yx61只5 ↑,+ 李洁一《数字信号处理 19151 影x去 DFT实部 DFT虚部 DFT的模 李洁一《数字信号处理 20/51 Digital Signal Processing _ Jie Li 2005
李洁《数字信号处理》2005® Digital Signal Processing__Jie Li 2005® 10 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第三章 离散Fourier Fourier变换 19 / 51 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第三章 离散Fourier Fourier变换 20 / 51