第六部分热学 热学知识在奥赛中的要求不以深度见长,但知识点却非常地多(考纲中罗列的知识点几乎和整 个力学一—前五部分—一的知识点数目相等)。而且,由于高考要求对热学的要求逐年降低(本届 尤其低得“离谱”,连理想气体状态方程都没有了),这就客观上给奥赛培训增加了负担。因此, 本部分只能采新授课的培训模式,将知识点和例题讲解及时地结合,争取让学员学一点,就领会 点、巩固一点,然后再层叠式地往前推进 分子动理论 1、物质是由大量分子组成的(注意分子体积和分子所占据空间的区别) 对于分子(单原子分子)间距的计算,气体和液体可直接用√分子占据的空间,对固体,则与 分子的空间排列(晶体的点阵)有关。 【例题1】如图6-1所示,食盐(NC1)的晶体是由钠离子(图 中的白色圆点表示)和氯离子(图中的黑色圆点表示)组成的,离 子键两两垂直且键长相等。已知食盐的摩尔质量为58.5×10 kg/mol,密度为2.2×10kg/m,阿伏加德罗常数为6.0×102mol 求食盐晶体中两个距离最近的钠离子中心之间的距离 【解说】题意所求即图中任意一个小立方块的变长(设为a) 的√倍,所以求a成为本题的焦点 由于一摩尔的氯化钠含有N个氯化钠分子,事实上也含有2N 个钠离子(或氯离子),所以每个钠离子占据空间为v=m 图6-1 而由图不难看出,一个离子占据的空间就是小立方体的体积a3, 即a3=ym=MmP,最后,邻近钠离子之间的距离1=√a 【答案】3.97×10- 〖思考〗本题还有没有其它思路? 〖答案〗每个离子都被八个小立方体均分,故一个小立方体含有x×8个离子=分子,所 以…(此法普遍适用于空间点阵比较复杂的晶体结构。) 2、物质内的分子永不停息地作无规则运动 固体分子在平衡位置附近做微小振动(振幅数量级为0.1A),少数可以脱离平衡位置运动
1 第六部分 热学 热学知识在奥赛中的要求不以深度见长，但知识点却非常地多（考纲中罗列的知识点几乎和整 个力学——前五部分——的知识点数目相等）。而且，由于高考要求对热学的要求逐年降低（本届 尤其低得“离谱”，连理想气体状态方程都没有了），这就客观上给奥赛培训增加了负担。因此， 本部分只能采新授课的培训模式，将知识点和例题讲解及时地结合，争取让学员学一点，就领会 一点、巩固一点，然后再层叠式地往前推进。 一、分子动理论 1、物质是由大量分子组成的（注意分子体积和分子所占据空间的区别） 对于分子（单原子分子）间距的计算，气体和液体可直接用 3 分子占据的空间 ，对固体，则与 分子的空间排列（晶体的点阵）有关。 【例题 1】如图 6-1 所示，食盐（NaCl）的晶体是由钠离子（图 中的白色圆点表示）和氯离子（图中的黑色圆点表示）组成的，离 子键两两垂直且键长相等。已知食盐的摩尔质量为 58.5×10－ 3 kg/mol，密度为 2.2×103 kg/m3，阿伏加德罗常数为 6.0×1023mol－1， 求食盐晶体中两个距离最近的钠离子中心之间的距离。 【解说】题意所求即图中任意一个小立方块的变长（设为 a） 的 2 倍，所以求 a 成为本题的焦点。 由于一摩尔的氯化钠含有 NA 个氯化钠分子，事实上也含有 2NA 个钠离子（或氯离子），所以每个钠离子占据空间为 v = A mol 2N V 而由图不难看出，一个离子占据的空间就是小立方体的体积 a 3 ， 即 a 3 = A mol 2N V = A mol 2N M / ，最后，邻近钠离子之间的距离 l = 2 a 【答案】3.97×10－10 m 。 〖思考〗本题还有没有其它思路？ 〖答案〗每个离子都被八个小立方体均分，故一个小立方体含有 8 1 ×8 个离子 = 2 1 分子，所 以…（此法普遍适用于空间点阵比较复杂的晶体结构。） 2、物质内的分子永不停息地作无规则运动 固体分子在平衡位置附近做微小振动（振幅数量级为 0.1 A 0 ），少数可以脱离平衡位置运动
液体分子的运动则可以用“长时间的定居(振动)和短时间的迁移”来概括,这是由于液体分子 间距较固体大的结果。气体分子基本“居无定所”,不停地迁移(常温下,速率数量级为10°m/s) 无论是振动还是迁移,都具备两个特点:a、偶然无序(杂乱无章)和统计有序(分子数比 率和速率对应一定的规律—一如麦克斯韦速率分布函数,如 图6-2所示);b、剧烈程度和温度相关 f (v) 气体分子的三种速率。最可几速率vp:f(v) (其 中△N表示v到v+△v内分子数,N表示分子总数)极大时 的速率,v ;平均速率v:所有分子速率的 m 算术平均值,5=/AR=图,方均根速率:与分子平 图 m 均动能密切相关的一个速率,=,=工(其中R为普适气体恒量,R=8.31/(m1. k为玻耳兹曼常量,k=R=1.38×10-2J 【例题2】证明理想气体的压强P=2n,其中n为分子数密度,E为气体分子平均动能 【证明】气体的压强即单位面积容器壁所承受的分子的 撞击力,这里可以设理想气体被封闭在一个边长为a的立方 体容器中,如图6-3所示。 考査yoz平面的一个容器壁,P=F ① 设想在△t时间内,有N个分子(设质量为m)沿x方 向以恒定的速率v碰撞该容器壁,且碰后原速率弹回,则根 据动量定理,容器壁承受的压力 图6-3 在气体的实际状况中,如何寻求N2和v呢? 考查某一个分子的运动,设它的速度为v,它沿x、y、z三个方向分解后,满足 v2=v+v2+v2 分子运动虽然是杂乱无章的,但仍具有“偶然无序和统计有序”的规律,即 这就解决了v的问题。另外,从速度的分解不难理解,每一个分子都有机会均等的碰撞3个 容器壁的可能。设△t=a,则
2 液体分子的运动则可以用“长时间的定居（振动）和短时间的迁移”来概括，这是由于液体分子 间距较固体大的结果。气体分子基本“居无定所”，不停地迁移（常温下，速率数量级为 102 m/s）。 无论是振动还是迁移，都具备两个特点：a、偶然无序（杂乱无章）和统计有序（分子数比 率和速率对应一定的规律——如麦克斯韦速率分布函数，如 图 6-2 所示）；b、剧烈程度和温度相关。 气体分子的三种速率。最可几速率 vP ：f(v) = N N （其 中 ΔN 表示 v 到 v +Δv 内分子数，N 表示分子总数）极大时 的速率，vP = 2RT = m 2kT ；平均速率 v ：所有分子速率的 算术平均值， v = 8RT = m 8kT ；方均根速率 2 v ：与分子平 均动能密切相关的一个速率， 2 v = 3RT = m 3kT 〔其中 R 为普适气体恒量，R = 8.31J/(mol.K)。 k 为玻耳兹曼常量，k = NA R = 1.38×10－23J/K 〕 【例题 2】证明理想气体的压强 P = 3 2 n K ，其中 n 为分子数密度， K 为气体分子平均动能。 【证明】气体的压强即单位面积容器壁所承受的分子的 撞击力，这里可以设理想气体被封闭在一个边长为 a 的立方 体容器中，如图 6-3 所示。 考查 yoz 平面的一个容器壁，P = 2 a F ① 设想在Δt 时间内，有 Nx 个分子（设质量为 m）沿 x 方 向以恒定的速率 vx 碰撞该容器壁，且碰后原速率弹回，则根 据动量定理，容器壁承受的压力 F = t p = t Nx 2mvx • ② 在气体的实际状况中，如何寻求 Nx 和 vx 呢？ 考查某一个分子的运动，设它的速度为 v ，它沿 x、y、z 三个方向分解后，满足 v 2 = 2 x v + 2 y v + 2 z v 分子运动虽然是杂乱无章的，但仍具有“偶然无序和统计有序”的规律，即 2 v = 2 x v + 2 y v + 2 z v = 3 2 x v ③ 这就解决了 vx 的问题。另外，从速度的分解不难理解，每一个分子都有机会均等的碰撞 3 个 容器壁的可能。设Δt = x v a ，则
N=·3N。=na3 注意,这里的是指有6个容器壁需要碰撞,而它们被碰的几率是均等的。 结合①②③④式不难证明题设结论。 〖思考〗此题有没有更简便的处理方法? 〖答案〗有。"命令”所有分子以相同的速率ⅴ沿+X、-X、 →-- y、y、+2、-z这6个方向运动(这样造成的宏观效果和“杂 乱无章”地运动时是一样的),则N2=N总6ha3;而且 Vx= V 所以,P=F N.·2mv、=6 nm v n EK 图64 3、分子间存在相互作用力(注意分子斥力和气体分子碰撞作用力 的区别),而且引力和斥力同时存在,宏观上感受到的是其合效果。 分子力是保守力,分子间距改变时,分子力做的功可以用分子势能的变化表示,分子势能 E随分子间距的变化关系如图6-4所示。 分子势能和动能的总和称为物体的内能 二、热现象和基本热力学定律 1、平衡态、状态参量 a、凡是与温度有关的现象均称为热现象,热学是研究热现象的科学。热学研究的对象都是 有大量分子组成的宏观物体,通称为热力学系统(简称系统)。当系统的宏观性质不再随时间变化 时,这样的状态称为平衡态 b、系统处于平衡态时,所有宏观量都具有确定的值,这些确定的值称为状态参量(描述气 体的状态参量就是P、V和T)。 c、热力学第零定律(温度存在定律):若两个热力学系统中的任何一个系统都和第三个热力 学系统处于热平衡状态,那么,这两个热力学系统也必定处于热平衡。这个定律反映出:处在同 热平衡状态的所有的热力学系统都具有一个共同的宏观特征,这一特征是由这些互为热平衡系
3 Nx = 6 1 ·3N 总 = 2 1 na 3 ④ 注意，这里的 6 1 是指有 6 个容器壁需要碰撞，而它们被碰的几率是均等的。 结合①②③④式不难证明题设结论。 〖思考〗此题有没有更简便的处理方法？ 〖答案〗有。“命令”所有分子以相同的速率 v 沿+x、−x、 +y、−y、+z、−z 这 6 个方向运动（这样造成的宏观效果和“杂 乱无章”地运动时是一样的），则 Nx = 6 1 N 总 = 6 1 na3 ；而且 vx = v 所以，P = 2 a F = 2 x x t a N 2mv • • = 2 x x 3 a v a na 2mv 6 1 • • = 3 1 nm 2 x v = 3 2 n K 3、分子间存在相互作用力（注意分子斥力和气体分子碰撞作用力 的区别），而且引力和斥力同时存在，宏观上感受到的是其合效果。 分子力是保守力，分子间距改变时，分子力做的功可以用分子势能的变化表示，分子势能 EP 随分子间距的变化关系如图 6-4 所示。 分子势能和动能的总和称为物体的内能。 二、热现象和基本热力学定律 1、平衡态、状态参量 a、凡是与温度有关的现象均称为热现象，热学是研究热现象的科学。热学研究的对象都是 有大量分子组成的宏观物体，通称为热力学系统（简称系统）。当系统的宏观性质不再随时间变化 时，这样的状态称为平衡态。 b、系统处于平衡态时，所有宏观量都具有确定的值，这些确定的值称为状态参量（描述气 体的状态参量就是 P、V 和 T）。 c、热力学第零定律（温度存在定律）：若两个热力学系统中的任何一个系统都和第三个热力 学系统处于热平衡状态，那么，这两个热力学系统也必定处于热平衡。这个定律反映出：处在同 一热平衡状态的所有的热力学系统都具有一个共同的宏观特征，这一特征是由这些互为热平衡系
统的状态所决定的一个数值相等的状态函数,这个状态函数被定义为温度。 2、温度 a、温度即物体的冷热程度,温度的数值表示法称为温标。典型的温标有摄氏温标t、华氏 温标F(F=5t+32)和热力学温标T(T=t+273.15) b、(理想)气体温度的微观解释:s=kT(i为分子的自由度=平动自由度t+转动 自由度r+振动自由度s。对单原子分子i=3,“刚性”〈忽略振动,s=0,但r=2〉双原 子分子i=5。对于三个或三个以上的多原子分子,i=6。能量按自由度是均分的),所以说温 度是物质分子平均动能的标志。 c、热力学第三定律:热力学零度不可能达到。(结合分子动理论的观点2和温度的微观解释 很好理解。) 3、热力学过程 a、热传递。热传递有三种方式:传导(对长L、横截面积S的柱体,Q=K工-工SΔt)、对 流和辐射(黑体表面辐射功率J=aT) b、热膨胀。线膨胀△1=a1o△t 【例题3】如图6-5所示,温度为0℃时,两根长度均为L的、均匀的不同金属棒,密度分别 为p1和p2,现膨胀系数分别为a1和a2,它们的一端粘合在一起并从A点悬挂在天花板上 恰好能水平静止。若温度升高到t℃,仍需它们水平静止平衡,则悬点应该如何调整? 【解说】设A点距离粘合端x,则 p1(-x)=p2(+x),得:x=L-P2) 设膨胀后的长度分别为L1和La,而且密度近似处理为不变, 则同理有 p, (L -x')=p,(L2+x'), 1:x'=LP,-LP2 图6-5 另有线膨胀公式,有L1=L(1+a1t),L2=L(1+a2t) 最后,设调整后的悬点为B,则AB 【答案】新悬点和原来的悬点之间相距P=aPLt。 〖说明〗如果考虑到密度变化的实际情况p1=p1、p2=+p2,此题仍然是可解的,但 最后的结果却复杂得多… C、系统由一个平衡态变化到另一个平衡态,即构成一个热力学过程。特殊的热力学过程有 等压过程、等温过程、等容过程、绝热过程和自由膨胀等。 准静态过程:如果变化过程相对缓慢,则过程的每一个状态可视为平衡态,这样的过程也称 为准静态过程
4 统的状态所决定的一个数值相等的状态函数，这个状态函数被定义为温度。 2、温度 a、温度即物体的冷热程度，温度的数值表示法称为温标。典型的温标有摄氏温标 t、华氏 温标 F（F = 5 9 t + 32）和热力学温标 T（T = t + 273.15）。 b、（理想）气体温度的微观解释： K = 2 i kT （i 为分子的自由度 = 平动自由度 t + 转动 自由度 r + 振动自由度 s 。对单原子分子 i = 3 ，“刚性”〈忽略振动，s = 0，但 r = 2〉双原 子分子 i = 5 。对于三个或三个以上的多原子分子，i = 6 。能量按自由度是均分的），所以说温 度是物质分子平均动能的标志。 c、热力学第三定律：热力学零度不可能达到。（结合分子动理论的观点 2 和温度的微观解释 很好理解。） 3、热力学过程 a、热传递。热传递有三种方式：传导（对长 L、横截面积 S 的柱体，Q = K L T1 − T2 SΔt）、对 流和辐射（黑体表面辐射功率 J = αT 4） b、热膨胀。线膨胀 Δl = αl0Δt 【例题 3】如图 6-5 所示，温度为 0℃时，两根长度均为 L 的、均匀的不同金属棒，密度分别 为 ρ1 和 ρ2 ，现膨胀系数分别为 α1 和 α2 ，它们的一端粘合在一起并从 A 点悬挂在天花板上， 恰好能水平静止。若温度升高到 t℃，仍需它们水平静止平衡，则悬点应该如何调整？ 【解说】设 A 点距离粘合端 x ，则 ρ1（ 2 L − x）=ρ2（ 2 L + x） ，得：x = 2( ) L( ) 1 2 1 2 + − 设膨胀后的长度分别为 L1 和 L2 ，而且密度近似处理为不变， 则同理有 ρ1（ 2 L1 − x′）=ρ2（ 2 L2 + x′） ，得：x′= 2( ) L L 1 2 1 1 2 2 + − 另有线膨胀公式，有 L1 = L（1 + α1t），L2 = L（1 + α2t） 最后，设调整后的悬点为 B ，则 AB = x′− x 【答案】新悬点和原来的悬点之间相距 （ 1 2） 1 1 2 2 2 + − Lt 。 〖说明〗如果考虑到密度变化的实际情况ρ1′= L1 L ρ1 、ρ2′= L2 L ρ2 ，此题仍然是可解的，但 最后的结果却复杂得多… c、系统由一个平衡态变化到另一个平衡态，即构成一个热力学过程。特殊的热力学过程有 等压过程、等温过程、等容过程、绝热过程和自由膨胀等。 准静态过程：如果变化过程相对缓慢，则过程的每一个状态可视为平衡态，这样的过程也称 为准静态过程
循环:如果系统经过一系列的变化后,又回到原来的平衡态,我们成这个过程为循环。 d、热力学第一定律:外界对系统所做的功W和系统从外界吸收热量Q之和,等于系统内能 的增量ΔE,即ΔE=Q+W。热力学第一定律是能量守恒定律在热力学过程中的具体体现。 e、热力学第二定律:克劳修斯表述(克劳修斯在1850年提出):热量总是自动的从高温物 体传到低温物体,不可能自动地由低温物体向高温物体传递。开尔文表述(开尔文在1851年提出) 不存在这样一种循环过程,系统从单一热源吸取热量,使之完全变为有用功而不产生其他影响 违背热力学第二定律并不违背能量守恒,它所展示的是热力学过程的不可逆性一一即自发的 热力学过程只会朝着混乱程度(熵)增大的方向发展 、理想气体 1、气体实验三定律 在压强不太大,温度不太低的条件下,气体的状态变化遵从以下三个实验定律 a、玻意耳-马略特定律:一定质量气体温度不变时,PV1=P2V2或P=恒量 b、查理定律:一定质量气体积不变时,=1或F=恒量 c、盖·吕萨克定律:一定质量气体压强不变时 V- V2 或ˇ=恒量 【例题4】如图66所示,一端封闭、内径均匀的玻璃管 长L=100cm,其中有一段长L′=15cm的水银柱把一部分 空气封闭在管中。当管水平放置时,封闭气柱A长LA=40cm 现把管缓慢旋转至竖直后,在把开口端向下插入水银槽中, 直至A端气柱长L=37.5cm为止,这时系统处于静止平衡。 已知大气压强P。=75cmHg,过程温度不变,试求槽内水银进 入管内的水银柱的长度h 【解说】在全过程中,只有A部分的气体质量是不变的, B部分气体则只在管子竖直后质量才不变。所以有必要分过程 解本题 过程一:玻管旋转至竖直 A部分气体,LA′=鸟LA 75-15×40=50cm 图6-6 此时B端气柱长L′=L-LA-L′=100-50-15=35cm 过程二:玻管出入水银槽 A部分气体(可针对全程,也可针对过程二),p"=Lp=50×60=80cmHg 37.5
5 循环：如果系统经过一系列的变化后，又回到原来的平衡态，我们成这个过程为循环。 d、热力学第一定律：外界对系统所做的功 W 和系统从外界吸收热量 Q 之和，等于系统内能 的增量ΔE ，即 ΔE = Q + W 。热力学第一定律是能量守恒定律在热力学过程中的具体体现。 e、热力学第二定律：克劳修斯表述（克劳修斯在 1850 年提出）：热量总是自动的从高温物 体传到低温物体，不可能自动地由低温物体向高温物体传递。开尔文表述（开尔文在 1851 年提出）： 不存在这样一种循环过程，系统从单一热源吸取热量，使之完全变为有用功而不产生其他影响。 违背热力学第二定律并不违背能量守恒，它所展示的是热力学过程的不可逆性——即自发的 热力学过程只会朝着混乱程度（熵）增大的方向发展。 三、理想气体 1、气体实验三定律 在压强不太大，温度不太低的条件下，气体的状态变化遵从以下三个实验定律 a、玻意耳-马略特定律：一定质量气体温度不变时，P1V1 = P2V2 或 PV = 恒量 b、查理定律：一定质量气体体积不变时， 1 1 T P = 2 2 T P 或 T P = 恒量 c、盖·吕萨克定律：一定质量气体压强不变时， 1 1 T V = 2 2 T V 或 T V = 恒量 【例题 4】如图 6-6 所示，一端封闭、内径均匀的玻璃管 长 L = 100cm ，其中有一段长 L′= 15cm 的水银柱把一部分 空气封闭在管中。当管水平放置时，封闭气柱 A 长 LA = 40cm。 现把管缓慢旋转至竖直后，在把开口端向下插入水银槽中， 直至 A 端气柱长 LA = 37.5cm 为止，这时系统处于静止平衡。 已知大气压强 P0 = 75cmHg，过程温度不变，试求槽内水银进 入管内的水银柱的长度 h 。 【解说】在全过程中，只有 A 部分的气体质量是不变的， B 部分气体则只在管子竖直后质量才不变。所以有必要分过程 解本题。 过程一：玻管旋转至竖直 A 部分气体，LA′= A A P P LA = 75 15 75 − ×40 = 50cm 此时 B 端气柱长 LB′= L − LA′− L′= 100 − 50 − 15 = 35cm 过程二：玻管出入水银槽 A 部分气体（可针对全程，也可针对过程二）， PA = A A L L PA = 37.5 50 ×60 = 80cmHg
B部分气体,L"=鸟L P 最后,h=L-L 【答案】19.9cm。 2、理想气体 宏观定义:严格遵守气体实验定律的气体 微观特征:a、分子本身的大小比起它们的间距可以忽略,分子不计重力势能;b、除了短暂 的碰撞过程外,分子间的相互作用可以忽略一一意味着不计分子势能;c、分子间的碰撞完全是弹 性的 *理想气体是一种理想模型,是实际气体在某些条件约束下的近似,如果这些条件不满足, 我们称之为实际气体,如果条件满足不是很好,我们还可以用其它的模型去归纳,如范德瓦尔斯 气体、昂尼斯气体等。 理想气体压强的微观解释:P=2n,其中n为分子数密度(n=N)。 3、理想气体状态方程:一定质量的理想气体 P V Pv2PⅤ 恒量 理想气体状态方程可以由三个试验定律推出,也可以由理想气体的压强微观解释和温度微观 解释推导得出。 【例题5】如图6-7所示,在标准大气压下,一端封闭的玻璃管长96cm,内有 段长20cm的水银柱,当温度为27℃且管口向上竖直放置时,被封闭的气柱长为 16cm 60cm。试问:当温度至少升高到多少度,水银柱才会从玻璃管中全部溢出? 【解说】首先应该明确的是,这是一个只有唯一解的问题还是一个存在范围讨论 的问题 如果是前一种可能,似乎应该这样解:P=P2,即6+20×60=76×96 T2 得:T2=380K 但是,仔细研究一下升温气体膨胀的全过程,就会发现,在某些区域,准静态过 程是不可能达成的,因此状态方程的应用失去意义。 为了研究准静态过程是否可能达成,我们可以假定水银柱是受到某种制约而准静图67 态膨胀的,这样,气柱的压强只受玻马定律制约(而与外界大气压、水银柱长没有关系),设为P 而对于一般的末状态,水银柱在管中剩下的长度设为x。从初态到这个一般的末态 =羋,即④3=,得P=B2 隔离水银柱下面的液面分析,可知P≤76+x时准静态W2K 过程能够达成(P可以随升温而增大,直至不等式取等号), 而P>76+x时准静态过程无法达成(T升高时,P增大而 x减小),水银自动溢出 X/cm 图6-8
6 B 部分气体， LB = B B P P LB = A L 0 P P P + LB = 80 15 75 + ×35 ≈ 27.6cm 最后，h = L - LA − L′− LB 【答案】19.9cm 。 2、理想气体 宏观定义：严格遵守气体实验定律的气体。 微观特征：a、分子本身的大小比起它们的间距可以忽略，分子不计重力势能；b、除了短暂 的碰撞过程外，分子间的相互作用可以忽略——意味着不计分子势能；c、分子间的碰撞完全是弹 性的。 *理想气体是一种理想模型，是实际气体在某些条件约束下的近似，如果这些条件不满足， 我们称之为实际气体，如果条件满足不是很好，我们还可以用其它的模型去归纳，如范德瓦尔斯 气体、昂尼斯气体等。 理想气体压强的微观解释：P = 3 2 n K ，其中 n 为分子数密度（n = V N ）。 3、理想气体状态方程：一定质量的理想气体， 1 1 1 T P V = 2 2 2 T P V 或 T PV = 恒量 理想气体状态方程可以由三个试验定律推出，也可以由理想气体的压强微观解释和温度微观 解释推导得出。 【例题 5】如图 6-7 所示，在标准大气压下，一端封闭的玻璃管长 96cm ，内有 一段长 20cm 的水银柱，当温度为 27℃且管口向上竖直放置时，被封闭的气柱长为 60cm。试问：当温度至少升高到多少度，水银柱才会从玻璃管中全部溢出？ 【解说】首先应该明确的是，这是一个只有唯一解的问题还是一个存在范围讨论 的问题。 如果是前一种可能，似乎应该这样解： 1 1 1 T PL = 2 2 2 T P L ，即 300 （76 + 20）60 = T2 7696 ， 得：T2 = 380K 但是，仔细研究一下升温气体膨胀的全过程，就会发现，在某些区域，准静态过 程是不可能达成的，因此状态方程的应用失去意义。 为了研究准静态过程是否可能达成，我们可以假定水银柱是受到某种制约而准静 态膨胀的，这样，气柱的压强只受玻马定律制约（而与外界大气压、水银柱长没有关系），设为 P 。 而对于一般的末状态，水银柱在管中剩下的长度设为 x 。从初态到这个一般的末态 1 1 1 T PL = T PL ，即 300 （76 + 20）60 = T P(96 − x) ，得 P = 96 x 19.2T − 隔离水银柱下面的液面分析，可知 P ≤ 76 + x 时准静态 过程能够达成（P 可以随升温而增大，直至不等式取等号）， 而 P ＞ 76 + x 时准静态过程无法达成（T 升高时，P 增大而 x 减小），水银自动溢出
所以,自动溢出的条件是 (-x2+20x+7296) 19.2 考查函数y=12(-x+20x+7296)发现,当x=10om时,y-=3852 而前面求出的ⅹ=0时,T只有380K,说明后阶段无须升温,即是自动溢出过程(参照图6-8 理解)。而T>ya即是题意所求。 【答案】385.2K。 a、推论1: T P2T2 此结论成功地突破了“质量一定”的条件约束,对解某 题非常有效。 b、克拉珀龙方程:原方程中,将“恒量”定量表达出来就成为PV=vRT,其中ν为气体 的摩尔数,这个结论被成为克拉珀龙方程。它的优点是能使本来针对过程适用的方程可以应用到 某个单一的状态 c、推论2:气体混合(或分开)时,BV+P+…+PP,这个推论很容易 由克拉珀龙方程导出。 【例题6】图6-9是一种测量低温用的气体温度计,它的下端是测温泡A, 上端是压力计B,两者通过绝热毛细管相连,毛细管容积不计。操作时先把测温 计在室温T下充气至大气压P。,然后加以密封,再将A浸入待测液体中,当A 和待测液体达到热平衡后,B的读数为P,已知A和B的容积分别为V和VB, 试求待测液体的温度。 【解说】本题是“推论2”的直接应用 (V+VR 【答案】TA PVATO 图6-9 【例题7】图6-10所示是一定质量理想气体状态变化所经历的P-T图线,该图线是以C点为 圆心的圆。P轴则C点的纵坐标Pc为单位(T轴以T为单位)。若已知在此过程中气体所经历的最 低温度为T。,则在此过程中,气体密度的最大值p1和最小值p2之比p/p2应等于多少? 【解说】本题物理知识甚简,应用“推论1”即可, T2 /T T, P,/T 此式表明,越大时,p就越大。故本题归结为求的极大 值和极小值 方法一:P与T的关系服从圆的方程(参数方程为佳 T =T+ rcos 0 P=Pc+ rsin 0 图6-10
7 所以，自动溢出的条件是：T ＞ 19.2 1 （－x 2 + 20x + 7296） 考查函数 y = 19.2 1 （－x 2 + 20x + 7296）发现，当 x = 10cm 时，ymax = 385.2K 而前面求出的 x = 0 时，T 只有 380K，说明后阶段无须升温，即是自动溢出过程 ．．．．．．．．．．．．．．．．（参照图 6-8 理解）。而 T ＞ ymax 即是题意所求。 【答案】385.2K 。 a、推论 1： 1 1 1 T P = 2 2 2 T P ，此结论成功地突破了“质量一定”的条件约束，对解某些特殊问 题非常有效。 b、克拉珀龙方程：原方程中，将“恒量”定量表达出来就成为 PV = RT ，其中 为气体 的摩尔数，这个结论被成为克拉珀龙方程。它的优点是能使本来针对过程适用的方程可以应用到 某个单一的状态。 c、推论 2：气体混合（或分开）时， 1 1 1 T P V + 2 2 2 T P V + … + n n n T P V T PV ，这个推论很容易 由克拉珀龙方程导出。 【例题 6】图 6-9 是一种测量低温用的气体温度计，它的下端是测温泡 A ， 上端是压力计 B ，两者通过绝热毛细管相连，毛细管容积不计。操作时先把测温 计在室温 T0 下充气至大气压 P0 ，然后加以密封，再将 A 浸入待测液体中，当 A 和待测液体达到热平衡后，B 的读数为 P ，已知 A 和 B 的容积分别为 VA 和 VB ， 试求待测液体的温度。 【解说】本题是“推论 2”的直接应用 0 0 A B T P (V + V ) = A A T PV + 0 B T PV 【答案】TA = 0 A B B A 0 P (V V ) PV PV T + − 【例题 7】图 6-10 所示是一定质量理想气体状态变化所经历的 P-T 图线，该图线是以 C 点为 圆心的圆。P 轴则 C 点的纵坐标 PC 为单位（T 轴以 TC 为单位）。若已知在此过程中气体所经历的最 低温度为 T0 ，则在此过程中，气体密度的最大值 ρ1 和最小值 ρ2 之比 ρ1/ρ2 应等于多少？ 【解说】本题物理知识甚简，应用“推论 1”即可。 1 1 1 T P = 2 2 2 T P 2 1 = 2 1 1 2 P T PT = 2 2 1 1 P /T P /T 此式表明， T P 越大时，ρ 就越大。故本题归结为求 T P 的极大 值和极小值。 方法一：P 与 T 的关系服从圆的方程（参数方程为佳） T = Tc + rcosθ P = PC + rsinθ
引入y= ,然后求这个函数的极值… 方法二:见图6-1,从的几何意义可知,是等于状态点到原点的连线与T轴夹角的正切值 求P的极大和极小归结为求这个正切值的极大和极小一一很显 P/ 然,当直线与圆周的两处相切时,出现了这样的极大和极小值 min-a 而tga=P tgB=Te-To TT (注意:依题意,r=Tc-T) 图6-11 所以tg0m=1+=P2y2m+(-=T) gtpT√2TT-P2(Tc-T tg enin= tga-tgf TCTo-Tc(TC-T) +tgatgB Tc 2TTo +Pc(T-To) 【答案】〔 Pcv2T To +T(T-10)/(PV2TTo-Te(T-To) o-P(T-T) TcV2TT+P(T-T,) d、道尔顿分压定律:当有n种混合气体混合在一个容器中时,它们产生的压强等于每一种 气体单独充在这个容器中时所产生的压强之和。即P=P1+P2+P3+…+P 4、理想气体的内能、做功与吸放热计算 a、理想气体的内能计算 由于不计分子势能,故E=N·=NkT=NRT=Rr,其中N为分子总数,v 为气体的摩尔数。由于(对一定量的气体)内能是温度的单值函数,故内能的变化与过程完全没 有关系。 b、理想气体的做功计算 气体在状态变化时,其压强完全可以是变化的,所以气体压力的功从定义角度寻求比较困难 但我们可以从等压过程的功外推到变压过程的功(☆无限分割→代数累计…),并最终得出这样 个非常实用的结论:准静态过程理想气体的功W总是对应PV图象中的“面积”。这个面积的理解 分三层意思 ①如果体积是缩小的,外界对气体做功,面积计为正;②如果体积是增大的,气体对外界做 功,面积计为负:③如果体积参量变化不是单调的(例如循环过程),则面积应计相应的差值。如 图6-3所示
8 引入 y = T P = + + T r cos P rsin C C ，然后求这个函数的极值… 方法二：见图 6-11，从 T P 的几何意义可知， T P 等于状态点到原点的连线与 T 轴夹角的正切值， 求 T P 的极大和极小归结为求这个正切值的极大和极小——很显 然，当直线与圆周的两处相切时，出现了这样的极大和极小值。 θmax = α + β ，θmin =α − β 而 tgα= C C T P sinβ= 2 C 2 TC P r + tgβ= C 0 C 0 2T T T − T （注意：依题意，r = TC − T0 ） 所以 tgθmax = − + 1 tg tg tg tg = T 2T T P (T T ) P 2T T T (T T ) C C 0 C C 0 C C 0 C C 0 − − + − tgθmin = + − 1 tg tg tg tg = T 2T T P (T T ) P 2T T T (T T ) C C 0 C C 0 C C 0 C C 0 + − − − 【答案】〔 T 2T T P (T T ) P 2T T T (T T ) C C 0 C C 0 C C 0 C C 0 − − + − 〕/〔 T 2T T P (T T ) P 2T T T (T T ) C C 0 C C 0 C C 0 C C 0 + − − − 〕。 d、道尔顿分压定律：当有 n 种混合气体混合在一个容器中时，它们产生的压强等于每一种 气体单独充在这个容器中时所产生的压强之和。即 P = P1 + P2 + P3 + … + Pn 4、理想气体的内能、做功与吸放热计算 a、理想气体的内能计算 由于不计分子势能，故 E = N· K = N 2 i kT = N 2 i NA R T = 2 i RT ，其中 N 为分子总数， 为气体的摩尔数。由于（对一定量的气体）内能是温度的单值函数，故内能的变化与过程完全没 有关系。 b、理想气体的做功计算 气体在状态变化时，其压强完全可以是变化的，所以气体压力的功从定义角度寻求比较困难。 但我们可以从等压过程的功外推到变压过程的功（☆无限分割→代数累计…），并最终得出这样一 个非常实用的结论：准静态过程理想气体的功 W 总是对应 P-V 图象中的“面积”。这个面积的理解 分三层意思—— ①如果体积是缩小的，外界对气体做功，面积计为正；②如果体积是增大的，气体对外界做 功，面积计为负；③如果体积参量变化不是单调的（例如循环过程），则面积应计相应的差值。如 图 6-3 所示
D D A 图6-12 (☆学员思考:气体膨胀是不是一定对外做功? c、吸放热的计算 初中所学的通式Q=cm△T仍适用,但值得注意的是,对固体和液体而言,比热容c基本恒 定(和材料相关),但对气体而言,c会随着过程的不同而不同 对理想气体,我们一般引进“摩尔热容”C(从克拉珀龙方程知,我们关心气体的摩尔数更 甚于关心气体的质量),物理意义:1摩尔物质温度每升高IK所吸收的热量。摩尔热容和比热容的 关系C ①等容过程的摩尔热容称为“定容摩尔热容”,用C表示,所以Q=VC△T ②等压过程的摩尔热容称为“定压摩尔热容”,用C表示,所以Q=VC△T 对于其它的复杂过程而言,摩尔热容的表达比较困难,因此,用直接的途径求热量不可取 这时,我们改用间接途径:即求得ΔE和W后,再用热力学第一定律求Q。(☆从这个途径不难推 导出:①c=R,Cp=R+R,即Cp=C+R….;②E=vCT) 【例题8】0.1mol的单原子分子理想气体,经历如图6-13所示的A→B→C→A循环,已知的状 态途中已经标示。试问: (1)此循环过程中,气体所能达到的最高温度状态在何处,最高温度是多少? (2)C→A过程中,气体的内能增量、做功情况、吸 放热情况怎样? P/105P。 【解说】(1)介绍玻马定律的P-V图象,定性预计T 的大概位置(直线BC上的某一点)。定量计算PV的极大 值步骤如下 BC的直线方程为P V/10-m V2+21 图6-13 显然,当V=2时,y极大,此时 代入克拉珀龙方程:1×105×2×10-3=0.1×8.311x,解得Tnx=240.7K
9 （☆学员思考：气体膨胀是不是一定对外做功？…） c、吸放热的计算 初中所学的通式 Q = cmΔT 仍适用，但值得注意的是，对固体和液体而言，比热容 c 基本恒 定（和材料相关），但对气体而言，c 会随着过程的不同而不同。 对理想气体，我们一般引进“摩尔热容”C（从克拉珀龙方程知，我们关心气体的摩尔数更 甚于关心气体的质量），物理意义：1 摩尔物质温度每升高 1K 所吸收的热量。摩尔热容和比热容的 关系 C = cm 。 ①等容过程的摩尔热容称为“定容摩尔热容”，用 CV 表示，所以 Q = CVΔT ②等压过程的摩尔热容称为“定压摩尔热容”，用 CP 表示，所以 Q = CPΔT 对于其它的复杂过程而言，摩尔热容的表达比较困难，因此，用直接的途径求热量不可取， 这时，我们改用间接途径：即求得ΔE 和 W 后，再用热力学第一定律求 Q 。（☆从这个途径不难推 导出：① CV = 2 i R ，CP = 2 i R + R ，即 CP = CV + R … ；② E = CVT ） 【例题 8】0.1mol 的单原子分子理想气体，经历如图 6-13 所示的 A→B→C→A 循环，已知的状 态途中已经标示。试问： （1）此循环过程中，气体所能达到的最高温度状态在何处，最高温度是多少？ （2）C→A 过程中，气体的内能增量、做功情况、吸 放热情况怎样？ 【解说】（1）介绍玻马定律的 P-V 图象，定性预计 Tmax 的大概位置（直线 BC 上的某一点）。定量计算 PV 的极大 值步骤如下—— BC 的直线方程为 P = － 2 1 V + 2 y = PV = － 2 1 V 2 + 2V 显然，当 V = 2 时，y 极大，此时，P = 1 代入克拉珀龙方程：1×105×2×10－3 = 0.1×8.31Tmax ，解得 Tmax = 240.7K
(2)由克拉珀龙方程可以求得Te=180.5K=TB,Tk=60.2K △E=vR△T=0.1×2×8.31×(60.2-180.5)=-150.0J 根据“面积”定式,W=0.5×105×2×103=100J 计算Q有两种选择:a、Q=VC△T=0.1××8.31×(60.2-180.5)=-250.0J b、Q=△E-W=-250.0J 【答案】(1)V=2×10-3时,Tn为240.7K:(2)内能减少150.0J,外界对气体做功100J, 气体向外界放热250J 〖思考一〗B→C过程气体吸放热的情况又怎样? 〖解〗由于B→C过程一直是气体对外界做功,但內能却是先增后减,所以过程的吸放热情况 会复杂一些。 由△E=Q+W不难看出,TB到Tmax阶段肯定是吸热,但在Tmax到Tc阶段则无法定性判断 所以这里启用定量方法 在Tmax到Tc阶段取一个极短过程∨→(V+△V),在此过程中 △E=R△T=3△(PV)≈3(P△V+V△P) 由于P=-V+2,有△P=-1△V 故△E=(2-V)△V 又W=-△V(P+(P-△P)=-P少Ap△Vx-P△V=(V-2)△V("过 程极短”的缘故…) 所以Q=△E-W=(5-2V)AV Q2.5时开始吸热(转变体积V=2.5×10m3,对 应转变压强P’=075×105Pa,转变温度T=2256K a、吸热阶段:ΔE=0.1×3×831×(225.6-180.5)=56,2
10 （2）由克拉珀龙方程可以求得 TC = 180.5K = TB ，TA = 60.2K ΔE = 2 i RΔT = 0.1× 2 3 ×8.31×(60.2－180.5) = －150.0J 根据“面积”定式，W = 0.5×105×2×10-3 = 100J 计算 Q 有两种选择：a、Q = CPΔT = 0.1× 2 5 ×8.31×（60.2－180.5) = －250.0J b、Q = ΔE － W = －250.0J 【答案】（1）V = 2×10－3 时，Tmax为 240.7K；（2）内能减少 150.0J，外界对气体做功 100J， 气体向外界放热 250J 。 〖思考一〗B→C 过程气体吸放热的情况又怎样？ 〖解〗由于 B→C 过程一直是气体对外界做功，但内能却是先增后减，所以过程的吸放热情况 会复杂一些。 由ΔE = Q + W 不难看出，TB 到 Tmax 阶段肯定是吸热，但在 Tmax 到 TC阶段则无法定性判断。 所以这里启用定量方法—— 在 Tmax 到 TC阶段取一个极短过程 V →（V +ΔV），在此过程中 ΔE = 2 i RΔT = 2 3 Δ（PV）≈ 2 3 （PΔV + VΔP） 由于 P = － 2 1 V + 2 ，有ΔP = － 2 1 ΔV 故ΔE = 2 3 （2－V）ΔV 又 W = － 2 1 ΔV（P +〈P－ΔP〉）= －PΔV + 2 1 ΔPΔV ≈ －PΔV =（ 2 1 V－2）ΔV （“过 程极短”的缘故…） 所以 Q = ΔE－W =（5－2V）ΔV Q ＜ 0 时，气体开始放热，即 V ＞ 2.5 时开始吸热（转变体积 V′= 2.5×10-3m3 ，对 应转变压强 P′= 0.75×105Pa ，转变温度 T′= 225.6K）。 a、吸热阶段：ΔE = 0.1× 2 3 ×8.31×（225.6－180.5）= 56.2J
