《大学物理》气体分子运动论

第一章气体动理论 §1理想气体的压强和温度 理想气体的微观模型 1.忽略分子大小(看作质点) 分子线度分子间平均距离 2.忽略分子间的作用力(分子与分子或器壁碰撞时除外 3.碰撞为完全弹性 分子服从经典力学规律 平衡态理想气体分子的统计假设 1.按位置的均匀分布 分子在各处出现的概率相同(重力不计)。容器内各处分子数密度 相同: n= dN/dv= N 2.速度按方向的分布均匀 由于碰撞,分子往各方向运动的概率相同 卩=v=v=0 其中 v=(v1x+v2x+…+w2x) 三.理想气体压强公式 2-3 nEt 其中 n:分子数密度 :分子质量 分子平均平动动能

1 第一章 气体动理论 §1 理想气体的压强和温度 一．理想气体的微观模型 1．忽略分子大小（看作质点） 分子线度 分子间平均距离 2．忽略分子间的作用力（分子与分子或器壁碰撞时除外） 3．碰撞为完全弹性 4．分子服从经典力学规律 二．平衡态理想气体分子的统计假设 1．按位置的均匀分布 分子在各处出现的概率相同（重力不计）。容器内各处分子数密度 相同： n = dN/dV = N/V 2．速度按方向的分布均匀 由于碰撞,分子往各方向运动的概率相同 2 2 2 2 3 1 0 v v v v v v v x y z x y z = = = = = = 其中 v 2 x = (v 2 1x + v 2 2x + … + v 2 Nx)/N v 2 = v 2 x +v 2 y +v 2 z 三．理想气体压强公式 ：分子平均平动动能 ：分子质量 ：分子数密度 其中 2 2 2 1 3 2 3 1 v n P n v n t t      = = =

推导 速度分组 m:+c的数密度 n=∑n1:数密度 一个分子碰壁一次对壁的冲量 v 面光滑在y,z方向冲量=0 全部分子在dt时间内对dA的冲量 d2I=∑2Anm(n2vadd4) vⅸx>0 ∑m( nv.dtd atdA>n 2 压强 u>nivix dtd ∑H 压强与平均平动动能的关系 P=-nEt 压强是大量分子碰撞器壁单位面积作用力的统计平均值 四.温度的微观含义 2

2 vi 推导： 速度分组 ：数密度 ： 的数密度 = → + i i i i i n n n v v dv    一个分子碰壁一次对壁的冲量 ix 2 v 面光滑 在 y,z 方向冲量＝0 全部分子在 dt 时间内对 dA 的冲量 ( ) ( ) =  =  =   i i ix all ix ix i ix ix ix i ix dtdA n v v v n v dtdA v d I v n v dtdA 2 0 2 2    压强 2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 p n v n v n v n n v n n v dtdA d I P x i i ix i i ix      = = =  =  ＝ ＝ 压强与平均平动动能的关系 t t P n v    3 2 2 1 2 = = 压强是大量分子碰撞器壁单位面积作用力的统计平均值 四．温度的微观含义

1.温度和平均平动动能的关系 n8 P=nkt 2.温度的统计意义 标志分子无规运动的剧烈程度 只能用于大量分子的集体 3.方均根速率-分子速率的一种描述 E1== kT 2 SRT §2能量均分定理,理想气体的内能 自由度 决定物体空间位置所需独立坐标的数目 自由质点:平动自由度t=3 刚体绕通过质心轴的 转动:转动自由度r 能量按自由度的 均分定理 1.定理(用经典统计可证 明) y 在温度为T的热平衡 态下,物质(气体,液体x 和固体)分子的每个自由 Gp:轴方向 度都具有相同的平均动 y:自转角度 能-kT. 2 ●平均平动动能

3 1．温度和平均平动动能的关系 kT P nkT P n t t 2 3 3 2 = = =   2．温度的统计意义 标志分子无规运动的剧烈程度 只能用于大量分子的集体 3．方均根速率-分子速率的一种描述 M kT RT v t v kT 3 3 2 3 2 1 2 2 = = = =    §2 能量均分定理,理想气体的内能 一．自由度 ⚫ 决定物体空间位置所需独立坐标的数目 ⚫ 自由质点：平动自由度 t = 3 ⚫ 刚体绕通过质心轴的 转动：转动自由度 r = 3 二． 能量按自由度的 均分定理 1.定理（用经典统计可证 明） 在温度为 T 的热平衡 态下，物质（气体，液体 和固体）分子的每个自由 度都具有相同的平均动 能 kT 2 1 . ⚫ 平均平动动能 x y z      ：轴方向  ：自转角度

kT==kT kT kT ●平均转动动能 8==kT ●平均振动能(动能十势能) 假定是简谐振动:平均动能=平均势能 E=二kT+kT=kT ●总自由度 t+r+2s 其中 t一平动自由度 转动自由度 振动自由度 ●总能量: kT 2.重要情况 ●单原子分子(He,Ar) i=t=3 8=-kT==kT ●刚性双原子分子(H,O2)

4 ( ) kT v v v kT v v v kT kT t t x y z x y z x y z t 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 , 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 = = = = = = = = = = =        ⚫ 平均转动动能 kT r r 2  = ⚫ 平均振动能（动能＋势能）： 假定是简谐振动：平均动能＝平均势能 kT S kT S kT S v 2 2 2 2  = + = ⚫ 总自由度 i =t +r +2s 其中 t—平动自由度 r—转动自由度 s—振动自由度 ⚫ 总能量: kT i 2  = 2．重要情况 ⚫ 单原子分子（He，Ar）： kT kT i i t 2 3 2 3 = = = =  ⚫ 刚性双原子分子（H2，O2）：

x,y,2 绕对称轴的转 y 动无意义不计 y自由度 2 i=t+r=3+2=5 8==kT 2 ●刚性多原子分子(H0): i=t+r=3+3=6 8=3kT ●晶格点阵上的离子: 2s=2×3=6 8=3kT 理想气体的内能 1.内能:分子动能,分子中原子间的势能和分子间势能的总和 2.理想气体内能 分子间势能为零内能只包括分子的平动,转动,振动动能和振动势能 内能只与T有关。若气体有M个分子,则 E=N-KT=VERT 其中N为气体的分子总数 §3麦克斯韦速率分布律 速率分布函数 把速率分成很多相等的间隔4v,统计每△v间隔内的分子数aM 1.速率分布函数

5 绕对称轴的转 动无意义 不计  自由度 kT i t r 2 5 3 2 5 r 2 = = + = + = =  ⚫ 刚性多原子分子（H2O）： kT i t r 3 3 3 6 = = + = + =  ⚫ 晶格点阵上的离子： kT i s 3 2 2 3 6 = = =  =  二．理想气体的内能 1．内能:分子动能，分子中原子间的势能和分子间势能的总和 2．理想气体内能 分子间势能为零 内能只包括分子的平动，转动，振动动能和振动势能. 内能只与 T 有关。若气体有 N 个分子, 则 RT i kT i E N 2 2 = = 其中 N 为气体的分子总数 §3 麦克斯韦速率分布律 一．速率分布函数 把速率分成很多相等的间隔v,统计每v 间隔内的分子数N 1． 速率分布函数 ( ) Ndv dN F v = v    x,y,z x y z

dM:v附近pd内的分子数 dM的物理意义有两个等价的描述 在速率v附近单位速率区间内的分子数占分子总数的百分比 个分子的速率处于v附近单位速率区间的概率一“概率密度” ●“归一化 Fl)dv ●速率n1区间的分子数 NF(dv 取平均值的两种方法 ∑ NF(vk 麦克斯韦速率分布律 1859年 Maxwell用概率论证明了:平衡态下理想气体分子的速率分布 函数为 3/2 4 e--/2k7y,2 2丌kT ●速率分布曲线与温度的关系 T T2(Tn 二 种速率 1.最概然速率

6 dNv：v 附近 v～v+dv 内的分子数 dNv的物理意义有两个等价的描述: 在速率 v 附近单位速率区间内的分子数占分子总数的百分比。 一个分子的速率处于 v 附近单位速率区间的概率—“概率密度” ⚫ “归一化” ( ) 1 1 0  = =   dNv N F v dv ⚫ 速率 v1 v2区间的分子数 ( )  − =  2 1 1 2 v v v v N N F v dv 取平均值的两种方法 =  i v N v 1 ( ) =  2 1 1 v v NF v dv N v 二．麦克斯韦速率分布律 1859 年 Maxwell 用概率论证明了:平衡态下理想气体分子的速率分布 函数为 ( ) / 2 2 2 3/ 2 2 4 v kT F v  v k T    −                 = e ⚫ 速率分布曲线与温度的关系 三． 三种速率 1.最概然速率 F(v) v T1 T2(>T1)

dF 得 dt 2RT2kT 141 F(D=18T 2.平均速率 由麦克斯韦速率分布函数得 下=1(0如=8r 1.59 3.方均根速率 23KA12k7 §4气体分子的平均自由程 分子模型 无相互作用的刚性球(有效直径d) 碰撞频率 个分子单位时间内所受碰撞的平均次数 ●设分子A 以平均 元△t 静止 相对速 率L运 u 动,其他 分子不 n 动。以A 的轨迹 为轴线, 以d为半径作长为L4t圆柱体 ●凡分子中心在柱体内的分子都将与A相碰。圆柱体体积:πd4t, 柱体内分子数:πd2L4tn,(m数密度)。 碰撞频率 z=(d u 4t n)/at= td 2u 7

7 ( ) ( ) e kT F v kT kT M RT v dv dF v p p     1 8 1.41 2 2 0 = = =  由 = 得 2.平均速率 由麦克斯韦速率分布函数得 ( )   kT kT v vF v dv 1.59 8 0 =  =   3.方均根速率 ( )   kT kT v v F v dv 1.73 3 0 2 2 =    ＝ §4 气体分子的平均自由程 一．分子模型 无相互作用的刚性球 (有效直径ｄ) 二． 碰撞频率 一个分子单位时间内所受碰撞的平均次数 ⚫ 设分子A 以平均 相对速 率 u 运 动，其他 分子不 动。以 A 的轨迹 为轴线， 以ｄ为半径作长为 u t 圆柱体。 ⚫ 凡分子中心在柱体内的分子都将与 A 相碰。圆柱体体积: d 2 u t， 柱体内分子数: d 2 u t n，(n—数密度)。 碰撞频率 Z = (d 2 u t n)/t = d 2 u n d =d 2 ut u n 静止 A

●平均相对速率和平均速率的关系为 Z=√2ml2vn 元T =4d2y ●标准状况下,空气分子 z=6.5×10次/秒 (每秒碰65亿次!) 三.平均自由程 气体分子在相邻两次碰撞间飞行的平均 路程 对于理想气体 见: KT 2 2nd p 九与温度T无关! 标准状况下,空气分子 d=3.5×10-m,飞=6.9×10 (约为d的200倍) 低压下,P一般容器线度(~1m) 认为:λ~容器线度

8 ⚫ 平均相对速率和平均速率的关系为 u = 2 v Z T kT d n Z d vn  = =    2 2 4 2 ⚫ 标准状况下,空气分子 Z = 6.5109 次/秒 （每秒碰 65 亿次! ） 三．平均自由程 气体分子在相邻两次碰撞间飞行的平均 路程 Z v  = 对于理想气体 与温度T无关！ d p kT n     2 2 2 1 = = ⚫ 标准状况下,空气分子 ｄ= 3.510-10 m , = 6.910-8 m (约为ｄ的 200 倍) ⚫ 低压下, P 一般容器线度(1m) 认为:   容器线度 v v u

、本章要求 1.掌握理想气体状态方程,并能熟练的加以应用。 2.理解理想气体的温度公式和压强公式,了解系统的宏观性质是微观运 动的统计表现。 3.理解自由度概念,掌握能量按自由度均分定理,并能熟练用于理想 气体内能的计算。 4.理解速率分布函数和速率分布曲线的物理意义,会计算理想气体平 衡态下的三种特征速率(最概然速率,平均速率,方均根速率) 5.理解气体分子平均碰撞频率和平均自由程, 、知识系统图 微观模型: 气体分子运动论 统计假设: 1)分子视为质点 2)分子自由运动 3)分子碰撞是完全弹性的 4)从经典力学规律 宏观量是微观量 的统计平均值 状态方程 统计平均量 统计规律 压强公式p= p= nkT 温度公式T= 速率分布函数 平均平动动能a=-m 能量按自由度均分定 理 麦克斯韦速率分布律 分子每自由度的平均动 f(v)=4r( 能为一kT 平均碰撞频率■ 归一化条件: 分子的总平均动能为 ∫f(v)dv=1 Ek=-kT 平均自由程

9 一、本章要求 1. 掌握理想气体状态方程，并能熟练的加以应用。 2. 理解理想气体的温度公式和压强公式，了解系统的宏观性质是微观运 动的统计表现。 3. 理解自由度概念，掌握能量按自由度均分定理，并能熟练用于理想 气体内能的计算。 4. 理解速率分布函数和速率分布曲线的物理意义，会计算理想气体平 衡态下的三种特征速率（最概然速率，平均速率，方均根速率）。 5. 理解气体分子平均碰撞频率和平均自由程。 二、知识系统图 微观模型： 气体分子运动论 1） 分子视为质点 2） 分子自由运动 3） 分子碰撞是完全弹性的 4） 遵从经典力学规律 统计假设： 1） V N dV dN n = = 2） 2 2 2 2 3 1 v z v y v x v = = = 3) = = = 0 z v y v x v 宏观量是微观量 的统计平均值 状态方程: RT M pv  = p = nkT 统计平均量： 压强公式 p n 3 2 = 温度公式 k T 3 2 = 平均平动动能 2 2 1  = mv 统计规律 速率分布函数： Ndv dN f (v) = 麦克斯韦速率分布律： kT m v ) kT m f ( v ) ( v e 2 2 4 2 2 2 3 − =   归一化条件： 1 0  ( ) =  f v dv 平均碰撞频率： z d nv 2 = 2 平均自由程： d p kT z v 2 2  = = 能 量按自由度均分定 理： 分子每自由度的平均动 能为 kT 2 1 分子的总平均动能为： kT i k 2  =

例题 1.说明下列各式的物理意义:k7,k7,k7,以RT。 答:kT:气体分子热运动的每个自由度的平均能量。 盏kT:每个气体分子热运动的平均平动动能 kT:每个气体分子热运动的平均总动能 2RT:是mol的理想气体内能 2.当盛有理想气体的密封容器相对某惯性系运动时,能否说容器内分子的热运动速度相对这参照系 也增大了,从而气体的温度也因此而生高了,为什么?假如该容器突然停止运动,容器内气体的压 强、温度是否有变化?为什么? 答:(1)公式士m2=是kT揭示了温度的微观本质,即温度仅是分子热运动的平均运动的量度,与是 否有定向运动无关,所以当容器发生定向运动时,虽然每个分子此时在原有的热运动上叠加了定向 运动,也不会因此而改变分子的热运动状态,所以气体的温度不会生高 (2)容器突然停止运动时,分子的定向运动动能经过分子与容器壁的碰撞和分子间的互相碰撞从 而发生能量的转化,定向运动的机械能转化为分子热运动能,气体的内能增加了,所以气体的温度 生高了,由于容积不变,所以气体的压强也增大了。 3.说明下列各式的物理意义 (1)f(v)(2)f(v)dh (3)Nf(v)dv (4)f(v)dv 答:f(v):速率分布在v附近的单位速率间隔中的分子数占总分子数的百分比 f(v)如v:表示速率在v~v+h区间内的分子数占总分子数的百分比。 N(v)h:表示速率在v~v+h区间内的分子数 f(v)h:表示速率在v1~v2区间内的分子数占总分子数的百分比 4.若气体分子速率分布曲线如图所示,图中A、B两部分面积相等,则图中v0的意义是什么? 答:由f(v)~v曲线可知,图中A部分面积 f(v)d B部分的面积 Sg=f(v)dv SA的意义为比vo小的分子数占总分子数的百分率,而SB的意义为速率比vo大的分子数占总 分子数的百分率。由已知条件SA=SB,可得出图中v0的意义表示气体在该平衡态下,分子速率比 v大的分子数与比v小的分子数相等,各占总分子数的一半 5.氢和氦的温度相同,摩尔数相同,那么这两种气体的 1)分子的平均动能是否相等? 2)分子的平均平动动能是否相等? 3)内能是否相等 解:因为分子的平均动能=kT,分子的平均平动动能=是kT,内能="RT 而对于H2:i5,对于He:i=3 又两种气体的摩尔数、温度T均相同 故两种气体分子的平均动能不等 两种气体分子的平均平动动能相等 两种气体分子的内能不相等

10 例题 1．说明下列各式的物理意义： kT kT kT RT i i M 2 2 2  3 2 1 , , , 。 答： kT 2 1 ：气体分子热运动的每个自由度的平均能量。 kT 2 3 ：每个气体分子热运动的平均平动动能。 kT i 2 ：每个气体分子热运动的平均总动能。 RT i M 2  ：  M mol 的理想气体内能。 2．当盛有理想气体的密封容器相对某惯性系运动时，能否说容器内分子的热运动速度相对这参照系 也增大了，从而气体的温度也因此而生高了，为什么？假如该容器突然停止运动，容器内气体的压 强﹑温度是否有变化?为什么? 答:(1)公式 mv kT 2 2 3 2 1 = 揭示了温度的微观本质，即温度仅是分子热运动的平均运动的量度，与是 否有定向运动无关，所以当容器发生定向运动时，虽然每个分子此时在原有的热运动上叠加了定向 运动，也不会因此而改变分子的热运动状态，所以气体的温度不会生高。 (2)容器突然停止运动时，分子的定向运动动能经过分子与容器壁的碰撞和分子间的互相碰撞从 而发生能量的转化，定向运动的机械能转化为分子热运动能，气体的内能增加了，所以气体的温度 生高了，由于容积不变，所以气体的压强也增大了。 3．说明下列各式的物理意义 （1） f (v) (2) f (v)dv (3) Nf (v)dv (4)  2 1 v v f(v)dv 答： f (v) :速率分布在 v 附近的单位速率间隔中的分子数占总分子数的百分比。 f (v)dv :表示速率在 v ~ v + dv 区间内的分子数占总分子数的百分比。 Nf (v)dv :表示速率在 v ~ v + dv 区间内的分子数。  2 1 ( ) v v f v dv ：表示速率在 1 ~ 2 v v 区间内的分子数占总分子数的百分比。 4．若气体分子速率分布曲线如图所示，图中 A、B 两部分面积相等，则图中 0 v 的意义是什么？ 答：由 f (v) ~ v 曲线可知，图中 A 部分面积  = 0 0 ( ) v S A f v dv B 部分的面积   = 0 ( ) v S B f v dv A S 的意义为比 0 v 小的分子数占总分子数的百分率，而 B S 的意义为速率比 0 v 大的分子数占总 分子数的百分率。由已知条件 S A = SB ，可得出图中 0 v 的意义表示气体在该平衡态下，分子速率比 0 v 大的分子数与比 0 v 小的分子数相等，各占总分子数的一半。 5．氢和氦的温度相同，摩尔数相同，那么这两种气体的 1）分子的平均动能是否相等？ 2）分子的平均平动动能是否相等？ 3）内能是否相等？ 解：因为分子的平均动能 = kT i 2 ，分子的平均平动动能= kT 2 3 ，内能= RT i M 2  而对于 H2：i=5，对于 He：i=3 又两种气体的摩尔数  M 、温度 T 均相同， 故 两种气体分子的平均动能不等； 两种气体分子的平均平动动能相等； 两种气体分子的内能不相等