《大学物理》第一章 质点运动学

力学 第一章质点运动学 质点:实际物体有大有小,结构可能很复杂。根据我们所研究 对象的运动特点,有时可以把它们看成一个点,即质点。例如 研究地球的公转时,地球可以看成质点;在研究地球的自传时, 就不能看成质点 运动学:力学中研究物体运动的内容,如:速度,位置,加速 度。不关心速度,加速度产生的原因。与之对应的概念是动力 学,研究的是速度,加速度产生的原因。如:牛顿运动定律。 §1参考系,坐标系 参考系 参考系:用来描述物体运动而选作参考的物体或物体系。 1.运动的相对性决定描述物体运动必须选取参考系。 2.运动学中参考系可任选,不同参考系中物体的运动形式(如 轨迹、速度等)可以不同。 3.常用参考系 太阳参考系(太阳 二恒里参考系) 地心参考系(地球一恒星参考系) 地面参考系或实验室参考系 质心参考系(第三章§6) 坐标系 坐标系:固结在参考系上的一组有刻度的射线、曲线或角度。 1.坐标系为参考系的数学抽象。 2.参考系选定后,坐标系还可任选。在同一参考系中用不同的 坐标系描述同一运动,物体的运动形式相同,但其运动形式的数 学表述却可以不同。 3.常用坐标系 Z z(t 直角坐标系(x,y,z) P ·球极坐标系(r,B,g) ·柱坐标系(p,,z) 自然“坐标系 公/rn)y(r) §2运动函数 质点位置矢量 r(t 位置矢量(位矢、矢径):

1 力学 第一章 质点运动学 质点：实际物体有大有小，结构可能很复杂。根据我们所研究 对象的运动特点，有时可以把它们看成一个点，即质点。例如 研究地球的公转时，地球可以看成质点；在研究地球的自传时， 就不能看成质点。 运动学：力学中研究物体运动的内容，如：速度，位置，加速 度。不关心速度，加速度产生的原因。与之对应的概念是动力 学，研究的是速度，加速度产生的原因。如：牛顿运动定律。 §1 参考系，坐标系 一． 参考系 参考系：用来描述物体运动而选作参考的物体或物体系。 1.运动的相对性决定描述物体运动必须选取参考系。 2.运动学中参考系可任选，不同参考系中物体的运动形式（如 轨迹、速度等）可以不同。 3.常用参考系: ·太阳参考系（太阳 ─ 恒星参考系） ·地心参考系（地球 ─ 恒星参考系） ·地面参考系或实验室参考系 ·质心参考系（第三章§6） 二. 坐标系 坐标系：固结在参考系上的一组有刻度的射线、曲线或角度。 1.坐标系为参考系的数学抽象。 2.参考系选定后，坐标系还可任选。在同一参考系中用不同的 坐标系描述同一运动，物体的运动形式相同，但其运动形式的数 学表述却可以不同。 3.常用坐标系: ·直角坐标系（ x , y , z ） ·球极坐标系（ r,θ,  ） ·柱坐标系 （, , z ） ·自然“坐标系” §2 运动函数 一. 质点位置矢量 位置矢量（位矢、矢径）： O ^ y ^ z ^ x · x z y z( t ) y( t ) x( t ) r( t ) P( t )

用来确定某时刻质点位置(用矢端表示)的矢量 位置矢量: xtv+=z 二.运动函数 机械运动是物体(质点)位置随时间的改变。可给出质点运 动到各处的时刻,从而得到质点位置坐标和时间的函数关系。该 函数关系称为质点的运动函数。 运动函数 r(1)=x()x+y()y+()2 或 x=x(1) (t) §3位移,速度,加速度 位移:质点在一段时间(M)内位置的改变(4F)叫做它 在这段时间内的位移。 r(汁+△t) 0(汁△t) 大小:AF=PP 位移AF=F(t+At)-f(t) 方向:P→P 路程:质点实际运动轨迹的长度 S。 注意:(1)△≠A,但ds=d (2) ≠N,drl≠dr。 要分清M、M、A等的几何意义,详见典型问题 速度:位矢对时间的变化率 △尸 1.平均速度

2 用来确定某时刻质点位置（用矢端表示）的矢量。 位置矢量： xx yy zz r r x y z ˆ ˆ ˆ ( , , ) = + + =   二. 运动函数 机械运动是物体（质点）位置随时间的改变。可给出质点运 动到各处的时刻，从而得到质点位置坐标和时间的函数关系。该 函数关系称为质点的运动函数。 运动函数： r(t) = x(t)x ˆ + y(t)y ˆ + z(t)z ˆ  或 x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t)。 §3 位移，速度，加速度 一. 位移：质点在一段时间（ t ）内位置的改变（ Δr  ）叫做它 在这段时间内的位移。 位移     →  =  = +  − 1 2 1 2 ( ) ( ) P P r PP r r t t r t 方向： 大小：     二. 路程：质点实际运动轨迹的长度 s。 注意：（1） s r , ds d r      但 = （2） r  r dr  dr   ， 。 要分清 r r r    、 、 等的几何意义,详见典型问题。 三. 速度 ：位矢对时间的变化率。 1.平均速度 ： t r   =   v P1 r(t+Δt ) r(t ) Δr x y z O Δs r(t+Δt ) r(t ) O Δr Δr · · P2

2.(瞬时)速度 v= lim d △t→)0△tdt 速度方向:沿轨迹切线方向。 速度大小(速率) dr ds dr dtdt dt 四.加速度:速度对时间的变化率 △U U(计△t f(汁+△t) U(+△t) 加速度a=limx=y= △t→0△ t dt dt 加速度的方向:V变化的方向 加速度的大小 d v d t s4匀加速运动 直线运动 抛体运动 求导 运动学的两类问题:F()积分V2a §5圆周运动 描述圆周运动的物理量 如图 (计+△n △n t() () t(计+

3 2.（瞬时）速度 ： r t r t r t      = =    → = d d 0 v lim 速度方向：沿轨迹切线方向。 速度大小（速率）： t r t s t r d d d d d d v = v = =    四. 加速度 ：速度对时间的变化率。 加速度 r t r t t t a       = = =    → = 2 2 d d d v d v 0 lim 加速度的方向： v  变化的方向 加速度的大小： t t a a d d v d d v = =    Δ§4 匀加速运动 直线运动： 抛体运动： 运动学的两类问题： r t a    ( ) v, §5 圆周运动 一. 描述圆周运动的物理量 如图： 积分 求导 v θ R Δθ x Δs O ω,  v(t ) · x r(t+Δt ) r(t) y z O v(t ) v(t+Δt ) Δv v(t ) v(t+Δt ) · · P1 P2 ＾ ＾ Δt =Δθ n ＾ t(t) t(t+Δt) n ＾ Δθ Δθ t(t+Δt) t(t) ＾ ＾ ＾ · O· R

角位移:△O de 角速度 dt d ·角加速度:az d t ds rde ·线速度:V= Ro dt dt 加速度 d=lmnY(+△t)-v( lim △t→0 △t △t→0 如图示,有: v(+M) △v=△v.+△ν 的大小 1aAd(m)d可=ra →0△talt a,的方向:M→>0时,a1的方向为切线方向。a1叫切 向加速度,它是描述速率变化快慢的物理量。 △v|BC an的大小: a=lmn1△=lm vBC v△S △Sy =lim lim tM→0r△tM→>0r△trM→>0△t an的方向:指向圆心,叫法向加速度。即中学时的向心 加速度

4 ·角位移 ：  ·角速度 ：     = = dt d ·角加 速度：    = =  dt d ·线速度 ：   R t R t s = = = d d d d v ·加速度 ： t v lim t v(t t) v(t) a lim t 0 t 0 Δ Δ Δ Δ Δ Δ     → → = + − = 如图示，有： t a  的大小：    r dt d r dt d r dt dv t v a t t t = = = =   =  → | | ( ) | | lim 0   t a  的方向： t →0 时， t a  的方向为切线方向。 t a  叫切 向加速度，它是描述速率变化快慢的物理量。 n a  的大小： r BC v vn = |  |  r r v t S r v r t v S r t vBC t v a t t t n t t 2 2 0 0 0 0 lim lim lim | | | | lim = =   =   =  =   =  →  →  →  →   n a  的方向：指向圆心，叫法向加速度。即中学时的向心 加速度。 n t n t a a a v v v       = +  =  +  v(t)  v(t +t)  n v  t v  v  

总结:|a=vanP+|a1P。对于圆周运动,我们只须将加 速度在法向,切向分解。这样的好处在于不必考虑速度的方 向问题,只看速率与角速度即可。 二.角量与线量的关系 由V=R 有 dv= ra, " le Ro d t R §7相对运动 相对运动问题指的是在不同参考系中观察同一物体运动所给 出的运动描述之间的关系问题。 以下我们仅讨论一参考系S"相对另一参考系S以速度正平动 时,同一物体在两参考系中的两个速度之间和两个加速度之间的 由图有:位移关系=△+A(1) 上式双方除以△t,再取极限,得: 速度关系V=V+u(2) 式中U称为绝对速度 U称为相对速度 L称为牵连速度 (2)式称为伽利略速度变换。 [例]下雨天骑车人只在胸前铺一块塑料布即可 遮雨。 U人对地(骑车) U雨对地 U雨对人 雨对地一渐对人十D人对地(骑车) 2)式等号双方对t再求一次导数,在S相对于S平动的条件 下得

5 总结： 2 2 | | | | | | a an at    = + 。对于圆周运动，我们只须将加 速度在法向，切向分解。这样的好处在于不必考虑速度的方 向问题，只看速率与角速度即可。 二.角量与线量的关系 由 v = R 有 R t at = = d d v ， 2 2 v R R an = = 。 §7 相对运动 相对运动问题指的是在不同参考系中观察同一物体运动所给 出的运动描述之间的关系问题。 以下我们仅讨论一参考系 S 相对另一参考系 S 以速度 u  平动 时，同一物体在两参考系中的两个速度之间和两个加速度之间的 由图有：位移关系 0 r r r     =   +  （1） 上式双方除以  t ，再取极限，得： 速度关系 u    v = v + （2） 式中 v  称为绝对速度 v  称为相对速度 u  称为牵连速度 （2）式称为伽利略速度变换。 [例] 下雨天骑车人只在胸前铺一块塑料布即可 遮雨。 （2）式等号双方对 t 再求一次导数，在 S 相对于 S 平动的条件 下得： 雨对地 雨对人 人对地(骑车) 雨对地=雨对人+人对地(骑车)

加速度关系a=a+a0(3) 若= const.则a du =0,有d 说明 1.以上结论是在绝对时空观下得出的: (1)式的来源是出自位移矢量叠加,而矢量叠加要求矢量必 须是同一参考系中的矢量。只有假定“长度的测量不依赖于参考 系”(空间的绝对性),才能给出位移关系(1)式。而要想从(1) 式得到(2)、(3)式,还必须假定“时间的测量不依赖于参考系”, 即假定在S和S′中分别测得的时间间隔dt与dt′相等(时间 的绝对性)。从相对论的观点来看,绝对时空观只在a<c时才 成立。 2.不可将运动的合成与分解和伽利略速度变换关系相混。前者 是在一个参考系中,是U,矢量性的表现;而后者则应用于两个 参考系之间,只在u<<c时才成立 3.a=a+a只适用于相对运动为平动的情形

6 加速度关系 a a a0    =  + （3） 若 a a t u u = a = = =       则 0,有 d d const . 0 。 说明： 1.以上结论是在绝对时空观下得出的： （1）式的来源是出自位移矢量叠加，而矢量叠加要求矢量必 须是同一参考系中的矢量。只有假定“长度的测量不依赖于参考 系”（空间的绝对性），才能给出位移关系（1）式。而要想从（1） 式得到（2）、（3）式，还必须假定“时间的测量不依赖于参考系”, 即假定在 S 和 S′中分别测得的时间间隔 dt 与 dt′相等 （时间 的绝对性）。从相对论的观点来看，绝对时空观只在 u << c 时才 成立。 2.不可将运动的合成与分解和伽利略速度变换关系相混。前者 是在一个参考系中，是 a   v, 矢量性的表现；而后者则应用于两个 参考系之间，只在 u << c 时才成立。 3. a = a + a     0 只适用于相对运动为平动的情形

基本要求 1.掌握描述质点运动的基本方法,深入理解质点运动函数的物理意 义 2.加深对质点位置矢量、位移、速度和加速度等概念的理解,明确 它们的相对性、瞬时性和矢量性。 3加深对质点曲线运动的加速度、切向加速度和法向加速度的理 解,并能灵活运用。 4深入理解伽利略变换式,并能运用其解决相对运动问题。 、知识系统图 质点运动学 一般曲线还动 圆周运动 相对运动 矢量和位移 角速度 线速度 伽利略速度变换 F=x(t)+y(1)j+(1)k de d v′+l 4F=F(1+4r)-F( dr 速度= 角加速度 加速度 切向加速度 法向加速度 Ra 12

7 一、基本要求 1.掌握描述质点运动的基本方法，深入理解质点运动函数的物理意 义。 2.加深对质点位置矢量、位移、速度和加速度等概念的理解，明确 它们的相对性、瞬时性和矢量性。 3.加深对质点曲线运动的加速度、切向加速度和法向加速度的理 解，并能灵活运用。 4.深入理解伽利略变换式，并能运用其解决相对运动问题。 二、知识系统图 位置矢量和位移 k ˆ j z t ˆ i y t ˆ r = x(t) + ( ) + ( )  r r(t t) r(t)    Δ = +  − 加速度 2 2 dt d r dt dv a    = = 速度 dt dr v   = 角速度 dt dθ ω = 角加速度 dt dω α = 法向加速度 2 2 Rω R v a n = = 伽利略速度变换 v v u    =  + 切向加速度 Rα dt dv t a = = 线速度 dt dθ v = R 质点运动学 一般曲线运动 圆周运动 相对运动

例题: 1.质点的曲线运动中,下列各式表示什么物理量? d,[.d..硐,同d2., dt dtdtdt dt di dt dt 答:(1)表示质点的瞬时速度,有方向和大小 (2)表示质点的瞬时速率,即瞬时速度的大小 (3)因为当M→0时,4≈,所以也表示质点的瞬时速率 (4)因为Ar是位置矢量(矢径)大小的增量,所以一是位置矢量(矢径)的大小对时间的 变化率。 (5)因为加=,所以 (6),表示质点的瞬时加速度的大小。 (7)表示质点的瞬时加速度 (8)一表示质点的切向加速度的大小,是瞬时速率对时间的变化率。 2.设质点的运动方程为x=x(m);y=y()。在计算质点的瞬时速度和瞬时加速度时,有人先 求出r=x2+y2,然后再根据r=功 和a 求解。也有人用分量式求解,即 和 )2+(2.2)2,问哪种方法正确? 答:第一种方法不正确。v=-是质点的矢径的大小对时间的变化率,除直线运动外,它 不是质点的速率。a=中2也不是质点的加速度。第二方法正确。是矢量计算的正确方法, 先分别求速度和加速度的各分量,即 d’thm2和2。再求速度和加速度的大小。 和

8 例题： 1. 质点的曲线运动中，下列各式表示什么物理量？ dt dr  ； dt dr  ； dt ds ； dt dr ； dt d r  ； 2 2 dt d r  ； dt dv  ； dt dv 。 答：（1） dt dr  表示质点的瞬时速度，有方向和大小。 （2） dt dr  表示质点的瞬时速率，即瞬时速度的大小。 （3）因为当 t →0 时， s r     ，所以 dt ds 也表示质点的瞬时速率。 （4）因为 r 是位置矢量（矢径）大小的增量，所以 dt dr 是位置矢量（矢径）的大小对时间的 变化率。 （5）因为 r r   =  ，所以 dt dr dt d r =  。 （6） 2 2 dt d r  表示质点的瞬时加速度的大小。 （7） dt dv  表示质点的瞬时加速度。 （8） dt dv 表示质点的切向加速度的大小，是瞬时速率对时间的变化率。 2.设质点的运动方程为 x = x(t); y = y(t) 。在计算质点的瞬时速度和瞬时加速度时，有人先 求出 2 2 r = x + y ，然后再根据 dt dr v = 和 2 2 dt d r a = 求解。也有人用分量式求解，即 2 2 ( ) ( ) dt d y dt d x v = + 和 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) dt d y dt d x a = + ，问哪种方法正确？ 答：第一种方法不正确。 dt dr v = 是质点的矢径的大小对时间的变化率，除直线运动外，它 不是质点的速率。 2 2 dt d r a = 也不是质点的加速度。第二方法正确。是矢量计算的正确方法， 先分别求速度和加速度的各分量，即 dt dx ， dt dy ， 2 2 dt d x 和 2 2 dt d y 。再求速度和加速度的大小

3已知运动函数为F= Rosati+Rso(R、O为常量),求质点的速度、加速度、切向 加速度和法向加速度。 解:速度:由速度的定义式有 dt dt dt Ro ati Rocosoti 加速度:由加速度的定义式有 d 2r d Ro cosoti -ro 切向加速度:等于速率对时间的变化率,先求速率 a,==0,说明质点的速率不变,即质点作匀速率运动 法向加速度:an )2R,质点的法向加速度为常量,质点作匀速率圆周运动,法 R 向加速度的方向指向圆心 4灯距地面高度为h,一个人身高为h2,在灯下以匀速率v沿水平直线行走,如图所示,则 他的头顶在地上的影子M点沿地面移动的速度为多少? 解:建立直角坐标系Oy如图,由题意知任意时刻t,头顶在地上的影子M点的位置坐标为xM 人的脚的位置坐标为xA,因xM和xA同在x轴 上,所以可用正负号表示他们的方向。根据 角形相似原理 hr 由速度定义 →x dt M h. dx h, -h, dt h 当人沿x轴正方向行走时,v4=v)0, h1-h2 当人沿x轴负方向行走时,1=-(0,=-h vI。 说明:本题用微分方法求质点的速度和加速度。先由几何关系写出直线运动质点的位置坐标的 表达式,再根据速度与位置坐标的微分关系求速度,同样方法也可求加速度这是求解质点的

9 3.已知运动函数为 j ˆ i Rsin t ˆ r = Rcost +   （ R 、 为常量），求质点的速度、加速度、切向 加速度和法向加速度。 解：速度：由速度的定义式有 dt dr v   = j ˆ dt dy i ˆ dt dx = + j ˆ i R cos t ˆ = −Rsint +   。 加速度：由加速度的定义式有 2 2 dt d r a   = j ˆ dt d y i ˆ dt d x 2 2 2 2 = + j ˆ i R sin t ˆ R cost   2 2 = − − 切向加速度：等于速率对时间的变化率，先求速率 2 2 ( ) ( ) dt d y dt d x v = + = R ， = = 0 dt dv at ，说明质点的速率不变，即质点作匀速率运动。 法向加速度： R R v an 2 2 = = ，质点的法向加速度为常量，质点作匀速率圆周运动，法 向加速度的方向指向圆心。 4.灯距地面高度为 h1，一个人身高为 h2，在灯下以匀速率 v 沿水平直线行走，如图所示，则 他的头顶在地上的影子 M 点沿地面移动的速度为多少? 解：建立直角坐标系 Oxy,如图,由题意知,任意时刻 t，头顶在地上的影子 M 点的位置坐标为 xM ， 人的脚的位置坐标为 A x ，因 xM 和 A x 同在 x 轴 上，所以可用正负号表示他们的方向。根据三 角形相似原理 M A x h h h x 1 2 1 − = 由速度定义 dt dx v M M = dt dx h h h A 1 2 1 − = A v h h h 1 2 1 − = . 当人沿 x 轴正方向行走时， vA = v0 ， v i h h h vM ˆ 1 2 1 − =  ； 当人沿 x 轴负方向行走时， vA = −v0， i ˆ v h h h vM 1 2 1 − = −  。 说明：本题用微分方法求质点的速度和加速度。先由几何关系写出直线运动质点的位置坐标的 表达式，再根据速度与位置坐标的微分关系求速度，同样方法也可求加速度.这是求解质点的 O h1 x M M y x 2 h A x

速度和加速度的方法之一。 5正在沿直线行驶的电艇,在发动机关闭后,其加速度方向与速度方向相反,大小与速度平 方成正比,即如/d=-kv式中k为常数,试求电艇关闭发动机后行驶x距离时的速度。已 知发动机关闭时电艇的速度为1。 解:因为电艇沿直线行驶,其速度和加速度的方向都用正负符号表示,由速度与加速度之间的 积分关系,求速度。由题意知 du dt dv v=voe 积分方法是求速度的又一方法用此方法还可求位置矢量。 6.一飞机驾驶员想往正北方向航行,而风以60kmh的速度由东向西刮来如果飞机的航速 (在静止空气中的速率)为180kmh试问驾驶员应取什么航向?飞机相对地面的速率为多少? 试用矢量图说明. 解:选地球为静系,风为动系,飞机为动点,飞机相对地球的速度 为下 飞机相对风的速度为v’,风相对地球的速度为。 根据伽利略速度变换有 v′+l 因为v、v和正构成直角三角形,所以 同=V()2-(n (180)2-(60) 170km·h) =lgl/v=194(驾驶员应取北偏东194°的航向) 说明:解相对运动的问题先要根据题意确定静系、动系和动点,然后找出动点相对静系的速度 ⅳ,动点相对动系的速度γ及动系相对静系的速度证,再根据伽利略速度变换式求三个速度中 的未知者。同样方法可求位移和加速度

10 速度和加速度的方法之一。 5.正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平 方成正比，即 2 dv dt = −kv ,式中 k 为常数，试求电艇关闭发动机后行驶 x 距离时的速度。已 知发动机关闭时电艇的速度为 v0。 解:因为电艇沿直线行驶，其速度和加速度的方向都用正负符号表示，由速度与加速度之间的 积分关系，求速度。由题意知 2 kv dt dv = − kvdt v dv = − kdx v dv v x v   = − 0 0 kx v v = − 0 ln kx v v e − = 0 。 积分方法是求速度的又一方法,用此方法还可求位置矢量。 6.一飞机驾驶员想往正北方向航行,而风以 1 60km h −  的速度由东向西刮来,如果飞机的航速 (在静止空气中的速率)为 1 180km h −  ,试问驾驶员应取什么航向? 飞机相对地面的速率为多少? 试用矢量图说明. 解 ：选地球为静系，风为动系，飞机为动点，飞机相对地球的速度 为 v  ， 飞机相对风的速度为 v   ，风相对地球的速度为 u  。 根据伽利略速度变换有 v v u    =  + 因为 v v   、  和 u  构成直角三角形，所以 2 2 v (v ) (u)    =  − 2 2 = (180) − (60) 170(km h ) -1 =  1 o = / =19.4 −  tg u v （驾驶员应取北偏东 o 19.4 的航向）。 说明：解相对运动的问题先要根据题意确定静系、动系和动点，然后找出动点相对静系的速度 v  ，动点相对动系的速度 v   及动系相对静系的速度 u  ，再根据伽利略速度变换式求三个速度中 的未知者。同样方法可求位移和加速度。 N W v  v  u 