D01I:10.13374/i.issm1001053x.1992.01.034 北京科技大学学报 第14卷第1期 Vol.I4No.1 1992年1月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jan.1992 关于随机不稳定性和9一不稳定性定理 秦明达 摘要：研究Ito随机微分系统的随机不稳定性。对Has'血inskiif的随机不稳定牲基本 定理的条件作了明显改进，进一步建立了关于q-不稳定性的比较准则。同时还对q-不稳定性 判定定理的条件加以减弱使其应用更加方便。 关键词：Ito随机微分系统，随机不稳定性，g-不稳定性，Lyapu血ov直接法，停止过 程比较定理 On Stochastic Instability and the Theorem of g-instability Qin Mingda' ABSTRACT:the stochastic instability of Ito's stochastic differential systems is studied,The Has'minskii theorem on stochastic instability is obviously improved. The comparison criterion of q-instability is established.Furthermore,the q- instability theorem is developed by means of the sufficient conditions reduced such that suited to applications. KEY WORDS:Ito's stochastic differential equations,stochastic instability,g- instability,method of Lyapunoy functions,comparison theorem of stopping processes 随机微分系统的不稳定性是随机微分方程稳定性理论的基本问题之一，对于随机控制问 题中寻求系统的稳定区域或某些非线性系统首次近似的不稳定条件等方面均有重要意义。然 而，这方面工作至今还不多见。较早的是Has'minskii1)所建立的随机不稳定性基本定理， 但其中的.“条件D”既不好理解又不易检验。 1990-05-28收稿 ·数力系(Departmeat of Mathematics and Mechanics). 107
第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 ‘ ，。 ， 伊 勺户 关于随机不稳定性和 一 不稳定性定理 秦 明 达 ’ 摘 要 研究 随机微分系统 的随机不 稳定 性 。 对 ’ 。 的随机不稳定性基本 定理 的条件作了明显改进 ， 进一步建立 了关于 全不 稳定性的比 较准则 。 同时还对 一 不租定性 判定定理的条 件加以 减弱 使其应 用更加 方便 。 关键词 ‘ 。 随机微分 系统 ， 随机不 稳定性 ， 。 不稳定性 ， 直接法 ， 停止过 程 比较定理 一 尸 夕 ’ 。 ， 沮 一 。 ， 五 ， ， 一 ， “ ， 随机微分系统的不稳定性是随机微分方程稳定性理论的基本问题之一 ， 对于随机控制问 题 中寻求系统 的稳定区域或某些非线性 系统首次 近似的不稳定条件等方面 均有重要意义 。 然 而 ， 这方面工作至今还不多见 。 较早 的是 ’ 〔 ‘ ，所建 立的随机不稳定性基本定理 ， 但其中的 ， “ 条件 ” 既不好理解又不 易检验 。 一 一 收稿 数力系 位 “ DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1992．01．034
胡宣达)对此作了改进，并对q-不稳定性进行了研究，给出了9-不稳定性比较准则和 相应的判定定理。然而，文中关于某些定理和准侧的证明是不正确的。本文对随机不稳定性 基本定理的条件及？-不稳定性定理的条件作了明显改进。 1随机不稳定性和9不稳定性的定义 考虑下列多维Ito型随机微分系统： idx(t)=6(X(t),t)dt+(X(),t)dW(t),t2to, (I) X(to)=X。a.s. 其中b(x,t)=(b1(×,t),b2(x,t),…,bn(x,t)T; (x,)=(o3Io量=2，P,（,)CR-xR" W(t)=(W:(t),W2(t),…,W(t))r为m维标谁Wiencr过程；X为R"值随机变量 且独立于dW(t)。 假定b(x,t)和G(x,t)满足局部Lipschitz条件和线性增长条件且b(o,t)=c(o,t)三0， tzo 引进二阶微分算子 2 定义1。（随机不稳定性）系统(I)的平凡解X()≡0称为是随机不稳定的，如果对某个 E'>0及任意小的6>0和e>0,总存在Xo(≠0)和t1≥to,使得川X。10)-不稳定的：如果对某 个e'>0及任意小的6>0，总存在X(≠0)和t,≥to,使得‖X。‖≤6且有： Exoo{‖X(t1)i}≥e 成立。 2随机不稳定性定理 今S(P)={X∈R",IXI0,p>0,从区域S(P,e)中出发的系统(I)的任一解过程 108
胡宣达 ‘ ” 对此 作了改进 ， 并对 一 不稳定性进 行 了研究 ， 给出了 一 不稳定性 比较准 则 和 相应 的判定定理 。 然而 ， 文 中关 于某些定理和准 则的证 明是不正确 的 。 本文 对随机不稳定性 墓本定理的条 件及 一 不稳定性定理的条 件作了明 显改进 。 随机不稳定性和 一 不 稳定性的定义 考虑下 列多维 型随机微分 系统 ， 了 ， 不 ， 妻 。 ， 。 。 。 。 其中 二 ， 二 ， ， 二 ， ， … ， ， 二 ， ， ， 二 ， ‘ ， 、 。 ’ 二 习 『‘ ， ， 二 ， ‘ 任 “ 左 · 平 甲 ， 平 ， … ， 班 ， 为。 维标准 过程 。 为 ” 值随机 变 量 且独立于 牙 。 假定 ， 和口 ， 满足局 部 条 件和线性增长条 件 且 ， ， 二 ， 引进二阶微分算子 ， 、 二， ， 乙 三三 一 十 ， 口 通 洲 一 了少 一 一 劣 ‘ 、 丈， 十 一 ， ‘ 声 ‘丫 ‘ 万牙瓷 几 ， 其 中一 ， 之 ‘ 。 丁 ，· 定义 。 随机不稳定性 ‘ 。 及任意小的‘ 和‘ ， 系统 ” 的平凡解 二 称为是随机不稳定的 ，如果对某个 总存在 。 笋 和 妻 。 ， 使得 。 咨且 有 二 。 ， 。 】 。 ， 一 。 成立 。 定义 。 一 不稳定性 系统 的平凡解 二 称 为是 。 一 不稳定 的 如 果对某 个。 ， 及任意小 的 ， 总存在 。 铸 和 。 ， 使得 。 且有 。 ， 。 ’ ‘ 成立 。 随机不稳定性定理 令 户 二 〔 “ 户 户 ， 三 任 “ 户 。 表示非负实数 轴 。 以 盆〔 ， 〕表示除 外几乎处处关于 二次连续可微 ， 关 于 一次 连 续 可微的非负函数犷 ， 的类 。 “ 条件 ” 对任意小 的。 ， ， 从 区域 ， 。 中出发 的系统 的 任 一解过程 再 母
X(t)在有限时内.s.到达该区域的边界，即： Px0to{rp,0;X(t)∈aS(p,e)},aS(p,e)为区域S(P,e)的边界。 定理1.1假设存在函数V(x,)∈C〔S(p)×R+,R+〕满足下列条件： (1)LV(X,t)≤0，(X,t)∈(S(p){o})×R+ p (2)lim infy(X,t)=+o 01>0 (3)条件D成立。 则系统(I)的平凡解X()=0是随机不稳定的，进而有 Pxoo{sup(t)‖0 推论系统(1)的平凡解X()三0是随机不稳定的，如果上述定理中条件(2)成立且有 （4）,eeLP(X,)00 证由条件(4)知定理1中条件(1)被满足且十e>0,有L'(X,t)0 于是由文献〔1)中第3章定理7,1可知条件(D)成立（只要在所论定理中取a(s)=C.即可）。 建立以下随机不稳定性定理。 令x三{a()；a∈C[〔o,p),R+),a(o)=0,a(u)严格增}. 定理2假定存在正函数V(X,t)∈CCS(p)×R+,R+)满足下列条件： (1)V(x,t)≤a(lX‖)，a(·)∈x,p>0,(X,t)∈{S(p)l{o}}×R+; (2)LV(X,t)≥C.>0,00 1x1+0 故 lim inf W(X,t)=. x+0t>0 又由条件(2)得Ve>0,ε<P,e<‖XI‖<p和t∈R+有 109
在有限时间内 到达 该区域 的 边界 ， 二 。 。 丈‘ 。 ， 十 二 ， 卫口 。 ， 。 任 ， 十 。 其中了， ，一 才 任 ” ， “ ， 刁 ， “ 为区琴 户 ， “ 的边 界 。 定 理 一 〔 ” 假设存在函数犷 ， 任 星〔 户 十 ， 〕 满足下 列条件 ， ， ， 任 ， 厂 ， 二 冈 冲 ， 矛 条 件 成立 。 ， 则系统 的平凡解 三 是随机 不稳定的 ， 进 而 有 。 ， 。 《 】 刀 ， 。 ， 。 任 夕， 十 。 推论 系统 的 平凡解 三 。 是随机 不稳定 的 ， 如 果上述 定理 中条 件 成立且有 五厂 ， ， 君 。 二 番二 一 少 证 由条件 知定理 中条件 被满 足 且 ， 有 厂 ， 一 ， ， 于是 由文 献 〔 〕 中第 章定理 了 。 可知 条件 成立 只要在 所论定 理 中取 二 即 可 。 建立 以下随机 不稳定性定 理 。 令“ 三 · 任 〔 〔 ， 户〕 ， 〕 ， ， 严格增 定 理 假定存 在正 函数犷 ， 〔 君〔 ， 十 〕满足 下 列条 件 ， 夏 【 户 ， · 任 ‘ ， 厂 ， 异 。 ， 君 ， ， ， 任 、 ， 任 印 ， 十 ， 共中算子 、 订， 三三 乙 一 一 丁冲丁户 乙二 吸 ‘ 飞万 涂则系统 ‘ 的平凡解是随机不稳定的 。 证 令平 ， 犷 ， ， ， 任 丈 十 。 显然甲 ， 任 夕〔 十 ， 〕 由条件 知 扭， 尤啥 ， 犷 ， ’ 二 ， ， 故 平 ， 又 由条件 得 ， 尸， 。 和 任 十 有 王 日
Lw(X,)≤-(，)Ly(X,)≤-a2LΨ(X,” 1 ≤-a2rLrX,0, 从而V>0 u22oZw(X,)≤-ap9nP,。~y(X,) .1 0 C.-0)-不稳定性比较准则 引进常微辅助系统： )1020 t≥t0, 假定：(a1)g∈C〔R+×R+,R)且g(u,)对任意t≥t。关于u为凸函数： (a2)g(u,t)在R+×R+上满足关于变量u的局部Lipschitz条件，即对任意正整数N, Ig(u1,t)-g(u2,t)Kxlui-u2l, 其中Kw局部地与t无关，Iu1{0及任意小 的d>0,总存在u。卡0，u。l≤ò和某个t1≥to,使得u(t15u,t。)≥eo成立。 定理3。（停止过程比较定理） 假设存在函数V(X,t)∈CCS(P)×R+,R+)满足下列条件： ①gw(x,),)-≤0 )L(x,T),).x,)∈poxR 则对任-p'<P,由V(Xo,t,)≥4。就有 110
， 毛 一 犷 ， 犷 ， 毛 一 矛旅下厂 ’ ‘尤 ， ‘ ’ 一 戮专万 “ ， ‘ ， 从 而 ￡ ， 一 ’ 犷 ， 。 ， 一 压 ， 召 《 一 。 夕 ， 因此 函数榨 ， 满足 定理 推论 的条件 ， 故 系统 的 平凡解是随机 不稳定的 。 〔注〕定理 修正 了〔 〕 中的相应结果 ， 而且它 比定理 的条件容易检验和 便于应 用 。 一 不稳定性比较准则 引进常微辅助 系统 ， “ ， ， 。 。 。 妻 。 ， 假定 夕任 〔 、 十 ， 〕且夕 ， 对任意 。 关于 为 凸 函数 夕 ， 在 上满足关于变量 的局部 条 件 ， 即对任意 正整数 ， ， 一 夕 ， 蕊 二 一 。 ， 其中 二 局 部地与 无关 ， ， ， 任 十 夕 ， 三 ， 任 、 。 在上述假定下 ， 常微 系统 存在唯一 的非负解 ， 记该解为以 。 。 ， 。 或简记为 。 。 定义 的 ， 。 常微系统 的平凡解城 三 。称 为是不稳 定的 ， 如 果对某 个 。 。 及任 意小 总存在 。 。 今。 ， 。 簇 和某个 。 ， 使得。 “ 。 ， 。 梦“ 。 成立 。 定理 。 停止过程 比较定理 假设存在函数犷 ， 〔 盆〔 ， 〕满足下列条件 夕 犷 ， 犷 ， ， ，卜 子 、 。 ， 任 十 。 ， ， 。 夕 则 对任 一 尹 ， 由 。 ， 。 妻 。 就有
EtV(X(t),t)≥u(t;4o,t。),t≥t。. 其中X()=X(t八T,o(p')为系统(I)的解过程X(t)的停止过程且X。∈S(F')={XE R",X‖0. 则由常微系统(】)的平凡解的不稳定性就有随机系统(I)的平凡解的9-不稳定性。 证由常微系统(I)的平凡解的不稳定性，对某个正数ε。（不妨设ε。0，总存在u。卡0,4。≤6和t1≥t。使得u(t1“,t)≥eg成立。 选取6≤a(p).由于a(u)连续、严格增，故存在6'=〔a~1(6)】>0. 由条件(3)易见：im'(X,)=0且当川X1=d'时有 V(X,t。)≥a(d')=6>0. 令 元.w=}:,x002 由于6'≤P,显然V(X,t)∈CCC0,6')×R+,R+).从而对上述山∈(0，们，必定存在 X。牛0，川X。‖≤d',使得 V(X,t)=V(X。,to)=uo. 取p'使〔B(e)门。≤p'T,(p')均有（对后者，由过程轨道的a,s连续性必作在t2使t1。 (p)p',不妨仍记为t:) Ex0r0B(I‖X(t1Ato(p')i)≤Exo:0B(X(t1)i) 成立，故由(1)式得： Ex0:0B(lX(t)‖)≥eg. 因B(u)是凹函数，由条件期望的Jensen不等式？可得： B(Ex0t0‖X(t)‖)≥Exo1oB(iX(t1)‖)≥eo, 从而 111
二 ， 。 ， 身“ 。 ， 。 ， 。 其中 才 二 八， ， 。 户矛 为 系统 的解过程 的停止过程且 。 任 ‘ 夕 二 任 夕’ ， ， 。 户夕 为解过程 自 。 后关于集 护 的首出时 。 证 类似 于 〔 〕 中相应定理的证 明 。 令 三 声 · 夕任 〔 〔 ， 户 ， 〕 ， 声 ， 声 。 严格增且 为凹 函数 ‘ 定 理 一 不稳 定性 比较准 则 假设 存在 函数犷 ， 除满 足 定理 的条件外还满足 “ 簇 犷 ， 蕊 刀 “ ， ， 任 十 ， 共中 · 任人 ， 声 · 任。 代 。 则由常微 系统 的 平凡解 的不稳 定性就有随机 系统 的平 凡解 的 一 不稳 定性 。 证 由常微 系统 的平凡解 的不稳 定性 ， 对某 个正数 。 不妨设 。 。 刀 “ 及任 给的 ， 总存在 。 份 。 ， 。 簇 ‘ 和 少 。 使得 。 。 ， 。 》 。 。 成立 。 选取占簇 夕 。 由于 。 连续 、 严格增 ， 故存在 少 〔『‘ 句 〕 了 由条 件 易见 犷 ， 且 当 ‘ 时有 厂 ， 。 乒 ‘ “ 二 。 厂 ， ， 任 户 十 ， 任 谧 十 。 由于 ， ， 显 然 厂 ， 任 〔 〔 ， ‘ 〕 十 ， 〕 从 而对上述 。 任 ， 〕 ， 必 定 存 在 。 今 ， 。 簇 ， ， 使得 犷 。 ， 。 。 ， 。 “ 。 。 取 ‘ 使〔声 一 ’ 。 。 〕一‘ 毛 ’ 据定理 可得 君。 簇“ 。 ， 。 。 ‘ 。 ， 二 。 ， 。 犷 ， 八丁 ， 。 刀厂 ， ， 。 ， 。 声 八 ， 。 ‘ ， 由于不论 簇 了 ， 。 ‘ 或 ， 丁 ， 。 ‘ 均有 对 后 者 ， 由 过程轨道的。 ， 连续性 必 存 在 使 ‘ 、 。 户矛 簇 ，且 ， 夕 矛 ， 不妨仍记 为 。 ， 。 声 八丁 。 户， “ 。 。 声 夕 成立 ， 故 由 式得 。 ， 。 声 ， 空 。 因声 。 是 凹 函数 ， 由条件期望 的 不等式 〔 ‘ 〕 可得 声 二 。 ， 。 、 “ 少 。 ‘ 。 声 ’ 夯 。 从而
Ex01o‖X(‘1)‖≥B-1(eo)=e1. 故随机系统(I)的平凡解是9一不稳定的。 推论假设存在函数严(X,)除满足定理8的条件外还满足： K1北X≤V(X,t)≤KglX",(X,t)∈{S(p)/{o}×R+,K1,K2>0,9>0。 则由常微系统(I)的平凡解的不稳定性就有随机系统(I)的平凡解的q一不稳定性。 定理4与文献〔2〕中相应结果互不包含但却修正了该文中相应结果证明中的原则错误。 当9=1,2时定理4分别成为均值不稳定性比较准则和均方不稳定性比较准则。 4q(>0)不稳定性判定定理 在定理4的基础上，自然得到下面的定理。 定理5。(9一不稳定性判定定理) 假设存在函数V(X,t)∈CCS(P)×R+,R+)满足下列条件： （1)80 L(X,S≥0： (2)V(X,t)≤B(‖X),(X,t)∈{S(p)Ko}×R+. 其中（•）∈vK,q>0,则随机系统(】)的平凡解是q一不稳定的。 证任给d>0(不妨取6<p),取‖X。H丰0且lX。1≤d,令e。=V(X。,t),并取p 使〔B-(e。)门≤p'<p. 由条件(1)知，存在t1≥t。,使得对一切满足t。≤s≤t:的s和X∈S(P),有 LV(X,s)≥0. (2) 应用Ito随机积分公式可得： ExotoV(X(t1∧t,o(p')),t1ΛT:o(p') -v(X(Lv(X()ds, 由(2)式知上式右端≥V(X。,t。)=e。, (3) 再由条件(2)知： B(E::oX(t八T,a(p')‖)≥Ex10B(川X(t1八T,o(p')‖') ≥ExoloV(X(t∧t:o(p'),t八t,o(p') 由(3)式知上式右端≥8。· 从而 Exotox(t1∧下，(p')∥≥B'(e。)=e1. 因为当t1≤：。(p')时， Exot。lX(t1∧t,o(p')l=Erorollx(t)l 112
。 ， 。 “ 身刀 一 ‘ 。 。 二 “ ， 故随机 系统 的 平凡解是 一不稳 定的 。 推 论 假设存 在 函数 ， 除满足 定理 的条件外还满足 尤 ，毛犷 ， 簇 ，， ， 任 ， ， ， 叮 。 则 由常微 系统 的平凡解 的不稳定性就有随机 系统 的平凡解的 一不稳定性 。 定 理 与文 献〔 〕 中相应结果互不包 含‘但却修正 了该文 中相 应结果证 明 中的原则错误 。 当 ， 时定理 分别 成 为均值不稳定性 比较准 则和均方不稳定性 比较准 则 。 叹 不稳定性判定定理 在定理 的基础上 ， 自然得 到下面 的定理 。 定 理 。 一不稳定性判定定理 假设存 在函数犷 ， 〔 盆〔 汉 十 ， ， 〕满足 下 列条 件 ‘ 怂尽 ， 。 ‘ ‘ ，， ‘升 ， 、 。 犷 ， 》 犷 ， 刀 ’ ， ， 任 户 丈。 。 其中 取 · 任 。 ‘ ， 口 ， 则随机 系统 的平凡解是 一不稳 定的 。 证 任给 不妨取 ， 取 。 等 。 且 。 成 占 ， 令 。 二 犷 。 ， 。 ， 并取 使〔口 一 ’ 。 。 〕 下 簇户‘ 户 。 由条件 知 ， 存在 。 ， 使得对一切满足 。 簇 镇 的 和 任 ， 有 犷 ， 。 应 用 随机 积分 公 式可得 ， 。 ， 。 八了 ， 。 ’ ， 八乍 ， 。 二 ‘ 。 ， ‘ 。 卜 · 。 ，。 八‘ 。 ‘“ ‘ ’ · ， 。 ‘ ·， 由 式知上式右端 。 ， 。 。 。 再由条件 知 口 二 。 。 。 八丁 ， 。 户‘ ’ 异 。 ， 。 刀 ，八了 ， 。 ‘ 。 ， 。 犷 八丁 ， 。 产 ， 八了 ， 。 尹 由 式知上式右端 。 。 从而 。 ， 。 ， 八丁 ， 。 ’ 乡少 ‘ 。 二 ， 因为当 簇丁 ‘ 。 ‘ 时 君 。 ， 。 八， ， 。 ‘ ’ 二 。 ， 。 ’
当t1>T。(p')时， ExX(t1∧T,。(p)‖=Ex。‘。‖X(T1,(p')H =Ex。to{p} 此时，由于过程的a,s连续性，必存在t:使下to(p')p',故 Ex。',lX(t2)≥Ex。'。lX(tΛt:。(p')l≥e1. 从而随机系统(I)的平凡解是9-不稳定的。 推论假设存在函数V(X,)∈CCS(p)×R+,R+门使得： (1)LV(X,t)≥0，(X,t)∈S(p)×R+i (2)V(X,t)≤k‖X川，(X,t)∈S(p)×R+,k,q>0. 则随机系统(I)的平凡解是9一不稳定的。 上面的推论正是〔2〕中所建立的q一不稳定性定理。可见定理5包舍了该文中的相应结果 山当q=1,2时，定理5分别成为均值不稳定性判定准则和均方不稳定性判定准则。 参考文献 1 Hasminskii RZ.Stochastic Stability of Differential Equations.Netherlands, 1980:98-169 2胡宣达，南京大学学报，1986,22(1)：9-15 3胡宣达，俞中明。数学学报，1982,25(4)：427 4 Ikeda N,Watanabe S.Stochastic Differential Equations and Diffutions. Processes.North-Holland/Kodansha,1981:12 118
而当 ， 。 ‘ 川， · ， 、 。 ， 。 八‘ ， 。 ‘ ’ 。 ， 。 ， 。 户‘ ’ 。 ， 。 户夕 ’ 此时 · ， 由于 过程 的 ， 连续性 ， 必 存在 使丫 、 。 夕 ， 卜 尹 ， 故 。 ， 。 ’ 。 ， 。 八了 ， 。 户‘ ’ 多“ 从 而随机 系统 的平凡解是 一 不稳定 的 。 推 论 假设 存 在函数 厂 ， 任 翌〔 印 义 ， 十 〕使得 犷 ， ， ， 任 十 犷 ， 簇 寿 “ ， ， 任 、 ， ， 口 则随 机 系统 的平凡解是 一不 稳定 的 。 上面 的推论正是 〔 〕 中所建立 的 一不 稳定性 定理 。 可见 定理 包 含 一 该文 中的相应 结 果 且 当 ， 时 ， 定理 分 别成 为均值不 稳定性判定准 则和 均 方不 稳定性 判定谁 则 。 参 工 。 考 文 献 ， 一 胡宣达 南京大学 学 报 ， ， 一 胡宣达 ， 俞 中明 数学学 报 ， ， ， 。 。 一 诬 ‘ ， 一 ，