第六章狭义相对论基础 §1.力学相对性原理和伽里略变换 力学相对性原理 原理:牛顿力学规律在一切惯性系中形式相同,或一切惯性 系对力学规律平权。 伽里略变换 运动描述的相对性和力学规律的普适性,要求给出不同惯性 系对同一对象描述的力学量间的变换关系,以与力学相对性原理 在理论上自洽 伽里略变换式是在牛顿绝对时空观基础上给出的时空坐标变 换关系式。 事件的时空坐标:每个参考系中各有静止于其中的尺度和 系列的同步钟,某一事件发生的时空坐标就用该参考系中的尺和 当地钟测量 设S系相对S系以u沿x轴匀速运动两参考系的y与y、z与 轴平行,x与x轴重合,t=t=0时, 原点O、O重合 对事件P,其在S系和S系中的时空坐标间变换关系如下 yy u x-ut y=y z=2 上述一组变换式称为伽里略变换式显然,这是认为时间和长度的 测量与参考系(运动)无关,即绝对时空观的结果。 由此还可导出质点速度间的变换关系
第六章 狭义相对论基础 §1.力学相对性原理和伽里略变换 一.力学相对性原理 原理：牛顿力学规律在一切惯性系中形式相同，或一切惯性 系对力学规律平权。 二. 伽里略变换 运动描述的相对性和力学规律的普适性，要求给出不同惯性 系对同一对象描述的力学量间的变换关系，以与力学相对性原理 在理论上自洽 。 伽里略变换式是在牛顿绝对时空观基础上给出的时空坐标变 换关系式。 事件的时空坐标：每个参考系中各有静止于其中的尺度和一 系列的同步钟，某一事件发生的时空坐标就用该参考系中的尺和 当地钟测量。 设 S '系相对 S 系以 u 沿 x 轴匀速运动,两参考系的 y 与 y '、z 与 z '轴平行，x 与 x '轴重合，t = t' =0 时， 原点 O、O'重合。 对事件 P，其在 S '系和 S 系中的时空坐标间变换关系如下： x '= x- ut y ' = y z ' = z t ' = t 上述一组变换式称为伽里略变换式.显然，这是认为时间和长度的 测量与参考系（运动）无关，即绝对时空观的结果。 由此还可导出质点速度间的变换关系： y y ' u ut P O O' x z z
S B 该式称为伽里略速度相加定理。 讨论:设S系为惯性系,对其中的质点有匚 S系为另一惯性系,由伽里略变换知,其中质点的加速度 牛顿力学观点:质量和力与参考系(运动)无关,即,故在S系中 有 -nd 伽里略变换与牛顿定律的不变性相协调,亦即与由牛顿定律导出 的力学规律的不变性相协调。 由于牛顿力学的巨大成功和伽里略变换与力学相对性原理相 自洽,使人们对伽里略变换赖以成立的绝对时空观深信不疑,到 19世纪末、它才遇到了严重的挑战 §2,狭义相对论的基本假设 伽里略变换的困难 19世纪中叶电磁学已发展为完整的理论体系,其基本方程 为麦克斯韦方程组,由方程组出发可以导出电磁波的波动方程, 并求得真空中电磁波的传播速度为 3×108m/s,此即真空中光速。 VOlo 问题:1)此c是在什么参考系中测量?如果存在这个特殊的 参考系(以太参考系),由伽里略变换,通过测量其他参考系中的 光速就可确定该参考系的运动 2)电磁学规律在伽里略变换下不满足相对性原理。 理性思考:取舍?物理学的基本规律应当具有普适性一满足相对 性原理,伽里略变换应舍弃?实验:测光速,确定相对以太的运 动 代表性实验:迈克尔孙一莫雷实验(1887年作)。 结论:光速的测量不满足伽里略变换。对光学(电磁学)规 律亦不存在特殊的参考系,由光学(电磁学)实验不能确定所在 参考系的速度 理性与实验观测两方面迫使人们怀疑伽氏变换和绝对时空观
-u A B x1 S S' 该式称为伽里略速度相加定理。 讨论 ：设 S 系为惯性系，对其中的质点有 S '系为另一惯性系，由伽里略变换知，其中质点的加速度 , 牛顿力学观点：质量和力与参考系(运动）无关，即 ,故在 S '系中 有 F m a = 伽里略变换与牛顿定律的不变性相协调，亦即与由牛顿定律导出 的力学规律的不变性相协调。 由于牛顿力学的巨大成功和伽里略变换与力学相对性原理相 自洽，使人们对伽里略变换赖以成立的绝对时空观深信不疑，到 19 世纪末、它才遇到了严重的挑战。 §2，狭义相对论的基本假设 一. 伽里略变换的困难 19 世纪中叶电磁学已发展为完整的理论体系，其基本方程 为麦克斯韦方程组，由方程组出发可以导出电磁波的波动方程， 并求得真空中电磁波的传播速度为 0 0 1 c = =3×108 m/s ,此即真空中光速。 问题：1）此 c 是在什么参考系中测量？如果存在这个特殊的 参考系（以太参考系），由伽里略变换，通过测量其他参考系中的 光速就可确定该参考系的运动. 2）电磁学规律在伽里略变换下不满足相对性原理。 理性思考：取舍？物理学的基本规律应当具有普适性－满足相对 性原理，伽里略变换应舍弃？ 实验：测光速，确定相对以太的运 动 . 代表性实验：迈克尔孙－莫雷实验（1887 年作）。 结论：光速的测量不满足伽里略变换。 对光学（电磁学）规 律亦不存在特殊的参考系，由光学（电磁学）实验不能确定所在 参考系的速度。 理性与实验观测两方面迫使人们怀疑伽氏变换和绝对时空观
在当时物理学界引起极大震动 二爱因斯坦的狭义相对论基本假设 1.一切物理学的基本规律(无论力学的、电磁学的、光学的 在所有惯性系中形式相同,即所有惯性系对一切物理规律平权一 爱因斯坦相对性原理。 2真空中光的速率与发射体的运动无关,在所有惯性系中均同 为C一光速不变原理 爱因斯坦的两个假设是对绝对时空观的彻底否定,由此导出 的一系列结论,引起了物理学的一次大革命,把物理学由经典物 理带入了近代物理的相对论世界。 §3.同时性的相对性 狭义相对论的基本假设的直接结果就是时间、空间的相对性, 即时间和长度的测量和参考系(运动)有关。 同时性的相对性 爱因斯坦的思想实验:火车相对地面以u高速行驶,设地面为S 系(惯性系),火车为S系 1)S系中两固定点A、B,其中点M处发闪光, 事件1:闪光(自M向左)到达A 事件2:闪光(自M向右)到达B S系中测量: 光速为C,MA、MB等距,两事件同时发生,即t1=t2 S中测量,结论如何? 闪光自M传向(左)A,自M传向(右)B的速率仍然均 为C!,但是在光传播过程中,A随车迎向闪光运动,B却顺着闪 光光路运动,因此闪光先到达A,而后到达B,即事件1先发生, 有
在当时物理学界引起极大震动。 二.爱因斯坦的狭义相对论基本假设 1.一切物理学的基本规律（无论力学的、电磁学的、光学的···） 在所有惯性系中形式相同，即所有惯性系对一切物理规律平权 － 爱因斯坦相对性原理。 2.真空中光的速率与发射体的运动无关，在所有惯性系中均同 为 C －光速不变原理。 爱因斯坦的两个假设是对绝对时空观的彻底否定，由此导出 的一系列结论，引起了物理学的一次大革命，把物理学由经典物 理带入了近代物理的相对论世界。 §3. 同时性的相对性 狭义相对论的基本假设的直接结果就是时间、空间的相对性， 即时间和长度的测量和参考系（运动）有关。 一.同时性的相对性 爱因斯坦的思想实验：火车相对地面以 u 高速行驶,设地面为 S 系（惯性系），火车为 S '系 。 1) S '系中两固定点 A'、B'，其中点 M'处发闪光， 事件 1：闪光（自 M'向左）到达 A' 事件 2：闪光（自 M'向右）到达 B' S '系中测量： 光速为 C，M'A'、M'B'等距，两事件同时发生，即 t1 ' = t2 ' S 中测量，结论如何？ 闪光自 M' 传向（左）A'，自 M' 传向（右）B'的速率仍然均 为 C！，但是在光传播过程中，A'随车迎向闪光运动，B'却顺着闪 光光路运动，因此 闪光先到达 A'，而后到达 B'，即事件 1 先发生， 有 t1〈 t2 S S' S S， u x A ， M ， B
A S系中测量,两事件不再同时发生。当然,这是光速不变原理的结 果 两参考系的运动是相对的,上述结论也具有相对性。 2)S系中两固定点A、B,其中点M处发闪光, 事件1:闪光(自M向左)到达A 事件2:闪光(自M向右)到达B 类前分析 S系中测量:两事件同时发生,即 t1=t2 S系中测量:S系以-运动,B随S向左迎向闪光运动,而A则顺 着闪光光路运动,因此事件失分生右 t2<t1 两事件不再同时! L I B 结论:对两相 对运动的惯性系, 如在其中一惯性系中测量两事件在不同地点同时发生,则在另 惯性系中测量两事件不同时,而是处于前一惯性系运动后方的事 件先发生这一结论称为同时性的相对性 *讨论:若一惯性系中同时发生的两事件, 下面定量的具体讨论在S惯性系中两个事件的时间间隔,在S'惯 性系中时间间隔是多少。 设S'惯性系相对于惯性系S,具有沿ⅹ轴方向的速度ⅴ,在S"系的 原点上有一光源,其上方d处有一反光镜,如图所示 事件1:光源发光, 时间2:发出去的光经过反光镜的反射,回到光源,即原点。 在S"惯性系中看到的两事件的时间间隔是:Δ 在S惯性系中看到的光线所走的路径为1=1d2+()2 在S惯性系中看到的两事件的时间隔是:M=2-=22+
A' B' S 系中测量，两事件不再同时发生。当然，这是光速不变原理的结 果！ 两参考系的运动是相对的，上述结论也具有相对性。 2）S 系中两固定点 A、B，其中点 M 处发闪光， 事件 1：闪光（自 M 向左）到达 A 事件 2：闪光（自 M 向右）到达 B 类前分析: S 系中测量：两事件同时发生，即 t1 = t2 S '系中测量: S 系以 -u 运动，B 随 S 向左迎向闪光运动，而 A 则顺 着闪光光路运动，因此事件 2 先发生，有 t2 ' < t1 ' 两事件不再同时! 结论：对两相 对运动的惯性系， 如在其中一惯性系中测量两事件在不同地点同时发生，则在另一 惯性系中测量两事件不同时，而是处于前一惯性系运动后方的事 件先发生.这一结论称为同时性的相对性。 *讨论：若一惯性系中同时发生的两事件， 下面定量的具体讨论在 S 惯性系中两个事件的时间间隔，在 S'惯 性系中时间间隔是多少。 设 S'惯性系相对于惯性系 S，具有沿 x 轴方向的速度 v，在 S'系的 原点上有一光源，其上方 d 处有一反光镜，如图所示： 事件 1：光源发光， 时间 2：发出去的光经过反光镜的反射，回到光源，即原点。 在 S'惯性系中看到的两事件的时间间隔是： c d t 2 = 在 S 惯性系中看到的光线所走的路径为 2 2 ) 2 ( u t l d = + 在 S 惯性系中看到的两事件的时间间隔是: 2 2 ) 2 ( 2 2 u t d c c l t = = + S S' -u A M B · · · · · ·
由此式可以解出M c√1-n2/c2 M与M的关系为M=。 -1t2/c2 说明 在S惯性系中看到的两个事件的时间间隔M'与在S惯性系中看到 的同样的两个事件的时间间隔M不相同。 M≤M,说明M是所有时间间隔中最小的,因为这个时间间隔可 以用单钟测量,或者说在同S"系中的同一点测量。这个时间间隔 比较特殊,称为固有时 长度测量的相对性 和同时性的相对性紧密联系的就是长度测量的相对性. 仍假设S"惯性系相对于S惯性系,具有ⅹ方向的速度u。有 一根棒AB固定在S系中,在S系中测量它的长度l,我们假定在 某一时刻t,B端经过x。由于棒的速度为u,在t+M时刻,A端 经过x,这时B端所在位置为x2=x1+uN。所以在S系中棒长为 2- B A B 在S系中测棒的长度 B端经过x的时刻为t,在t+M时刻,A端经过x。所以在 S'系中测得的棒的长度为r=nM'。 Δ和M都是指同样两个事件之间的时间间隔,根据时间延缓 的关系,有 △t=△'√1-u2/c 可以得到 =√1-t2/c2
由此式可以解出 2 2 1 / 2 1 u c c d t − = ， t 与 t 的关系为 2 2 1 u / c t t − = 。 说明： 在 S'惯性系中看到的两个事件的时间间隔 t 与在 S 惯性系中看到 的同样的两个事件的时间间隔 t 不相同。 t t ，说明 t 是所有时间间隔中最小的，因为这个时间间隔可 以用单钟测量，或者说在同 S'系中的同一点测量。这个时间间隔 比较特殊，称为固有时。 二．长度测量的相对性 和同时性的相对性紧密联系的就是长度测量的相对性. 仍假设 S'惯性系相对于 S 惯性系，具有 x 方向的速度 u。有 一根棒 AB 固定在 S'系中，在 S 系中测量它的长度 l，我们假定在 某一时刻 t，B 端经过 1 x 。由于棒的速度为 u，在 t + t 时刻，A 端 经过 1 x ，这时 B 端所在位置为 x = x +ut 2 1 。所以在 S 系中棒长为 l = x − x = ut 2 1 。 u A B x1 S S' u A B x1 x2 S S' 在 S'系中测棒的长度 -u A B x1 S S' B 端经过 1 x 的时刻为 t ，在 t + t 时刻，A 端经过 1 x 。所以在 S'系中测得的棒的长度为 l = ut。 t 和 t 都是指同样两个事件之间的时间间隔，根据时间延缓 的关系，有 2 2 2 2 1 / 1 u / c u l t t u c − = − = 可以得到 2 2 l = l 1−u / c
这就时尺缩效应。 说明 在不同惯性系中测得的长度不一定相同。 棒静止时测得的长度最长,称为固有长度 §4洛仑兹变换 从狭义相对论的基本原理出发可得到两惯性系对同一事件测 量的时空坐标间的变换关系 洛仑兹变换式的导出 设S,S"两个惯性系,S以速度u相对与S运动,二者原点在t=t =0时重合。在空间P点发生一个事件。 在S'系中测量:事件发生的时刻为t,发生的位置为x 在S系中测量:事件发生的时刻为t,发生的位置为x,y,z 如图根据长度收缩有x=m+x√-n2/c2或x= P(x,, 2, t) x√1-u2/c2 下面求时间的变换公式: x表示为:x=x1-n21c2-m 得到:t'= √-n2/c2 垂直于运动方向的长度与参考系的运动无关。 最后导出洛仑兹变换式为: x=r(x-ut) x=r(tut) 和 y-y (t-ux/c t=r(t'+ux/c2) 其中y=m2 左侧一组公式为正变换,右侧一组的为逆变换两者的差异除变换 量互换外,还需将u-l
这就时尺缩效应。 说明： 在不同惯性系中测得的长度不一定相同。 棒静止时测得的长度最长，称为固有长度。 §4.洛仑兹变换 从狭义相对论的基本原理出发可得到两惯性系对同一事件测 量的时空坐标间的变换关系。 一. 洛仑兹变换式的导出 设 S，S'两个惯性系，S'以速度 u 相对与 S 运动，二者原点在 t＝t' ＝0 时重合。在空间 P 点发生一个事件。 在 S'系中测量：事件发生的时刻为 t'，发生的位置为 x'，y'，z'。 在 S 系中测量：事件发生的时刻为 t，发生的位置为 x，y，z。 如图:根据长度收缩,有 2 2 x = ut + x 1−u / c 或 2 2 1 u / c x ut x − − = . ut u 2 2 x 1−u / c x S S' ut' u 2 2 x 1−u / c x' S S' P(x',y',z',t') 下面求时间的变换公式： x'表示为： x = x −u c −ut 2 2 1 / 得到： 2 2 2 1 u / c x c u t t − − = 。 垂直于运动方向的长度与参考系的运动无关。 最后导出洛仑兹变换式为： x’=γ(x-ut) x =γ(x’+ut’) y’=y 和 y=y’ z’=z z=z’ t’ =γ(t-u x/c2 ) t =γ(t’+u x’/c2 ) 其中 2 2 1 1 c u − = 左侧一组公式为正变换，右侧一组的为逆变换,两者的差异除变换 量互换外，还需将 u→-u
说明: 1)公式满足对应原理,即当u<<c时,y→1,洛仑兹变换→伽里 略变换。故伽里略变换是洛仑兹变换在低速情况下的近似。 2)变换式体现了时空和运动有关,时间、空间紧密相连,两者构 成统一的四维时空 3)只有当u<c时,变换才有意义。即存在极限速率c,一切实物 的运动速率均小于c。 例题1:S系相对S系以u=0.6c运动。有两个事件,在S系中测 量:x1=0,t1=0;x2=3000m,t=4×106s,求S系中测量的相 应时空坐标。 解:由已知y 人=1.25,代入洛仑兹变换式,得x= y(x-ut1)=0 ti=y(tr-UxI/C)=0 x2=y(x2-ut2)=2.85×10m t2=y(t-x2c2)=-2.5×10s *S系中测量t2(负值)(t1(零),表明其中事件的时间顺 序与S系中的相比发生了颠倒。 例题2:前 Einstein思想实验中,设火车参考系中两固定点的间 距AB'=2L,火车速率u=0.6c,求在火车参考系和地面参考系中测 量,中点M发出的闪光到达A’,B所需的时间 解:设发闪光为事件0,闪光到达A为事件1,到达B为事件2, 由题设, S系中:x-1’,x'-=-L,而向B传播的光速为c,向A传播 的光速为-c,故t2'-to t1'-to'=L/,由洛仑兹变换,在S系中 t2-to=y(t2+ux2,/2)-r(to+uxo,/cA) =y(△tx2+u△xo3/c) 1.25(L(+0.6Lc)=2Lc 同理,t-t=y(△t0+u△xo°/c) 1.25[L/+0.6(-D/c] =0.5L/C 时序和因果律 般情况下,两事件的时间间隔在不同参考系测量不相同, 甚至可能发生时序颠倒(如前节例1)。但是,如果两事件间有因
说明： 1）公式满足对应原理，即当 u<<c 时，γ→1，洛仑兹变换→伽里 略变换。故伽里略变换是洛仑兹变换在低速情况下的近似。 2）变换式体现了时空和运动有关，时间、空间紧密相连，两者构 成统一的四维时空。 3）只有当 u<c 时，变换才有意义。即存在极限速率 c，一切实物 的运动速率均小于 c 。 例题 1：S ‘系相对 S 系以 u = 0.6c 运动。有两个事件，在 S 系中测 量：x1=0 ，t1=0 ；x2=3000m，t2=4╳10-6 s ，求 S ’系中测量的相 应时空坐标。 解：由已知 1.25 1 1 2 2 = − = c u ，代入洛仑兹变换式，得 x1 ’= γ（x 1-ut1）= 0 t1 ’=γ（t1-ux1/c 2）= 0 x 2 ’=γ（x 2-ut2）= 2.85 ╳ 103 m t2 ’= γ（t2-u x 2/c 2）= -2.5╳10-6 s *S‘系中测量 t2 ‘（负值）〈 t1 ’（零），表明其中事件的时间顺 序与 S 系中的相比发生了颠倒。 例题 2:前 Eeinstein 思想实验中,设火车参考系中两固定点的间 距 A’B’=2L,火车速率 u=0.6c,求在火车参考系和地面参考系中测 量,中点 M’发出的闪光到达 A’,B’所需的时间. 解：设发闪光为事件 0，闪光到达 A’为事件 1，到达 B’为事件 2， 由题设， S’系中：x2’-x0’=L,x1’-x0’= -L,而向 B’传播的光速为 c，向 A’传播 的光速为-c, 故 t2’-t0’= t1’-t0’=L/c，由洛仑兹变换，在 S 系中， t2-t0=γ(t2’+ux2’/c 2 )-γ(t0’+ux0’/c 2 ) =γ(Δt20’+uΔx20’/c 2 ) =1.25(L/c+0.6L/c)=2L/c 同理，t1-t0=γ(Δt10’+uΔx10’/c 2 ) =1.25[L/c+0.6(-L)/c] =0.5L/c 二.时序和因果律 一般情况下，两事件的时间间隔在不同参考系测量不相同， 甚至可能发生时序颠倒（如前节例 1）。但是，如果两事件间有因
果关系,则时序永不可能颠倒。因为由洛仑兹变换 △t’=y(△tu△x/C)= =y△t{1-(△x/t)(u/c2)} 当两事件间有因果关系时,△x△t代表其间物理过程进行速度 或信号运动速度,它不可能大于c,而u(c,故(△x/△t)(u/e2)<1, At'与△t正负符号相同,即时序不颠倒 *三时空不变量 伽里略变换中,时间间隔和空间间隔分别都是不变量;洛仑 兹变换中,时间间隔和空间间隔分别都会发生改变。可以证明(课 下自己证明):洛仑兹变换下有 c2(△t)2-{(△x)2+(△y)2+(△z)2}= c2(△t)2-{(△x)2+(△y)2+(△z)2 令(△S2=c2(△t)2-{(△x)2+(△y)2+(z)2},称△S为两事件的时空 间隔,则上式表示时空间隔为洛仑兹不变量 §6速度变换 由洛仑兹变换可求出两惯性系间速度变换关系。仍设S系 相对S系以速度u沿x轴运动。S系中:质点速度(vx,yv=) S系中:vx=dx/dr=dxdn)dt/dr”) =r(dx/dt-u))/ r(1-u dx/(cdr)) Vlc vy=dy dt=(dy/dr )(dt/dt) vv/i r(-vrw/c 同理V2=v2/y(1-v2c2) 2 2 Vvu 2 重新整理如下: Vvul 低速情况下上述公式变为伽里略速度相加关系:vx'=1x-L Vy -Vy v: - -V=
果关系，则时序永不可能颠倒。因为由洛仑兹变换 △t’ =γ(△t-u△x/c 2 )= =γ△t{1-(△x/△t)(u/c 2 )} 当两事件间有因果关系时，△x/△t 代表其间物理过程进行速度 或信号运动速度，它不可能大于 c ，而 u<c，故(△x/△t)(u/c 2 )<1, Δt’与△t 正负符号相同，即时序不颠倒。 *三.时空不变量 伽里略变换中，时间间隔和空间间隔分别都是不变量；洛仑 兹变换中，时间间隔和空间间隔分别都会发生改变。可以证明（课 下自己证明）：洛仑兹变换下有 c 2 (△t) 2 -{(△x) 2 +(△y) 2 +(△z) 2 }= c 2 (△t’) 2 -{(△x’) 2 +(△y’) 2 +(△z’) 2 } 令(△S) 2＝c 2 (△t) 2 -{(△x) 2 +(△y) 2 +(z) 2 }，称△S 为两事件的时空 间隔，则上式表示时空间隔为洛仑兹不变量。 §6.速度变换 由洛仑兹变换可求出两惯性系间速度变换关系。仍设 S’系 相对 S 系以速度 u 沿 x 轴运动。S 系中：质点速度（vx ,vy, vz） S’系中: vx’=dx’/dt’=(dx’/dt)(dt/dt’) ={γ（dx/dt –u）}/{γ(1-u dx/(c2dt)} =(vx-u)/(1- vxu/c2 ) vy’=dy’/dt’ =(dy/dt)(dt/dt’) = vy /{γ(1- vxu/c2 ) 同理 vz’ = vz /{γ(1- vxu/c2 ) 重新整理如下： 2 2 2 2 2 2 2 1 ' 1 1 ' 1 1 ' c v u v c u v c v u v c u v c v u v u v x z z x y y x x x − = − − = − − − = 低速情况下上述公式变为伽里略速度相加关系： vx’=vx-u vy’=vy vz’=vz
逆变换:变换量互换,且u→-u。 例题1:S系中:光沿y轴传播,即v=0,v'=c v=0,求S系中的光速。 解:由逆变换公式,有 Vx=(0+)/(1+0=avy 其速度方向发生改变,但速率的平方 y2=nx2+y2+v2=l2+(1-1c)2=c2,光速仍为c,符合光速不变原理。 例题2:一飞船以0.6c的速率向东飞行,另一不明飞行物以0.8 的速率向西飞行,在宇航员看来,该不明飞行物的速度如何 解:设由西向东为x轴,由题设l=0.6c v=vx=-0.8c代入速度变换式,有 0946c c1+0 2 注意:从地面测量,二者相互接近的速度仍为14c 第二部分相对论动力学 高速运动时动力学概念如何发展?考虑问题的基本出发点: 1)基本规律在洛仑兹变换下应保持形式不变;2)低速下应回到 牛顿力学。 基本规律:守恒定律(动量守恒,能量守恒,质量守恒…) §7相对论性质量和动量 质量和动量 保留动量和力的定义:p=m,F=dm)dt 问题的提出:若力F持续作用→p→增大,且可→∞,但速率值有 上限,ν→c,故只能质量m随ν而增大,且当ν→c时,m应→∞ 由于空间的各向同性,质量只是速率的函数,设为m(v),m(v)的形式?
逆变换：变换量互换，且 u→-u 。 例题 1：S’系中:光沿 y 轴传播，即 vx’=0， vy’=c vz’=0, 求 S 系中的光速。 解：由逆变换公式，有 vx=(0+u)/ (1+0)=u vy= 2 2 1 c u − c, vz=0 其速度方向发生改变，但速率的平方 v 2=vx 2+vy 2+vz 2=u 2+(1-u 2 /c 2 )c 2= c 2 ，光速仍为 c，符合光速不变原理。 例题 2：一飞船以 0.6c 的速率向东飞行，另一不明飞行物以 0.8c 的速率向西飞行，在宇航员看来，该不明飞行物的速度如何？ 解：设由西向东为 x 轴, 由题设 u=0.6c v=vx= -0.8c 代入速度变换式，有 c c c c c c u v u v x x 0.946 0.48 1 0.8 0.6 1 ' 2 2 2 2 = − + − − = − − = vy’=vz’=0. 注意：从地面测量，二者相互接近的速度仍为 1.4c 。 第二部分 相对论动力学 高速运动时动力学概念如何发展？考虑问题的基本出发点： 1）基本规律在洛仑兹变换下应保持形式不变；2）低速下应回到 牛顿力学。 基本规律：守恒定律（动量守恒，能量守恒，质量守恒…） §7.相对论性质量和动量 一. 质量和动量 保留动量和力的定义: p = mv , F=d(mv)/dt 问题的提出：若力 F 持续作用 → p→增大，且可→∞，但速率值有 上限，v→c ,故只能质量 m 随 v 而增大，且当 v→c 时，m 应→∞。 由于空间的各向同性，质量只是速率的函数，设为 m(v)，m(v)的形式？ S S' A B -u -u u
在S系中有一粒子M,原来静止于原点O,在某时刻此粒子分裂为 完全相同的A和B,分别沿x轴的正方向和反方向运动。A和B的 速率应该相等,设为u。 参考系S以u的速度沿x的反方向运动。在此参考系中A是静止的, 而B是运动的。我们以m,m。分别表示二者的质量。由于O的速度 为u,所以根据相对论速度变换,S系中观察B的速度为 方向沿x轴正向。 根据动量守恒 Mu= mBB 在S参考系中假定粒子在分裂前后质量守恒,即M=m4+m。则 (m+m2)=-2m2 1+2 在S系中m不再等于m2 1+u2/c2 利用v=2 得 这个公式说明:在S系中看到的质量相同的两个物体在S 系中测量的质量不同。由于在S系中A,B是静止的,它们的质量叫 静止质量,以m表示。在S系中,以速率ν运动的物体的质量为 1-y2/c2 通常称为相对论性质量。 P01 而粒子动量 y2称为相对论性动量 当ν<c,y→1,p=mv∞v回到了牛顿力学情况。 二狭义相对论运动方程 因为相对论质量随速率而变,其运动方程为
在 S'系中有一粒子 M，原来静止于原点 O'，在某时刻此粒子分裂为 完全相同的 A 和 B，分别沿 x'轴的正方向和反方向运动。A 和Ｂ的 速率应该相等，设为 u。 参考系 S 以 u 的速度沿 x'的反方向运动。在此参考系中 A 是静止的， 而 B 是运动的。我们以 mA，mB 分别表示二者的质量。由于 O'的速度 为 u，所以根据相对论速度变换，S 系中观察 B 的速度为 2 2 1 / 2 u c u vB + = 方向沿 x 轴正向。 根据动量守恒 B B Mu = m v 在 S 参考系中假定粒子在分裂前后质量守恒，即 M = mA + mB 。则 2 2 1 / 2 ( ) u c m u m m u B A B + + = 在 S 系中 mA 不再等于 mB 2 2 2 2 1 / 1 / u c u c mB mA − + = 利用 2 2 1 / 2 u c u vB + = 得： 2 2 1 v / c m m B A B − = 这个公式说明：在 S'系中看到的质量相同的两个物体在 S 系中测量的质量不同。由于在 S'系中 A，B 是静止的，它们的质量叫 静止质量，以 m0 表示。在 S 系中，以速率 v 运动的物体的质量为 2 2 0 1 v / c m m − = 通常称为相对论性质量。 而粒子动量 2 2 0 1 c v m v p − = 称为相对论性动量。 当 v<<c,γ→1, p=m0v∝v 回到了牛顿力学情况。 二.狭义相对论运动方程 因为相对论质量随速率而变，其运动方程为