振动与波动 第一章振动 §1简谐振动 简谐振动 1.表达式(运动学方程) 物体沿一直线运动时,如离开平衡位置的位移按余弦(或正 弦)规律随κ反复变化,这样的振动称作简谐振动。如水平弹簧 振子的振动。 x(t)=Acos(o t+) 2.特点 (1)等幅振动 (2)周期性振动x(t)=x(t+T) 描述简谐振动的特征量 振幅A最大位移的绝对值(A恒为正值)。 2.周期和频率(反映振动的快慢) (1)周期T振动一次所需时间。 (2)频率v单位时间内的振动次数。ν=1单位:Hz (3)圆频率(角频率)2π秒内的振动次数。 2 T(单位:rad/s或1/s) 3.相位 (1)(ot+p)是t时刻的相位
1 振动与波动 第一章 振 动 §1 简谐振动 一.简谐振动 1.表达式(运动学方程) 物体沿一直线运动时,如离开平衡位置的位移按余弦(或正 弦)规律随 t 反复变化，这样的振动称作简谐振动。如水平 弹簧 振子的振动。 x(t)=Acos( t + ) 2.特点： (1)等幅振动 (2)周期性振动 x( t ) = x( t +T ) 二.描述简谐振动的特征量 1.振幅 A 最大位移的绝对值(A 恒为正值)。 2.周期和频率(反映振动的快慢) (1)周期 T 振动一次所需时间。 (2)频率 单位时间内的振动次数。 T v 1 = 单位：Hz (3)圆频率(角频率)2秒内的振动次数。 T v 2 = 2 = (单位：rad/s 或 1/s) 3.相位 (1)(t + )是 t 时刻的相位。 x m o x
(2)t时刻的相位反映t时刻的振动状态(x、U、a) 由x=cos(ott) (3)初相 是t=0时刻的相位。(t=0称时间零点,是开始计时的时刻, 不一定是开始运动的时刻)。 反映t=0时刻的振动状态(x,L)。 Ac os cAsino 要熟记典型φ值所相应的振动情况和振动曲线(如图)。 Br/2「2 0 x■ g=元/2 0 0 g=-/2 (或37/2) x0=0
2 (2) t 时刻的相位反映 t 时刻的振动状态(x、、a )。 由 x =Acos(t + ) (3)初相 是 t = 0 时刻的相位。(t =0 称时间零点，是开始计时的时刻， 不一定是开始运动的时刻)。 反映 t = 0 时刻的振动状态(x0 , 0 )。 x0 = Acos， 0 = -Asin 要熟记典型值所相应的振动情况和振动曲线(如图)。 0 /2 3/2 2 x0 A 0 -A 0 A 0 0 -A 0 A 0 x m o o A -A t x A = 0 x0 = A T o x o A -A t x m = /2 x0 = 0 T o A -A t x x m -A o = x0 = -A T m o x o A -A t x = -/2 x0 = 0 T (或 3/2)
三.简谐振动的描述方法 解析法(由振动表达式) 由x=Acos(ot+g) 已知表达式→A、7、φ 已知A、T、￠ 表达式 2.曲线法(由振动曲线) 兀/2 b。u 0 0 已知曲线→A、T、 已知A、7、p→曲线 3.旋转矢量法(可优先选用) (1)矢量长度=A;以为角速度绕o点逆时针旋转;t=0时 矢量与x轴的夹角为q (2)矢量端点在x轴上的 投影作简谐振动。 otto x= A cos(at+ 四.相位差 1.相位差和初相差 对两回频率的简谐振动,相位差等于初相差
3 三. 简谐振动的描述方法 1.解析法(由振动表达式) 由 x = Acos(t +) 已知表达式 A、T、 已知 A、T、 表达式 2.曲线法(由振动曲线) 已知 曲线 A、T、 已知 A、T、 曲线 3.旋转矢量法(可优先选用) (1)矢量长度 = A；以为角速度绕 o 点逆时针旋转；t = 0 时 矢量与 x 轴的夹角为 (2)矢量端点在 x 轴上的 投影作简谐振动。 四.相位差 1.相位差和初相差 对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差。 o x o A -A t x m = /2 x0 = 0 T A A t+ o x x t = t t = 0 x = A cos( t + ) ·
△=(ottg)-(otto)=-a 2.同相和反相 当Δg=±2kπ,(k0,1,2,…),两振动步调相同,称相。 当△g=±(2k+1)π,(k0,1,2,…)两振动步调相反,称 反相。 x1同相 x1反相 A A 3.领先和落后 A 若△q=->0, 则x比x较早 达到正最大, A 称x比x领先 (或x比x落后)。 领先、落后以<π的相位角(或以<T2的时间间隔)来判断。 方法:振动曲线的画法。g为非典型值时,可用领先、落后的概 念画出振动曲线。 欲画x=Acos(ot+)的曲线, ·先画辅助曲线x辅= Acos ot的曲线
4 = (t +2) - (t +1)=2 - 1 2.同相和反相 当 = 2k，( k= 0，1，2，…)，两振动步调相同，称相。 当 = (2k+1)， ( k= 0，1， 2，…)两振动步调相反，称 反相。 3.领先和落后 ·若 = 2-1 >0， 则 x2比 x1较早 达到正最大， 称 x2比 x1领先 (或 x1比 x2落后)。 ·领先、落后以 <的相位角(或以<T/2 的时间间隔)来判断。 方法：振动曲线的画法。为非典型值时，可用领先、落后的概 念画出振动曲线。 ·欲画 x = Acos(t +)的曲线， ·先画辅助曲线 x 辅 = Acos t 的曲线， - A2 x x x2 T o A1 -A1 A2 - A2 x1 t 反相 o A1 -A1 A2 x1 x2 T t 同相 x2 T x o A1 -A1 A2 - A2 x1 t
·若φ0 0 a0 减速加速减速加速 (3)速度和位移的关系
5 ·若 0 0 a 0 > 0 减速 加速 减速 加速 A A -A -A -2 A a
t时刻b=o(A-x)2 t=0时 O(A-x02)2 2.加速度 d x (1)表达式a= a =-OAcoS(@ t+)=@Acos(ot +o +) 也可写作a(t)=Acos(ot+) (2)加速度也是简谐振动,其角频率,振幅A=o2A, 初相=+丌,a和x反相 (3)a和x的关系 1--0X 加速度和位移正比而反向(简谐振动的特点) §2简谐振动(动力学部分) 简谐振动的动力学方程 1.受力特点:线性恢复力(力和位移正 比而反向,具有F=-kx的形式) 2.动力学方程(以水平弹簧振子为例) 受力:F=-kx n.uaRe 由F=m=m d-x 可得出 +o2x=0 简谐振动的振动方程 3.固有角频率
6 t 时刻 = (A 2 - x 2 ) 1/2 t =0 时 0 = (A 2 - x0 2 ) 1/2 2.加速度 (1)表达式 2 2 dt d x a = a = - 2 Acos( t + )= 2 Acos(t + +) 也可写作 a(t) = Aacos( t +a) (2)加速度也是简谐振动，其角频率 ， 振幅 Aa = 2 A ， 初相 a= + , a 和 x 反相。 (3)a 和 x 的关系 a = - 2 x 加速度和位移正比而反向(简谐振动的特点) §2 简谐振动(动力学部分) 一.简谐振动的动力学方程 1.受力特点：线性恢复力(力和位移正 比而反向，具有 F = -kx 的形式)。 2.动力学方程(以水平弹簧振子为例) 受力：F = -kx 由 2 2 dt d x F = ma = m 可得出 0 2 2 2 + x = dt d x ————简谐振动的振动方程 3.固有角频率 x m o x F
弹簧振子:o=k/m 单摆:o=g1 固有角频率决定于振动系统的内在性质。 4.由初始条件求振幅和初相 A=√x2+(n0/an)2 p=tg (vo /axo) 简谐振动系统的能量(以水平弹簧振子为例 1.简谐振动系统的能量特点 (1)动能 Ek=imv=3kA sin(ot+o) E随t变 K mux E 平均值 T E Erdt =kA (2)势能 k kA cos(wt+o) 2 E随t变,Ex、E詛、E情况同动能。 (3)机械能E=E+E E=-kA 2 简谐振动系统杋械能守恒,各时刻的机械能均等于起始能量 (t=0时输入的能量)。要求:已知x~t曲线,能正确画出 E~t和E~t曲线 E 2.由起始能量求振幅 Ep E E2E k k 7
7 弹簧振子： = k / m 单摆： = g /l 固有角频率决定于振动系统的内在性质。 4.由初始条件求振幅和初相 2 0 0 2 0 A = x + (v / ) ( / ) 0 0 1 = tg −v x − 二.简谐振动系统的能量(以水平弹簧振子为例) 1.简谐振动系统的能量特点 (1)动能 2 2 E 1 mv k = sin ( ) 2 2 2 1 = kA t + Ek随 t 变 2 2 1 max EK = kA Ek min = 0 平均值 2 4 1 1 E E dt kA t T t k = k = + (2)势能 2 2 1 E kx p = cos ( ) 2 1 2 2 = kA wt + Ep随 t 变， Ep max、 Ep min、Ep情况同动能。 (3)机械能 E = Ek + Ep 2 2 1 E = kA 简谐振动系统机械能守恒，各时刻的机械能均等于起始能量 E0 (t =0 时输入的能量)。要求：已知 x t 曲线，能正确画出 Ek t 和 Ep t 曲线。 2.由起始能量求振幅 k E k E A 2 2 0 = = x t T o E Ep Ek -A A 1 kA2 2 2 E k A = =
三.简谐振动的动力学解法 由分析受力出发 分析物体在任一时刻的受力或力矩(后者对刚体); 由牛顿定律(对刚体,由转动定律)列方程,如能得出 d2x+a2x=0形式的方程, 则(1)说明振动是简谐振动 e b (2)可得出。 [例]质量为m的刚体可 绕固定水平轴o摆 动。设刚体重心C 到轴o的距离为b,刚体对轴o的转动惯量为、J。试证刚 体小幅度自由摆动时做简谐振动,并求振动角频率(这样 的摆称作复摆)。 解:刚体摆至任一角度硎受力mg 力对轴o的力矩M=- mgb sin(负号是因M的转向与的正 向相反)由转动定律M=所有 d20 mgbsin 0=J 小角度时sin≈O,有 d 0 mgb
8 三.简谐振动的动力学解法 1.由分析受力出发 ·分析物体在任一时刻的受力或力矩 (后者对刚体)； ·由牛顿定律(对刚体，由转动定律)列方程，如能得出 0 2 2 2 + x = dt d x 形式的方程， 则(1)说明振动是简谐振动； (2)可得出。 [例]质量为 m 的刚体可 绕固定水平轴 o 摆 动。设刚体重心 C 到轴 o 的距离为 b，刚体对轴 o 的转动惯量为 J。试证刚 体小幅度自由摆动时做简谐振动，并求振动角频率(这样 的摆称作复摆)。 解：刚体摆至任一角度时受力 mg 力对轴 o 的力矩 M = - mgb sin(负号是因 M 的转向与的正 向相反)由转动定律 M = J有 2 2 sin dt d mgb J − = 小角度时 sin ， 有 0 2 2 + = J mgb dt d · · o C b mg
可见:(1)此刚体的自由摆动是简谐振动 (2)角频率 W=("b)与 思考:若一单摆的频率与此复摆的频率相等,单摆的摆长l应是 多少?(此l称为复摆的等值单摆长) §3阻尼振动 阻尼振动的振动方程和表达式 当物体速度较小时,阻力∝速度 dt y:阻力系数 讨论在阻力作用下的弹簧振子,振动方程为 k 引入阻尼系数B=y/2m 固有频率0=(k/m)2 dx 得阻尼振动的振动方程 2+2B-+C0=0 1.在阻尼作用较小(β<ω)时,上述微分方程的解即阻尼 振动的振动表达式为 (t)=Aoep 'cos(o t+ Aoe 其中 B2) 振动曲线如图
9 可见：(1)此刚体的自由摆动是简谐振动 (2)角频率 2 1 ( ) J mgb w = 思考：若一单摆的频率与此复摆的频率相等，单摆的摆长 l 应是 多少？(此 l 称为复摆的等值单摆长) §3 阻尼振动 一.阻尼振动的振动方程和表达式 当物体速度较小时，阻力 速度。 dt dx f阻 = −v = − ：阻力系数 讨论在阻力作用下的弹簧振子，振动方程为 kx dt dx dt d x m = − − 2 2 引入阻尼系数 = /2m 固有频率 0 = (k/m) 1/2 得阻尼振动的振动方程 2 0 2 2 0 2 + + = dt dx dt d x 1．在阻尼作用较小( < 0)时，上述微分方程的解即阻尼 振动的振动表达式为 x(t) = A0e - t cos( t + ) 其中 = (0 2 - 2 ) 1/2 振动曲线如图 x t o A0e - t
2.过阻尼、欠阻尼和临界阻尼 欠阻尼 欠阻尼 过阻尼 过阻尼 临界阻尼B 应用:电表阻尼,天平阻尼 临界阻尼 §4受迫振动与共振 受迫振动在外来策动力作用下的振动 周期性策动力f= Fo cost 振动方程 =-kx-y()+f dt dt o x= hcos ot 其中 B=2,h 2m 稳态解:x=Aos(ot+) h A )2+4B2o2] 共振 共振是在一定条件下,振幅出现极大值,振动剧烈的现象。 共振角频率:O=(o-2B2
10 2．过阻尼、欠阻尼和临界阻尼 欠阻尼 2 2 临界阻尼 2 = 2 ⚫ 应用：电表阻尼 ， 天平阻尼 §4 受迫振动与共振 一．受迫振动在外来策动力作用下的振动。 周期性策动力 f = F0 cost 振动方程 f dt dx k x dt d x m = − − ( ) + 2 2 x h t dt dx dt d x 2 cos 2 2 0 2 + + = 其中 m F h m m k 2 0 1 0 , 2 = ( ) , = = 稳态解：x =Acos( t+) 2 1 2 2 2 2 2 0 [( − ) + 4 ] = h A 二.共振 共振是在一定条件下，振幅出现极大值，振动剧烈的现象。 共振角频率： r= (0 2 -2 2 ) 1/2 x t o 欠阻尼 过阻尼 临界阻尼