第三章点、直线和平面的投影 学习重点： 点的三面投影的投影规律及作图方法
第三章 点、直线和平面的投影 学习重点： 点的三面投影的投影规律及作图方法
3.1点的投影 在投影理论中，对于物体只研究其形状、 大小、位置，而它的物理性质、化学性质 都不涉及到，这种物体称为形体。任何形 体都是由点、线、面基本元素构成的，点 是构成形体的最基本的几何元素，点的投 影是研究直线、平面、形体的基础
3.1 点的投影 • 在投影理论中，对于物体只研究其形状、 大小、位置，而它的物理性质、化学性质 都不涉及到，这种物体称为形体。任何形 体都是由点、线、面基本元素构成的，点 是构成形体的最基本的几何元素，点的投 影是研究直线、平面、形体的基础
3.1.1点的单面投影 ·在第二章说过，点在某一投影面上的投影， 实质上是过该点向投影面所作垂线的垂足。 因此，点的投影仍然是点。 H a(a) 图3-1点的单面投影
3.1.1 点的单面投影 • 在第二章说过，点在某一投影面上的投影， 实质上是过该点向投影面所作垂线的垂足。 因此，点的投影仍然是点。 图3-1 点的单面投影
·如图3-1所示，过空间点A向投影面H作投影 线，该投影线与投影面的交点a,即为点A 在投影面H上的投影。这个投影是唯一确定 的。但是，仅凭a不能确定点A的空间位置， 因为位于投射线上的任何一点（如A1点）， 其投影都在a处。这就是说，仅根据点的一 个投影还不足以确定点在空间的位置。通 常要画出点的三面投影
• 如图3-1所示，过空间点A向投影面H作投影 线，该投影线与投影面的交点a，即为点A 在投影面H上的投影。这个投影是唯一确定 的。但是，仅凭a不能确定点A的空间位置， 因为位于投射线上的任何一点（如A1点）， 其投影都在a处。这就是说，仅根据点的一 个投影还不足以确定点在空间的位置。通 常要画出点的三面投影
3.1.2点的三面投影 (a)直观图 (b)投影图 图3-2点的三面投影 。 如图3-2(a)所示，将空间点A置于三投影面体系中， 自A点分别向三个投影面作垂线（即投射线）， 三个垂足就是点A在三个投影面上的投影
3.1.2 点的三面投影 • 如图3-2(a)所示,将空间点A置于三投影面体系中， 自A点分别向三个投影面作垂线（即投射线）， 三个垂足就是点A在三个投影面上的投影。 图3-2 点的三面投影 （a）直观图 （b）投影图
·点A在H面的投影a,称为点A的水平投影； ·点A在V面的投影a',称为点A的正面投影： ·点A在W面的投影a”,称为点A的侧面投影。 在投影法中规定：空间点用大写字母表示， 而在其面的投影用相应的小写字母表示， 在V面的投影用相应的小写字母右上角加 撇表示，在面的投影用相应的小写字母右 上角加两撇表示。如点A的三面投影，分别 用a、a'、a"表示
• 点A在H面的投影a，称为点A的水平投影； • 点A在V 面的投影a′，称为点A的正面投影； • 点A在W面的投影a″，称为点A的侧面投影。 在投影法中规定：空间点用大写字母表示， 而在其H面的投影用相应的小写字母表示， 在V面的投影用相应的小写字母右上角加一 撇表示，在W面的投影用相应的小写字母右 上角加两撇表示。如点A的三面投影，分别 用a、a′、a″表示
·按照三面投影体系的展开，空间点A的三面 投影在同一平面上的表现形式为图32(b) 所示。 ·用细实线将点的相邻投影连起来，如aa'、 aa"称为投影连线。 ·水平投影a与侧面投影a"不能直接相连，作 图时常以图3-2(b)所示的借助45°斜角线或 圆弧来实现这个联系
• 按照三面投影体系的展开，空间点A的三面 投影在同一平面上的表现形式为图3-2（b） 所示。 • 用细实线将点的相邻投影连起来，如aa′、 aa″称为投影连线。 • 水平投影a与侧面投影a″不能直接相连，作 图时常以图3-2(b)所示的借助45º斜角线或 圆弧来实现这个联系
3.1.3点的投影规律 如果把三个投影面视为三个坐标面，那么三个投影轴OX、 OY、OZ即为三个坐标轴，点的x坐标反映点到W面的距离 反映点的左右位置；点的z坐标反映点到H面的距离，反映 点的上下位置；点的y坐标反映点到V面的距离，反映点的 前后位置。 点的正面投影由点的x坐标和z坐标确定；点的水平投 影由点的x坐标和y坐标确定；点的侧面投影由点的y坐标 和z坐标确定；由此，我们可看出：点的一个投影由两个 坐标决定，点的两个投影包含三个坐标，即点的两个投影 可确定点的空间位置。如果给出某点的两个投影，应该能 够求出第三个投影
3.1.3 点的投影规律 • 如果把三个投影面视为三个坐标面，那么三个投影轴OX、 OY、OZ即为三个坐标轴，点的x坐标反映点到W面的距离， 反映点的左右位置；点的z坐标反映点到H面的距离，反映 点的上下位置；点的y坐标反映点到V面的距离，反映点的 前后位置。 • 点的正面投影由点的x坐标和z坐标确定；点的水平投 影由点的x坐标和y坐标确定；点的侧面投影由点的y坐标 和z坐标确定；由此，我们可看出：点的一个投影由两个 坐标决定，点的两个投影包含三个坐标，即点的两个投影 可确定点的空间位置。如果给出某点的两个投影，应该能 够求出第三个投影
(a直图 (D投影图 在图3-3()中，过空间点A的两面投影线Aa和Aa'决定的平面，与V面和 H面同时垂直相交，交线分别是aax和a'ax,因此，OX轴必然垂直于 平面Aaaxa',也就是垂直于aax和a'ax。又aax和a'ax是相互垂直的两 条直线，即aax La'ax、aax LOX、a'ax LOX。当H面绕OX轴旋转至 与V面成为一平面时，点A的水平投影a与正面投影a'的连线就成为一 条垂直于OX轴的直线，即aa'⊥OX,见图3-2(b)。同理可分析出， a'a"⊥Oz。ay在投影面展平之后，被分为ayH和ayW两个点，所以 aayHLOYH和a"ayW L OYW,即aax=a"aZ。由上面的分析可得出
• 在图3-3(a) 中,过空间点A的两面投影线Aa和Aa′决定的平面，与V面和 H面同时垂直相交，交线分别是aax和a′ax，因此，OX轴必然垂直于 平面Aaaxa′，也就是垂直于aax和a′ax。又aax和a′ax是相互垂直的两 条直线，即aax⊥a′ax、aax⊥OX、a′ax⊥OX。当H面绕OX轴旋转至 与V面成为一平面时，点A的水平投影a与正面投影a′ 的连线就成为一 条垂直于OX轴的直线，即aa′⊥OX，见图3-2（b）。同理可分析出， a′a″⊥OZ。ay在投影面展平之后，被分为ayH和ayW两个点，所以 aayH⊥OYH和a″ayW⊥OYW，即aax= a″aZ。由上面的分析可得出 （a）直观图 （b）投影图
·点在三面投影体系中的投影规律： ·(1)点的水平投影与正面投影的连线垂直 于OX轴，即aa'LOX。 ·(2)点的正面投影和侧面投影的连线垂直 于OZ轴，即a'a”LOZ。 ,(3)点的水平投影到OX轴的距离等于点 的侧面投影到OZ的距离，即aax=a"a,。这 三条投影规律说明了在点的三面投影图中 每两个投影都有一定的联系，只要 给出点的任意两个投影就可以补出第三个 投影（即“二补三”作图）
• 点在三面投影体系中的投影规律： • （1）点的水平投影与正面投影的连线垂直 于OX轴，即aa′⊥OX。 • （2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直 于OZ轴，即a′ a″⊥OZ。 • （3）点的水平投影到OX轴的距离等于点 的侧面投影到OZ的距离，即aax= a″az。这 三条投影规律说明了在点的三面投影图中 每两个投影都有一定的联系，只要 • 给出点的任意两个投影就可以补出第三个 投影（即“二补三”作图）