《高中物理》第六部分热学.doc_大学文库

1 第六部分热学热学知识在奥赛中的要求不以深度见长，但知识点却非常地多（考纲中罗列的知识点几乎和整个力学——前五部分——的知识点数目相等）。而且，由于高考要求对热学的要求逐年降低（本届尤其低得“离谱”，连理想气体状态方程都没有了），这就客观上给奥赛培训增加了负担。因此，本部分只能采新授课的培训模式，将知识点和例题讲解及时地结合，争取让学员学一点，就领会一点、巩固一点，然后再层叠式地往前推进。一、分子动理论 1、物质是由大量分子组成的（注意分子体积和分子所占据空间的区别）对于分子（单原子分子）间距的计算，气体和液体可直接用 3 分子占据的空间，对固体，则与分子的空间排列（晶体的点阵）有关。【例题 1】如图 6-1 所示，食盐（NaCl）的晶体是由钠离子（图中的白色圆点表示）和氯离子（图中的黑色圆点表示）组成的，离子键两两垂直且键长相等。已知食盐的摩尔质量为 58.5×10－ 3 kg/mol，密度为 2.2×103 kg/m3，阿伏加德罗常数为 6.0×1023mol－1，求食盐晶体中两个距离最近的钠离子中心之间的距离。【解说】题意所求即图中任意一个小立方块的变长（设为 a）的 2 倍，所以求 a 成为本题的焦点。由于一摩尔的氯化钠含有 NA 个氯化钠分子，事实上也含有 2NA 个钠离子（或氯离子），所以每个钠离子占据空间为 v = A mol 2N V 而由图不难看出，一个离子占据的空间就是小立方体的体积 a 3 ，即 a 3 = A mol 2N V = A mol 2N M / ，最后，邻近钠离子之间的距离 l = 2 a 【答案】3.97×10－10 m 。〖思考〗本题还有没有其它思路？〖答案〗每个离子都被八个小立方体均分，故一个小立方体含有 8 1 ×8 个离子 = 2 1 分子，所以…（此法普遍适用于空间点阵比较复杂的晶体结构。） 2、物质内的分子永不停息地作无规则运动固体分子在平衡位置附近做微小振动（振幅数量级为 0.1 A 0 ），少数可以脱离平衡位置运动

2 液体分子的运动则可以用“长时间的定居（振动）和短时间的迁移”来概括，这是由于液体分子间距较固体大的结果。气体分子基本“居无定所”，不停地迁移（常温下，速率数量级为 102 m/s）。无论是振动还是迁移，都具备两个特点：a、偶然无序（杂乱无章）和统计有序（分子数比率和速率对应一定的规律——如麦克斯韦速率分布函数，如图 6-2 所示）；b、剧烈程度和温度相关。气体分子的三种速率。最可几速率 vP ：f(v) = N N （其中 ΔN 表示 v 到 v +Δv 内分子数，N 表示分子总数）极大时的速率，vP =  2RT = m 2kT ；平均速率 v ：所有分子速率的算术平均值， v =  8RT = m 8kT  ；方均根速率 2 v ：与分子平均动能密切相关的一个速率， 2 v =  3RT = m 3kT 〔其中 R 为普适气体恒量，R = 8.31J/(mol.K)。 k 为玻耳兹曼常量，k = NA R = 1.38×10－23J/K 〕【例题 2】证明理想气体的压强 P = 3 2 n K  ，其中 n 为分子数密度， K  为气体分子平均动能。【证明】气体的压强即单位面积容器壁所承受的分子的撞击力，这里可以设理想气体被封闭在一个边长为 a 的立方体容器中，如图 6-3 所示。考查 yoz 平面的一个容器壁，P = 2 a F ① 设想在Δt 时间内，有 Nx 个分子（设质量为 m）沿 x 方向以恒定的速率 vx 碰撞该容器壁，且碰后原速率弹回，则根据动量定理，容器壁承受的压力 F = t p   = t Nx 2mvx  • ② 在气体的实际状况中，如何寻求 Nx 和 vx 呢？考查某一个分子的运动，设它的速度为 v ，它沿 x、y、z 三个方向分解后，满足 v 2 = 2 x v + 2 y v + 2 z v 分子运动虽然是杂乱无章的，但仍具有“偶然无序和统计有序”的规律，即 2 v = 2 x v + 2 y v + 2 z v = 3 2 x v ③ 这就解决了 vx 的问题。另外，从速度的分解不难理解，每一个分子都有机会均等的碰撞 3 个容器壁的可能。设Δt = x v a ，则

统的状态所决定的一个数值相等的状态函数,这个状态函数被定义为温度。 2、温度 a、温度即物体的冷热程度,温度的数值表示法称为温标。典型的温标有摄氏温标t、华氏温标F(F=5t+32)和热力学温标T(T=t+273.15) b、(理想)气体温度的微观解释:s=kT(i为分子的自由度=平动自由度t+转动自由度r+振动自由度s。对单原子分子i=3,“刚性”〈忽略振动,s=0,但r=2〉双原子分子i=5。对于三个或三个以上的多原子分子,i=6。能量按自由度是均分的),所以说温度是物质分子平均动能的标志。 c、热力学第三定律:热力学零度不可能达到。(结合分子动理论的观点2和温度的微观解释很好理解。) 3、热力学过程 a、热传递。热传递有三种方式:传导(对长L、横截面积S的柱体,Q=K工-工SΔt)、对流和辐射(黑体表面辐射功率J=aT) b、热膨胀。线膨胀△1=a1o△t 【例题3】如图6-5所示,温度为0℃时,两根长度均为L的、均匀的不同金属棒,密度分别为p1和p2,现膨胀系数分别为a1和a2,它们的一端粘合在一起并从A点悬挂在天花板上恰好能水平静止。若温度升高到t℃,仍需它们水平静止平衡,则悬点应该如何调整? 【解说】设A点距离粘合端x,则 p1(-x)=p2(+x),得:x=L-P2) 设膨胀后的长度分别为L1和La,而且密度近似处理为不变, 则同理有 p, (L -x')=p,(L2+x'), 1:x'=LP,-LP2 图6-5 另有线膨胀公式,有L1=L(1+a1t),L2=L(1+a2t) 最后,设调整后的悬点为B,则AB 【答案】新悬点和原来的悬点之间相距P=aPLt。〖说明〗如果考虑到密度变化的实际情况p1=p1、p2=+p2,此题仍然是可解的,但最后的结果却复杂得多… C、系统由一个平衡态变化到另一个平衡态,即构成一个热力学过程。特殊的热力学过程有等压过程、等温过程、等容过程、绝热过程和自由膨胀等。准静态过程:如果变化过程相对缓慢,则过程的每一个状态可视为平衡态,这样的过程也称为准静态过程

4 统的状态所决定的一个数值相等的状态函数，这个状态函数被定义为温度。 2、温度 a、温度即物体的冷热程度，温度的数值表示法称为温标。典型的温标有摄氏温标 t、华氏温标 F（F = 5 9 t + 32）和热力学温标 T（T = t + 273.15）。 b、（理想）气体温度的微观解释： K  = 2 i kT （i 为分子的自由度 = 平动自由度 t + 转动自由度 r + 振动自由度 s 。对单原子分子 i = 3 ，“刚性”〈忽略振动，s = 0，但 r = 2〉双原子分子 i = 5 。对于三个或三个以上的多原子分子，i = 6 。能量按自由度是均分的），所以说温度是物质分子平均动能的标志。 c、热力学第三定律：热力学零度不可能达到。（结合分子动理论的观点 2 和温度的微观解释很好理解。） 3、热力学过程 a、热传递。热传递有三种方式：传导（对长 L、横截面积 S 的柱体，Q = K L T1 − T2 SΔt）、对流和辐射（黑体表面辐射功率 J = αT 4） b、热膨胀。线膨胀 Δl = αl0Δt 【例题 3】如图 6-5 所示，温度为 0℃时，两根长度均为 L 的、均匀的不同金属棒，密度分别为 ρ1 和 ρ2 ，现膨胀系数分别为 α1 和 α2 ，它们的一端粘合在一起并从 A 点悬挂在天花板上，恰好能水平静止。若温度升高到 t℃，仍需它们水平静止平衡，则悬点应该如何调整？【解说】设 A 点距离粘合端 x ，则 ρ1（ 2 L − x）=ρ2（ 2 L + x），得：x = 2( ) L( ) 1 2 1 2  +   −  设膨胀后的长度分别为 L1 和 L2 ，而且密度近似处理为不变，则同理有 ρ1（ 2 L1 − x′）=ρ2（ 2 L2 + x′），得：x′= 2( ) L L 1 2 1 1 2 2  +   −  另有线膨胀公式，有 L1 = L（1 + α1t），L2 = L（1 + α2t）最后，设调整后的悬点为 B ，则 AB = x′− x 【答案】新悬点和原来的悬点之间相距（ 1 2） 1 1 2 2 2  +    −   Lt 。〖说明〗如果考虑到密度变化的实际情况ρ1′= L1 L ρ1 、ρ2′= L2 L ρ2 ，此题仍然是可解的，但最后的结果却复杂得多… c、系统由一个平衡态变化到另一个平衡态，即构成一个热力学过程。特殊的热力学过程有等压过程、等温过程、等容过程、绝热过程和自由膨胀等。准静态过程：如果变化过程相对缓慢，则过程的每一个状态可视为平衡态，这样的过程也称为准静态过程

循环:如果系统经过一系列的变化后,又回到原来的平衡态,我们成这个过程为循环。 d、热力学第一定律:外界对系统所做的功W和系统从外界吸收热量Q之和,等于系统内能的增量ΔE,即ΔE=Q+W。热力学第一定律是能量守恒定律在热力学过程中的具体体现。 e、热力学第二定律:克劳修斯表述(克劳修斯在1850年提出):热量总是自动的从高温物体传到低温物体,不可能自动地由低温物体向高温物体传递。开尔文表述(开尔文在1851年提出) 不存在这样一种循环过程,系统从单一热源吸取热量,使之完全变为有用功而不产生其他影响违背热力学第二定律并不违背能量守恒,它所展示的是热力学过程的不可逆性一一即自发的热力学过程只会朝着混乱程度(熵)增大的方向发展、理想气体 1、气体实验三定律在压强不太大,温度不太低的条件下,气体的状态变化遵从以下三个实验定律 a、玻意耳-马略特定律:一定质量气体温度不变时,PV1=P2V2或P=恒量 b、查理定律:一定质量气体积不变时,=1或F=恒量 c、盖·吕萨克定律:一定质量气体压强不变时 V- V2 或ˇ=恒量【例题4】如图66所示,一端封闭、内径均匀的玻璃管长L=100cm,其中有一段长L′=15cm的水银柱把一部分空气封闭在管中。当管水平放置时,封闭气柱A长LA=40cm 现把管缓慢旋转至竖直后,在把开口端向下插入水银槽中, 直至A端气柱长L=37.5cm为止,这时系统处于静止平衡。已知大气压强P。=75cmHg,过程温度不变,试求槽内水银进入管内的水银柱的长度h 【解说】在全过程中,只有A部分的气体质量是不变的, B部分气体则只在管子竖直后质量才不变。所以有必要分过程解本题过程一:玻管旋转至竖直 A部分气体,LA′=鸟LA 75-15×40=50cm 图6-6 此时B端气柱长L′=L-LA-L′=100-50-15=35cm 过程二:玻管出入水银槽 A部分气体(可针对全程,也可针对过程二),p"=Lp=50×60=80cmHg 37.5

5 循环：如果系统经过一系列的变化后，又回到原来的平衡态，我们成这个过程为循环。 d、热力学第一定律：外界对系统所做的功 W 和系统从外界吸收热量 Q 之和，等于系统内能的增量ΔE ，即 ΔE = Q + W 。热力学第一定律是能量守恒定律在热力学过程中的具体体现。 e、热力学第二定律：克劳修斯表述（克劳修斯在 1850 年提出）：热量总是自动的从高温物体传到低温物体，不可能自动地由低温物体向高温物体传递。开尔文表述（开尔文在 1851 年提出）：不存在这样一种循环过程，系统从单一热源吸取热量，使之完全变为有用功而不产生其他影响。违背热力学第二定律并不违背能量守恒，它所展示的是热力学过程的不可逆性——即自发的热力学过程只会朝着混乱程度（熵）增大的方向发展。三、理想气体 1、气体实验三定律在压强不太大，温度不太低的条件下，气体的状态变化遵从以下三个实验定律 a、玻意耳-马略特定律：一定质量气体温度不变时，P1V1 = P2V2 或 PV = 恒量 b、查理定律：一定质量气体体积不变时， 1 1 T P = 2 2 T P 或 T P = 恒量 c、盖·吕萨克定律：一定质量气体压强不变时， 1 1 T V = 2 2 T V 或 T V = 恒量【例题 4】如图 6-6 所示，一端封闭、内径均匀的玻璃管长 L = 100cm ，其中有一段长 L′= 15cm 的水银柱把一部分空气封闭在管中。当管水平放置时，封闭气柱 A 长 LA = 40cm。现把管缓慢旋转至竖直后，在把开口端向下插入水银槽中，直至 A 端气柱长  LA = 37.5cm 为止，这时系统处于静止平衡。已知大气压强 P0 = 75cmHg，过程温度不变，试求槽内水银进入管内的水银柱的长度 h 。【解说】在全过程中，只有 A 部分的气体质量是不变的， B 部分气体则只在管子竖直后质量才不变。所以有必要分过程解本题。过程一：玻管旋转至竖直 A 部分气体，LA′=  A A P P LA = 75 15 75 − ×40 = 50cm 此时 B 端气柱长 LB′= L − LA′− L′= 100 − 50 − 15 = 35cm 过程二：玻管出入水银槽 A 部分气体（可针对全程，也可针对过程二），  PA =   A A L L  PA = 37.5 50 ×60 = 80cmHg

B部分气体,L"=鸟L P 最后,h=L-L 【答案】19.9cm。 2、理想气体宏观定义:严格遵守气体实验定律的气体微观特征:a、分子本身的大小比起它们的间距可以忽略,分子不计重力势能;b、除了短暂的碰撞过程外,分子间的相互作用可以忽略一一意味着不计分子势能;c、分子间的碰撞完全是弹性的 *理想气体是一种理想模型,是实际气体在某些条件约束下的近似,如果这些条件不满足, 我们称之为实际气体,如果条件满足不是很好,我们还可以用其它的模型去归纳,如范德瓦尔斯气体、昂尼斯气体等。理想气体压强的微观解释:P=2n,其中n为分子数密度(n=N)。 3、理想气体状态方程:一定质量的理想气体 P V Pv2PⅤ 恒量理想气体状态方程可以由三个试验定律推出,也可以由理想气体的压强微观解释和温度微观解释推导得出。【例题5】如图6-7所示,在标准大气压下,一端封闭的玻璃管长96cm,内有段长20cm的水银柱,当温度为27℃且管口向上竖直放置时,被封闭的气柱长为 16cm 60cm。试问:当温度至少升高到多少度,水银柱才会从玻璃管中全部溢出? 【解说】首先应该明确的是,这是一个只有唯一解的问题还是一个存在范围讨论的问题如果是前一种可能,似乎应该这样解:P=P2,即6+20×60=76×96 T2 得:T2=380K 但是,仔细研究一下升温气体膨胀的全过程,就会发现,在某些区域,准静态过程是不可能达成的,因此状态方程的应用失去意义。为了研究准静态过程是否可能达成,我们可以假定水银柱是受到某种制约而准静图67 态膨胀的,这样,气柱的压强只受玻马定律制约(而与外界大气压、水银柱长没有关系),设为P 而对于一般的末状态,水银柱在管中剩下的长度设为x。从初态到这个一般的末态 =羋,即④3=,得P=B2 隔离水银柱下面的液面分析,可知P≤76+x时准静态W2K 过程能够达成(P可以随升温而增大,直至不等式取等号), 而P>76+x时准静态过程无法达成(T升高时,P增大而 x减小),水银自动溢出 X/cm 图6-8

6 B 部分气体，  LB =   B B P P  LB = A L 0 P P P +    LB = 80 15 75 + ×35 ≈ 27.6cm 最后，h = L -  LA − L′−  LB 【答案】19.9cm 。 2、理想气体宏观定义：严格遵守气体实验定律的气体。微观特征：a、分子本身的大小比起它们的间距可以忽略，分子不计重力势能；b、除了短暂的碰撞过程外，分子间的相互作用可以忽略——意味着不计分子势能；c、分子间的碰撞完全是弹性的。 *理想气体是一种理想模型，是实际气体在某些条件约束下的近似，如果这些条件不满足，我们称之为实际气体，如果条件满足不是很好，我们还可以用其它的模型去归纳，如范德瓦尔斯气体、昂尼斯气体等。理想气体压强的微观解释：P = 3 2 n K  ，其中 n 为分子数密度（n = V N ）。 3、理想气体状态方程：一定质量的理想气体， 1 1 1 T P V = 2 2 2 T P V 或 T PV = 恒量理想气体状态方程可以由三个试验定律推出，也可以由理想气体的压强微观解释和温度微观解释推导得出。【例题 5】如图 6-7 所示，在标准大气压下，一端封闭的玻璃管长 96cm ，内有一段长 20cm 的水银柱，当温度为 27℃且管口向上竖直放置时，被封闭的气柱长为 60cm。试问：当温度至少升高到多少度，水银柱才会从玻璃管中全部溢出？【解说】首先应该明确的是，这是一个只有唯一解的问题还是一个存在范围讨论的问题。如果是前一种可能，似乎应该这样解： 1 1 1 T PL = 2 2 2 T P L ，即 300 （76 + 20）60 = T2 7696 ，得：T2 = 380K 但是，仔细研究一下升温气体膨胀的全过程，就会发现，在某些区域，准静态过程是不可能达成的，因此状态方程的应用失去意义。为了研究准静态过程是否可能达成，我们可以假定水银柱是受到某种制约而准静态膨胀的，这样，气柱的压强只受玻马定律制约（而与外界大气压、水银柱长没有关系），设为 P 。而对于一般的末状态，水银柱在管中剩下的长度设为 x 。从初态到这个一般的末态 1 1 1 T PL = T PL ，即 300 （76 + 20）60 = T P(96 − x) ，得 P = 96 x 19.2T − 隔离水银柱下面的液面分析，可知 P ≤ 76 + x 时准静态过程能够达成（P 可以随升温而增大，直至不等式取等号），而 P ＞ 76 + x 时准静态过程无法达成（T 升高时，P 增大而 x 减小），水银自动溢出

7 所以，自动溢出的条件是：T ＞ 19.2 1 （－x 2 + 20x + 7296）考查函数 y = 19.2 1 （－x 2 + 20x + 7296）发现，当 x = 10cm 时，ymax = 385.2K 而前面求出的 x = 0 时，T 只有 380K，说明后阶段无须升温，即是自动溢出过程．．．．．．．．．．．．．．．．（参照图 6-8 理解）。而 T ＞ ymax 即是题意所求。【答案】385.2K 。 a、推论 1： 1 1 1 T P  = 2 2 2 T P  ，此结论成功地突破了“质量一定”的条件约束，对解某些特殊问题非常有效。 b、克拉珀龙方程：原方程中，将“恒量”定量表达出来就成为 PV =  RT ，其中  为气体的摩尔数，这个结论被成为克拉珀龙方程。它的优点是能使本来针对过程适用的方程可以应用到某个单一的状态。 c、推论 2：气体混合（或分开）时， 1 1 1 T P V + 2 2 2 T P V + … + n n n T P V  T PV ，这个推论很容易由克拉珀龙方程导出。【例题 6】图 6-9 是一种测量低温用的气体温度计，它的下端是测温泡 A ，上端是压力计 B ，两者通过绝热毛细管相连，毛细管容积不计。操作时先把测温计在室温 T0 下充气至大气压 P0 ，然后加以密封，再将 A 浸入待测液体中，当 A 和待测液体达到热平衡后，B 的读数为 P ，已知 A 和 B 的容积分别为 VA 和 VB ，试求待测液体的温度。【解说】本题是“推论 2”的直接应用 0 0 A B T P (V + V ) = A A T PV + 0 B T PV 【答案】TA = 0 A B B A 0 P (V V ) PV PV T + − 【例题 7】图 6-10 所示是一定质量理想气体状态变化所经历的 P-T 图线，该图线是以 C 点为圆心的圆。P 轴则 C 点的纵坐标 PC 为单位（T 轴以 TC 为单位）。若已知在此过程中气体所经历的最低温度为 T0 ，则在此过程中，气体密度的最大值 ρ1 和最小值 ρ2 之比 ρ1/ρ2 应等于多少？【解说】本题物理知识甚简，应用“推论 1”即可。 1 1 1 T P  = 2 2 2 T P   2 1   = 2 1 1 2 P T PT = 2 2 1 1 P /T P /T 此式表明， T P 越大时，ρ 就越大。故本题归结为求 T P 的极大值和极小值。方法一：P 与 T 的关系服从圆的方程（参数方程为佳） T = Tc + rcosθ P = PC + rsinθ

8 引入 y = T P = +  +  T r cos P rsin C C ，然后求这个函数的极值… 方法二：见图 6-11，从 T P 的几何意义可知， T P 等于状态点到原点的连线与 T 轴夹角的正切值，求 T P 的极大和极小归结为求这个正切值的极大和极小——很显然，当直线与圆周的两处相切时，出现了这样的极大和极小值。 θmax = α + β ，θmin =α − β 而 tgα= C C T P sinβ= 2 C 2 TC P r +  tgβ= C 0 C 0 2T T T − T （注意：依题意，r = TC − T0 ）所以 tgθmax = −    +  1 tg tg tg tg = T 2T T P (T T ) P 2T T T (T T ) C C 0 C C 0 C C 0 C C 0 − − + − tgθmin = +    −  1 tg tg tg tg = T 2T T P (T T ) P 2T T T (T T ) C C 0 C C 0 C C 0 C C 0 + − − − 【答案】〔 T 2T T P (T T ) P 2T T T (T T ) C C 0 C C 0 C C 0 C C 0 − − + − 〕/〔 T 2T T P (T T ) P 2T T T (T T ) C C 0 C C 0 C C 0 C C 0 + − − − 〕。 d、道尔顿分压定律：当有 n 种混合气体混合在一个容器中时，它们产生的压强等于每一种气体单独充在这个容器中时所产生的压强之和。即 P = P1 + P2 + P3 + … + Pn 4、理想气体的内能、做功与吸放热计算 a、理想气体的内能计算由于不计分子势能，故 E = N· K  = N 2 i kT = N 2 i NA R T =  2 i RT ，其中 N 为分子总数，  为气体的摩尔数。由于（对一定量的气体）内能是温度的单值函数，故内能的变化与过程完全没有关系。 b、理想气体的做功计算气体在状态变化时，其压强完全可以是变化的，所以气体压力的功从定义角度寻求比较困难。但我们可以从等压过程的功外推到变压过程的功（☆无限分割→代数累计…），并最终得出这样一个非常实用的结论：准静态过程理想气体的功 W 总是对应 P-V 图象中的“面积”。这个面积的理解分三层意思—— ①如果体积是缩小的，外界对气体做功，面积计为正；②如果体积是增大的，气体对外界做功，面积计为负；③如果体积参量变化不是单调的（例如循环过程），则面积应计相应的差值。如图 6-3 所示

《高中物理》第六部分 热学

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