《大学物理》第五章 稳恒电流的磁场

第五章稳恒电流的磁场 磁感应强度B的定义 1从运动电荷受的力(洛仑兹力): q B 2从电流元受的力(安培力) 安=/d d F 3.从磁矩受的力矩 =IS M B S=ISn B的物理意义(例如从安培力的角度): (d F B=d—单位电流元在该处 所受的最大安培力。 磁力线磁通量 磁力线的特征 1闭合曲线 2与电流相互套连 3.方向与电流的方向服从右手螺旋定则 磁通量的定义 do.=Bds B=dΦ d s B也叫磁通密度。 B·dS

第五章 稳恒电流的磁场 一. 磁感应强度 B  的定义 1.从运动电荷受的力(洛仑兹力)： f qV B    洛 =  2.从电流元受的力（安培力）: F I l B    d 安 = d  3.从磁矩受的力矩: pm IS   = M pm B    =  B  的物理意义（例如从安培力的角度）： ( ) I l F B d d 安 max = ⎯⎯单位电流元在该处 所受的最大安培力。 二. 磁力线 磁通量 磁力线的特征: 1.闭合曲线 2.与电流相互套连 3.方向与电流的方向服从右手螺旋定则 磁通量的定义: m B S   d = d ⊥  = S B m d d ⎯⎯ B  也叫磁通密度。 B S s m    = d  Pm S=ISnˆ I S

三.磁场的基本规律 1基本实验规律 (1)毕奥一萨伐尔定律 dB。/dl×f 4丌r 真空磁导率H0=4x×10T·m/A (2)叠加原理 B B=「dB 利用毕奥一萨伐尔定律和叠加原理,原则上可以求任意电流 的磁场 2基本定理 (1)B的高斯定理(磁通连续方程): B·ds=0 B的高斯定理在分析些问趔时很有用。 (2)安培环路定理: 于月:d7=A∑l 它只适用于稳恒电流。 Ⅰ内有正、负,与L成右手螺旋关系为正 B是全空间电流的贡献但只有1对环流∮Bd7有贡献。 般于Bd≠O,说明后为非保守场(称为涡旋场)安培环路定理 在计算具有对称性分布的磁场时很有用。 四.B的计算方法 “毕奧一萨伐尔定律+叠加原理”法

三. 磁场的基本规律 1.基本实验规律 （1） 毕奥－萨伐尔定律 2 4 d ˆ d r I l r B o    =   真空磁导率 o 4 10 T m / A 7 =   −   （2）叠加原理   = = B B B B i i     d 利用毕奥－萨伐尔定律和叠加原理，原则上可以求任意电流 的磁场。 2.基本定理 （1） B  的高斯定理 (磁通连续方程)：   = s B d s 0   B  的高斯定理在分析一些问题时很有用。 （2）安培环路定理：  B l = I 内 L o   d 它只适用于稳恒电流。 I 内有正、负, 与L成右手螺旋关系为正。 B  是全空间电流的贡献,但只有 I 内 对环流   L B l   d 有贡献。一 般    L B l o   d ,说明 B  为非保守场（称为涡旋场）。安培环路定理 在计算具有对称性分布的磁场时很有用。 四. B  的计算方法 “毕奥－萨伐尔定律 + 叠加原理”法

例.已知无限长密绕螺线管轴线上的磁感应强度B=on,试证 管内为均匀磁场管外无磁场。 【证】先分析B的方向: 设场点P处B=BF+B0+B2 过场点P作轴对称的圆形环路L(如图所示),由安培环路定理 B(?) B ∑ Ional d 手B.d7=∑l 有「Bd7=Ed7+于d1+2.d1 0+B62r+0=0·0 所以B 过场点P,作一个轴对称的圆柱面为高斯面,长为l,半径为n(如 图所示), B·dS=0 由高斯定律 手BdS于B·dS+∮B:dS 2d5+-d5+2ds B.2mrl+B.dS-lBdS 右 左 B 2Zr=0 所以B=0

例. 已知无限长密绕螺线管轴线上的磁感应强度 B=0nI, 试证: 管内为均匀磁场,管外无磁场。 【证】先分析 B  的方向： 设场点 P 处 B B r B B z r z ˆ ˆ = ˆ +   +  过场点 P 作轴对称的圆形环路 L(如图所示)，由安培环路定理  B l = I内 L o   d 有      =  +  +  L z L L L r B l B l B l B l         d d  d d = 0 + B 2r + 0 = 0 0 所以 B = 0 。 过场点 P，作一个轴对称的圆柱面为高斯面，长为 l ,半径为 r(如 图所示)， 由高斯定律 d = 0  s B S   2 0 2 d d d d d d d d = = =  +  −  =  +  +   =  +         B rl B rl B S B S B S B S B S B S B S B S r r z z r z z s s r z s   右 左 侧 右 左             所以 Br = 0。 P P ’ ’ P ’’ P P ’ ’ Br P B(?) Bz B r L l I a b d c d’ c' P’’ P’ z  I 内=nabI

因此,B=B2。 设管内任一场点P’,过该点作矩形环路abcd(如上图所示), 利用安培环路定理 B·dl=B轴·ab-Bn,·ab=1·0=0 10n 设管外任场点P’过该点作矩形不路abc’d’(如上图所示,有 B dl=Bab-B ab=uonabl Bp.=B轴-4nl=0证毕 3.叠加法 如果有几个电流,则有B=∑B 所以典型电流的磁感应强度B必须记住 五.几种典型电流的B ◆一段载流直导线 B=“2(cos-cos) ◆无限长载流直导线B=1 2丌r ◆无限长均匀载流薄圆筒 B1=01外2xr ◆无限长载流密绕直螺线管,细螺绕环 内=0m1,B外=0 ◆圆电流圈的圆心和轴线上 2R 10S 轴线 2r(R2+x)2

因此， B B zz = ˆ  。 设管内任一场点 P’，过该点作矩形环路 a b c d(如上图所示)， 利用安培环路定理  d =  − ,  = 0  0 = 0  B l B ab B ab  轴 P    B B nI P , = 轴 = 0 设管外任一场点P”，过该点作矩形环路a b c’d’(如上图所示)，有 B l B ab B ab n ab I  P d = 轴 − ,, = 0    B ,, = B − 0 nI = 0 P 轴  证毕。 3. 叠加法 如果有几个电流, 则有 = i B Bi   所以典型电流的磁感应强度 B  必须记住。 五. 几种典型电流的 B  一段载流直导线 ( ) 1 2 0 cos cos 4     = − r I B 无限长载流直导线 r I B   2 0 = 无限长均匀载流薄圆筒 r I B B   2 0 0 内 = ， 外 = 无限长载流密绕直螺线管，细螺绕环 B内 = 0 nI，B外 = 0 圆电流圈的圆心和轴线上 ( ) 3/ 2 2 2 0 0 2 2 R x IS B R I B + = =    轴线 中心

◆无限大均匀平面电流的 磁场两侧为均匀磁场 方向相反(右手定则), B 大小为B= j--面电流密度矢量的大小,为通过垂直电流方向的单位 长度上的电流。 第六章磁场中的磁介质 §1磁介质对磁场的影响 在磁场作用下能发生变化并能反过来影响磁场的媒质叫 做磁介质。事实上,在磁场中的实物物质都是磁介质。 电场: 在充电的平行板电容器的均匀电场中放一块与极板绝缘 的导体,导体内的场强削弱为零。若放一块电介质,电介质 内的场强也有一定程度的削弱。 磁场: 在一个通电流Ⅰ的长直螺线管中有一个均匀磁场B0,将磁 介质充满该磁场(保持电流不变)。实验发现:不同磁介质中 的磁场不同,有的比B略小,有的比尻略大,有的比B大许 多倍 Brs=u, Bo ·该磁介质的相对磁导率 (1)抗磁质μ略1(铁,钴,镍等) Br=a, Bo =Pou, n/ n

无限大均匀平面电流的 磁场,两侧为均匀磁场, 方向相反(右手定则)， 大小为 2 0 j B  = j ----面电流密度矢量的大小，为通过垂直电流方向的单位 长度上的电流。 第六章 磁场中的磁介质 §1 磁介质对磁场的影响 在磁场作用下能发生变化并能反过来影响磁场的媒质叫 做磁介质。事实上，在磁场中的实物物质都是磁介质。 电场： 在充电的平行板电容器的均匀电场中放一块与极板绝缘 的导体,导体内的场强削弱为零。若放一块电介质, 电介质 内的场强也有一定程度的削弱。 磁场： 在一个通电流 I 的长直螺线管中有一个均匀磁场 B0  ,将磁 介质充满该磁场（保持电流不变）。实验发现:不同磁介质中 的磁场不同，有的比 B0略小,有的比 B0略大，有的比 B0大许 多倍。 B内 = r B0 r ……该磁介质的相对磁导率 （1）抗磁质 r 略1 （铝,锰,氧等） （3）铁磁质 r >> 1 （铁,钴,镍等） nI nI B B r r     = = = 0 内 0 B j

式中H=01……磁介质的磁导率 §2磁介质的磁化 在外磁场作用下磁介质出现磁性或磁性发生变化的现象称 为磁化 分子是一个复杂的带电 系统。一个分子有一个等 效电流 相应有一个 分子等效磁矩 卩m是各个的电子轨道磁矩、电子自旋磁 矩、原子核磁矩的总和。 顺磁质 顺磁质的分子等效磁矩Pm≠0,称为分子固有磁矩。 般由于分子的热运动,Pm完全是混乱的,但是在外 磁场中Pm会发生转向,这就是顺磁质的“磁化” 外磁场越强,转向排列越整齐。 B S N dl M d t 如图所示,顺磁质内部的磁场是被加强的,而且顺磁质会被 磁铁吸引 抗磁质

式中  = 0 r ……磁介质的磁导率 §2 磁介质的磁化 在外磁场作用下磁介质出现磁性或磁性发生变化的现象称 为磁化。 分子是一个复杂的带电 系统。 一个分子有一个等 效电流 i , 相应有一个 分子等效磁矩 p is m   = m p  是各个的电子轨道磁矩、电子自旋磁 矩、原子核磁矩的总和。 一. 顺磁质 顺磁质的分子等效磁矩 pm  ≠0，称为分子固有磁矩。 一般由于分子的热运动, pm  完全是混乱的,但是在外 磁场中 pm  会发生转向, 这就是顺磁质的“磁化”。 外磁场越强,转向排列越整齐。 如图所示,顺磁质内部的磁场是被加强的,而且顺磁质会被 磁铁吸引。 二． 抗磁质 Pm S i t L M d d    = S N B Pm i S N

抗磁质的分子固有磁矩Pm=0。但是在外磁场中会产生 分子感应磁矩 以分子中某个电子的轨道运动为例(分子固有磁矩为零, 分子中某个电子的轨道磁矩不见得为零),电子的轨道运动 角动量L与轨道磁矩Pm如图所示,该磁矩在外磁场中要受 力矩M M=pm×B 所以dL的方向即M的方向,L要发生进动(俯视为逆 时针方向进动)。 进动附加的进动角动量L是与B的方向一致的。与这一进 动相应的磁矩,称感应磁矩^m,它是与B反向的 这是以分子中某个电子的轨道运动为例,总的来说,一个 抗磁质分子在外磁场中会产生一个与外磁场反方向的分子 感应磁矩。 <FGS 抗磁质中,与分子感应磁矩相应的分子感应电流

抗磁质的分子固有磁矩 pm  =0。但是在外磁场中会产生 分子感应磁矩。 以分子中某个电子的轨道运动为例（分子固有磁矩为零, 分子中某个电子的轨道磁矩不见得为零）,电子的轨道运动 角动量 L  与轨道磁矩 pm  如图所示,该磁矩在外磁场中要受 力矩 M  , M pm B    =  所以 L  d 的方向即 M  的方向， L  要发生进动（俯视为逆 时针方向进动）。 进动附加的进动角动量 L  *是与 B  的方向一致的。与这一进 动相应的磁矩，称感应磁矩 pm    ，它是与 B  反向的。 这是以分子中某个电子的轨道运动为例，总的来说，一个 抗磁质分子在外磁场中会产生一个与外磁场反方向的分子 感应磁矩。 抗磁质中，与分子感应磁矩相应的分子感应电流 P ’ m L * L B Pm -e -e pm i N N S S B

i的方向如图所示。 这就是抗磁质的磁化。因此,在抗磁质内部的磁场是被 削弱的,而且抗磁质会被磁铁排斥 虽然顺磁质分子也会产生感应磁矩,但由于它远小于固 有磁矩,所以顺磁质中主要是固有磁矩起作用。 总之:在外磁场的作用下,磁介质表面出现感应电流,即束缚电 流 §3H的环路定理 磁场中有磁介质存在的时候如何求B? 设传导电流0→B0; 束缚电流P→B'; B=Bo+ B 基本规律应是对总B ◆高斯定律 B·dS=0 ◆安培环路定理 手Bd=∑(呐+ 引入辅助量磁场强度H。 H·dl=l 有 H的环路定理 磁场中沿任一闭合路径的磁场强度的环流,等于该闭合路 径所套连的传导电流的代数和。 当无磁介质时,上式就过渡到真空时的安培环路定理。 对各向同性的磁介质 B=uH 若传导电流的分布有对称性,就可以利用H的环路定理,由

i 的方向如图所示。 这就是抗磁质的磁化。因此,在抗磁质内部的磁场是被 削弱的, 而且抗磁质会被磁铁排斥。 虽然顺磁质分子也会产生感应磁矩,但由于它远小于固 有磁矩,所以顺磁质中主要是固有磁矩起作用。 总之：在外磁场的作用下，磁介质表面出现感应电流，即束缚电 流。 §3 H  的环路定理 磁场中有磁介质存在的时候如何求 B?  设 传导电流 ; 0 B0 I  → 束缚电流 I → B;  B = B + B    0 基本规律应是对总 B  : 高斯定律   = s B d S 0   安培环路定理   =  +  L B d l  0 (I0内 I内）   引入辅助量 磁场强度 H  。 有   =  L H l I0内 d   ⎯⎯ H  的环路定理 磁场中沿任一闭合路径的磁场强度的环流,等于该闭合路 径所套连的传导电流的代数和。 当无磁介质时,上式就过渡到真空时的安培环路定理。 对各向同性的磁介质 B H   =  若传导电流的分布有对称性,就可以利用 H  的环路定理，由

传导电流求出H,然后再得到磁感应强度B 基本要求 1.掌握飇感应强度的概念。理解毕奥·萨伐尔定律,能计算一些简单问题中的磁感应强度 2.理解稳恒磁场的规律,磁场高斯定理和安培环路定理。 3.理解用安培环路定理计算磁感应强度的条件和方法。 4.理解安培定律和洛伦兹力公式。 5.了解电偶极矩和磁矩的概念。能计算简单几何形状载流导体和载流平面线圈在均匀磁场中,或 在无限长直载流导线产生的非均匀磁场中所受的力和力矩。能分析点电荷在均匀磁场中的受力和 6.了解介质的磁化现象及其微观解释。了解介质中的安培环路定理 、知识系统图 真空中的磁场 磁场的描述 磁感应强度: B 磁感应线:方向及密度 磁通量:①=B 电流的磁场 磁场对电流的作用 比-萨-拉定律: 基本方程 安培定律: 高斯定理: 磁场对载流 dB dF=ld x B B 线圈的力矩: 叠加原理:B=JdB 安培环路定律 运动电荷的磁场 fB·d=4∑l 洛仑兹力 Pm=N·/Si B=.卯 9xB) 4I 计算与应用 计算与应用 长直电流、圆电流、螺线管、圆柱电流 电流受力、定义“安培”、电磁仪表、磁透 对称面电流等产生的磁场 镜、加速器、质谱仪、霍尔效应等

传导电流求出 H  ,然后再得到磁感应强度 B  。 一、基本要求 1．掌握磁感应强度的概念。理解毕奥一萨伐尔定律，能计算一些简单问题中的磁感应强度。 2．理解稳恒磁场的规律，磁场高斯定理和安培环路定理。 3．理解用安培环路定理计算磁感应强度的条件和方法。 4．理解安培定律和洛伦兹力公式。 5．了解电偶极矩和磁矩的概念。能计算简单几何形状载流导体和载流平面线圈在均匀磁场中，或 在无限长直载流导线产生的非均匀磁场中所受的力和力矩。能分析点电荷在均匀磁场中的受力和 运动。 6．了解介质的磁化现象及其微观解释。了解介质中的安培环路定理。 二、知识系统图 计算与应用 长直电流、圆电流、螺线管、圆柱电流、 对称面电流等产生的磁场。 计算与应用 电流受力、定义“安培”、电磁仪表、磁透 镜、加速器、质谱仪、霍尔效应等。 真空中的磁场 比-萨-拉定律： 2 r 0 Id rˆ 4π B  =  l   μ0 d 叠加原理： B =  dB   运动电荷的磁场： 2 r qv rˆ 4π B μ0 0  =    磁场的描述 磁感应强度： qv F B m =  磁感应线： 方向及密度 磁通量：  =  S Φ B dS   电流的磁场 磁场对电流的作用 基本方程 高斯定理： B dS 0 S  =   安培环路定律： L  l =μ0I   B d 安培定律： dF Id B    = l  =   L F Id B    l 洛仑兹力： F q(v B)    =  磁场对载流 线圈的力矩： M pm B    =  p N ISn ˆ m =  

例题 1.如图所示,两电流元4l1和2d2距离为r;并互相垂直,这 两电流元之间的相互作用力是否大小相等、方向相反?如果不是, 那么是否违反牛顿第三定律? 分析:由毕奥一萨伐尔定律,l1dl1在I2dl2知处产生的场强大小为 B21=Hol,dl ,方向垂直向里,如图所示。由安培定律,2dl2 所受作用力大小为dF21=l2dl2B32,方向如图所示。同理,l2dl2在④l1处产生的磁场大 小为B12=0,1dl1所受作用力大小为dF12=0 由此可见,这两个电流元之间的相互作用力似乎不遵守牛顿第三定律。但仔细想一想会 发现,两个电流源受到的是当地磁场的力,施力者是磁场,受力者是电流元,如电流元l41 受力dF12对应的反作用力,应该是磁场受力dF12,而不是l2dl2受到的作用力dF21,dF12和 dF12才是一对作用力和反作用力,而d12、dF21两者不等,并不违反牛顿第三定律 实际上,当考虑稳恒电流时,并不存在两个孤立的电流元,谈两个电流元的作用和反作 用力,是没有实际意义的。实际上存在的,只有两个稳恒的闭合电路,这两个回路之间的作 用力,根据安培定律计算,是一定符合牛顿第三定律的 2.由毕奥一萨伐尔定律可以导出“无限长”直载流导线的磁场公式为 B 2 当场点无限接近导线(P→0)时,B→∞,这个结果显然没有物理意义,应如何解释? 分析:公式B=0l/2m只对线电流适用。所谓“线电流”是指电流横截面的线度比从该 截面到场中考察点的距离小得多的情况。当r→0时,线电流概念已不复存在,必须将导线 视为有一定截面积的载流导体考虑,上式中的电流Ⅰ不再是恒定值。只要电流密度到处有限 这样求得的B仍为一有限值,不会成为无限大。 3.按毕奥一萨伐尔定律可求得真空中一有限载流直导线AB在空间P点产生的磁感应强度 大小为 B=4m(cost+ cos82) 方向垂直于OP,今沿图中圆形环路C做B的线积分,得到 fB.dr 此结果与安培环路定理不一致,这是什么原因? 分析:安培环路定理仅适用于稳恒电流,而稳恒电流必定是闭合的。 若AB中电流是稳恒的,则本题要求计算的是闭合电流磁场的一部分一一只是AB段电流在 P点产生的磁感应强度,而安培环路定理中的B所表达的是闭合电流产生的全部的磁场,故 两者不相一致。对非闭合电流在空间一点产生的磁场,只能用毕奥一萨伐尔定律求得。 4.一无限长任意导线中通以电流Ⅰ,有人运用安培环路定律计算空间P点的磁感应强度 由5Bd=1,得到B=H0l/2m,与无限长载流直导线的磁场一样。这样处理对吗? 分析:这样处理显然是错误的。使用安培环路定律计算磁感应强度时,是有一定条件的,即 B可以从积分式中作为常量提出来,因为5Bd=5 Bcos a,所以 在积分路径L或各个分段路径上,应保证B为常量,而且为已知。本 题中给出的电流形状是任意的,积分路径L上各处的B及都无法确定 故不能用安培环路定律求得。一般只是具有一定对称性的或分段均匀的 磁场分布,才能应用安培环路定律求其磁感应强度。 5.在一长直载流螺线管外做一平面圆回路L,且其平面垂直于螺线管的

例题 1．如图所示，两电流元 1 1 I dl  和 2 2 I dl  距离为 r；并互相垂直，这 两电流元之间的相互作用力是否大小相等、方向相反？如果不是， 那么是否违反牛顿第三定律？ 分析： 由毕奥—萨伐尔定律， 1 1 I dl  在 2 2 I dl  处产生的场强大小为 2 1 1 21 4 r I dl π μ B 0 = ，方向垂直向里，如图所示。由安培定律， 2 2 I dl  所受作用力大小为 21 2dl2B12 dF = I ，方向如图所示。同理， 2 2 I dl  在 1 1 I dl  处产生的磁场大 小为 B12 = 0， 1 1 I dl  所受作用力大小为 dF12 = 0 由此可见，这两个电流元之间的相互作用力似乎不遵守牛顿第三定律。但仔细想一想会 发现，两个电流源受到的是当地磁场的力，施力者是磁场，受力者是电流元，如电流元 1 1 I dl  受力 dF12 对应的反作用力，应该是磁场受力 dF12  ，而不是 2 2 I dl  受到的作用力 dF21，dF12 和 dF12  才是一对作用力和反作用力，而 dF12、 dF21 两者不等，并不违反牛顿第三定律。 实际上，当考虑稳恒电流时，并不存在两个孤立的电流元，谈两个电流元的作用和反作 用力，是没有实际意义的。实际上存在的，只有两个稳恒的闭合电路，这两个回路之间的作 用力，根据安培定律计算，是一定符合牛顿第三定律的。 2．由毕奥—萨伐尔定律可以导出“无限长”直载流导线的磁场公式为 r μ I B 2 0 = 当场点无限接近导线（r→0）时，B→∞，这个结果显然没有物理意义，应如何解释？ 分析：公式 B μ I 2r = 0 只对线电流适用。所谓“线电流”是指电流横截面的线度比从该 截面到场中考察点的距离小得多的情况。当 r→0 时，线电流概念已不复存在，必须将导线 视为有一定截面积的载流导体考虑，上式中的电流 I 不再是恒定值。只要电流密度到处有限， 这样求得的 B 仍为一有限值，不会成为无限大。 3．按毕奥—萨伐尔定律可求得真空中一有限载流直导线 AB 在空间 P 点产生的磁感应强度 大小为 ( ) 4 1 2 0 cosθ cosθ a μ I B = +  方向垂直于 OP，今沿图中圆形环路 C 做 B  的线积分，得到 B dr ( cos θ cos θ ) μ I 1 2 0 2  = +   μ0I C   此结果与安培环路定理不一致，这是什么原因？ 分析：安培环路定理仅适用于稳恒电流，而稳恒电流必定是闭合的。 若 AB 中电流是稳恒的，则本题要求计算的是闭合电流磁场的一部分——只是 AB 段电流在 P 点产生的磁感应强度，而安培环路定理中的 B 所表达的是闭合电流产生的全部的磁场，故 两者不相一致。对非闭合电流在空间一点产生的磁场，只能用毕奥—萨伐尔定律求得。 4．一无限长任意导线中通以电流 I，有人运用安培环路定律计算空间 P 点的磁感应强度， 由 B dl μ I L = 0     ，得到 B =μ 0 I 2a ，与无限长载流直导线的磁场一样。这样处理对吗？ 分析：这样处理显然是错误的。使用安培环路定律计算磁感应强度时，是有一定条件的，即 B 可以从积分式中作为常量提出来，因为    = L L B dl Bcosdl   ，所以 在积分路径 L 或各个分段路径上，应保证 B 为常量，而且  为已知。本 题中给出的电流形状是任意的，积分路径 L 上各处的 B 及  都无法确定， 故不能用安培环路定律求得。一般只是具有一定对称性的或分段均匀的 磁场分布，才能应用安培环路定律求其磁感应强度。 5．在一长直载流螺线管外做一平面圆回路 L，且其平面垂直于螺线管的 A B C O  1  2 a P I I1 dl 1 I2 dl 2 B 12 dF 12 r I a P L