《大学物理》麦克斯韦方程组和电磁辐射

麦克斯韦方程组和电磁辐射 §1麦克斯韦方程组 静电场,稳恒电流的磁场 fD"·d=∑q静电场的高斯定理 E()·d=0 静电场的环路定理 磁场的高斯定理 .d=∑!磁场的环路定理 、变化的电场和磁场 1.变化的磁场产生电场 fE.d=如n 2.变化的电场产生磁场 位移电流 ●问题的提出 将H的回路定理用于闭合的电流回路是没有问题的,用于不 闭合的电流回路就出现了矛盾。 例如,电容器的充电回路(下图)。 S R 对S1(平面):5Fd=1 对S2(曲面):5Fd=0 出现了矛盾 矛盾的出现是必然的,因为回路与电流没有套连。电流是断开的, 而且电流的大小在变化,不是恒稳电流。 1861年末,麦克斯韦把安培环路定理推广到非稳恒电流的情况, 又提出了另一个重要的假设 在电容器充电时,“电容器内变化的电场也象电流一样会产生 磁场”。他认为变化的电场可以看作一种电流,称为位移电流

麦克斯韦方程组和电磁辐射 § 1 麦克斯韦方程组 一、静电场，稳恒电流的磁场  D  dS = q S   (1) 静电场的高斯定理 0 (1)  =  E dl L   静电场的环路定理 0 (1)  = S B dS   磁场的高斯定理  H  dl = I L   (1) 磁场的环路定理 二、变化的电场和磁场 1．变化的磁场产生电场 dt d E dl m L   = −    (2) 2．变化的电场产生磁场 位移电流 ⚫ 问题的提出 将 H  的回路定理用于闭合的电流回路是没有问题的，用于不 闭合的电流回路就出现了矛盾。 例如,电容器的充电回路(下图)。 对 S1 （平面）: H dl I L  =    对 S2 （曲面）:  = 0  H dl L   出现了矛盾! 矛盾的出现是必然的,因为回路与电流没有套连。电流是断开的, 而且电流的大小在变化，不是恒稳电流。 1861 年末,麦克斯韦把安培环路定理推广到非稳恒电流的情况， 又提出了另一个重要的假设: 在电容器充电时,“电容器内变化的电场也象电流一样会产生 磁场”。他认为变化的电场可以看作一种电流,称为位移电流。 L R I S1 S2

如果把位移电流也作为电流,安培环路定理就没有矛盾了 ●位移电流 麦克斯韦提出的位移电流为 dφ 中=D·d --—-为电位移的通量。 为什么这样就没有了矛盾呢? E S 充电时,板间为均匀电场 d少=d(DS)=Ed(ES) d E Is=dos=do l. dt 即有 d t 传 d 所以 dt 就没有矛盾了。 ●全电流及修正后的安培环路定理 全=1传 十 位 全电流总是连续的 对S1面只有传 对S2面只有Ⅰ位 而这两项是相同的。 H·dl=I+1位

如果把位移电流也作为电流，安培环路定理就没有矛盾了。 ⚫ 位移电流 麦克斯韦提出的位移电流为 t I D d d 位 =  =  S D D dS    D------为电位移的通量。 为什么这样就没有了矛盾呢 充电时，板间为均匀电场 d d(DS) d(ES) D  = =  S d S dQ I dt d  = = = 传      =     即有 I t d D d 传  = 所以 位 传 I t I D = = d d 就没有矛盾了。 ⚫ 全电流及修正后的安培环路定理 I全 = I传 + I位 全电流总是连续的: 对 S1面只有 I 传， 对 S2面只有 I 位， 而这两项是相同的。   = + L H l I传 I位   d + E - I传 I传 S

ds 因为传 don d dt dt ∫D:ds=「 D at 所以有H·d=/, at aD 式中 -称为位移电流密度 at 、麦克斯韦方程组 E=E()+E(2) B D=aE:h=-=gE )∮Dds=∑qw=」pdv 电场的高斯定律 E·dl do aB d s d t t 电场的环路定理 (3)∮BdS=0 磁场的高斯定律

因为  =  S I J S   d 传 S t D D S t t I S S D     d d d d d d    = =  =    位 所以有               = + L S S t D H l J      d d 式中 t D    ------称为位移电流密度 三、麦克斯韦方程组 (1) (2) E E E    = + B B传 B位    = + ( J E B D E H         =  ; = ; = ) ( ) 电场的高斯定律 内        = = S V 1 D d S q dv 0  ( ) 电场的环路定理     S t B t E l L S d d d 2 d     = − = −    ( ) 磁场的高斯定律   3 d = 0  S B S

()f厅:7=1+1= aD.ds t ·磁场的环路定理。 说明 1.麦克斯韦方程组概括了电磁场的基本规律。 麦克斯韦方程组说明了电磁场是统一的整体。 麦克斯韦方程组满足相对性原理(洛仑兹变换不变性)。 2.以上麦克斯韦方程组是积分形式,反映了电磁场的瞬时关系 与区域关系 麦克斯韦方程组的微分形式可由数学中的高斯公式和斯托克 斯公式得到。 Ads=v Adv 高斯公式 斯托克斯公式JA.d=/ Vx Ads S 麦克斯韦方程组的微分形式 (1)V·D=p (2)V×E= (3)V.B=0 (4)V×B=J+ D at 它反映了电磁场的瞬时关系与当地关系。 、基本要求 1.理解涡旋电场、位移电流的概念。 2.理解麦克斯韦方程组积分形式的物理意义

( ) 磁场的环路定理。 传 位       S t D H l I I J L S 4 d  d            = + = +   说明： 1. 麦克斯韦方程组概括了电磁场的基本规律。 麦克斯韦方程组说明了电磁场是统一的整体。 麦克斯韦方程组满足相对性原理 (洛仑兹变换不变性)。 2. 以上麦克斯韦方程组是积分形式,反映了电磁场的瞬时关系 与区域关系。 麦克斯韦方程组的微分形式可由数学中的高斯公式和斯托克 斯公式得到。 高斯公式    =   S V A d s Adv    斯托克斯公式    =    L S A l A s     d d 麦克斯韦方程组的微分形式: (1)   D =   (2) t B E    = −   (3)   B = 0  (4) t D B J    = +    它反映了电磁场的瞬时关系与当地关系。 一、基本要求 １．理解涡旋电场、位移电流的概念。 ２．理解麦克斯韦方程组积分形式的物理意义

3.了解电磁波的基本性质 、知识系统图 麦克斯韦两个基本假设: 1.涡旋电场(感生电场)E 于E,d=-·d,E=0 2.位移电流1pdt 位移电流密度D 电磁场的基本方程,麦克斯韦方程组的基本形式 fs fB·d=s行+)·d 例题 1.位移电流与传导电流有何区别与相似之处? 答:位移电流与传导电流的区别为: (1)传导电流由电荷的定向运动产生,而位移电流由电场随时间变化而产生 (2)传导电流只能存在于导电物质中,而位移电流只与变化的电场有关,因此在真空与绝 缘介质中都能存在; (3)传导电流在流动过程中由于电子和导体中原子的碰撞要产生焦耳热,而位移电 流没有电荷的宏观运动,所以一般无热效应。只有高频电场中的介质,由于反复极化,也会 引起介质发热,但这种热效应不符合焦耳楞次定律 相似处:两种电流都能以同一方式激发磁场,而且所激发的磁场有相同的性质。 2.如图在半径为R的圆柱体内充满匀强磁场B,有一长为l的金属杆放在磁场里,设B以 速率变化,且a>O0,试求杆上的感生电动势。 解:求感生电动势主要用m的方法 dt 如为单根导线,则应根据情况补成回路 方法一:选取三角形OABO回路, 可使问题简化。因为OA、OB为半径,变化的磁场产生的涡旋电场场强正好与半径垂直

３．了解电磁波的基本性质。 二、知识系统图 例题 1．位移电流与传导电流有何区别与相似之处？ 答：位移电流与传导电流的区别为： （１） 传导电流由电荷的定向运动产生，而位移电流由电场随时间变化而产生； （２）传导电流只能存在于导电物质中，而位移电流只与变化的电场有关，因此在真空与绝 缘介质中都能存在； （３）传导电流在流动过程中由于电子和导体中原子的碰撞要产生焦耳热，而位移电 流没有电荷的宏观运动，所以一般无热效应。只有高频电场中的介质，由于反复极化，也会 引起介质发热，但这种热效应不符合焦耳楞次定律。 相似处：两种电流都能以同一方式激发磁场，而且所激发的磁场有相同的性质。 2．如图在半径为 R 的圆柱体内充满匀强磁场 B  ，有一长为 l 的金属杆放在磁场里，设 B 以 速率 dt dB 变化，且 0 dt dB ，试求杆上的感生电动势。 解：求感生电动势主要用 dt dm 的方法， 如为单根导线，则应根据情况补成回路。 方法一：选取三角形 OABO 回路， 可使问题简化。因为 OA、OB 为半径，变化的磁场产生的涡旋电场场强正好与半径垂直， 麦克斯韦两个基本假设： 1．涡旋电场（感生电场） i E     =     = − dS 0 i dS , E t B d i E L s       l 2．位移电流 dt d I D D  = 位移电流密度 dt dD D  = ； 电磁场的基本方程，麦克斯韦方程组的基本形式： S  = V D dS dV     = 0 S B dS   dS t B E d L S           l = −       = + L S ) dS t D H dl ( j     

E,d=D0E,d=0,整个三角形回路的电动势等于AB杆上的电动势,也等于△OAB 中磁通量对时间的变化率 6=E1=101:+0+0=Bs=h4B=21k2-2dB dt 2 dt 2 4 dt 由楞次定律判定三角形回路中电动势为逆时针方向,即ε,从左到右。 方法二:由于对称性,涡旋电场场强E,可求出来。在磁场中取圆心为O,半径为r的 圆,根据麦克斯韦方程 E.d==如m 27rE =-7Z 得 E 由楞次定律判定电力线为逆时针方向。在AB上任取一线元dl,距圆心为r,圆心距杆为h 是E1与dl间,也是r与h间夹角,则 EaB dE=aBEidl =LAB E d- cos0=Jx82 dr dl cos e h dB h. dB I 12 dB EAB)0说明vB》4 补充习题 1.在圆柱形空间内有一磁感应强度为B的均匀磁场,如图所示。B的大小以速率一变化 在磁场中有A、B两点,其间可放直导线AB和弯曲的导线AB (A)电动势只在AB导线中产生 (B)电动势只在AB导线中产生 (C)电动势在AB和AB中都产生,且两者大小相等。 B (D)AB导线中的电动势小于AB导线中的电动势。 2.如图,平板电容器(忽略边缘效应)充电时,沿环路L1、 L2磁场强度的环流中,必有: )f,H·d),H:d H·al=,H·dl C)1f:d④2H,d(D)1:d=0 3.反映电磁场基本性质和规律的积分形式的麦克斯韦方程组为 q f Edl sB·dS=0 (3

 =  = 0  OB i OA i E dl E dl     ，整个三角形回路的电动势等于 AB 杆上的电动势，也等于ΔOAB 中磁通量对时间的变化率。 dt l dB R l dt dB h l S dt dB dl i dl E i E AB AB 2 2 4 0 0 2 2 =   =   + + = = = −      由楞次定律判定三角形回路中电动势为逆时针方向，即 AB  从左到右。 方法二：由于对称性，涡旋电场场强 Ei  可求出来。在磁场中取圆心为 O，半径为 r 的 圆，根据麦克斯韦方程 dt dB r dt d m dl i E 2     = − = −   dt dB rE r i 2 2 = − 得 dt r dB Ei 2 = − 由楞次定律判定电力线为逆时针方向。在 AB 上任取一线元 dl  ，距圆心为 r，圆心距杆为 h，  是 Ei  与 dl  间，也是 r 与 h 间夹角，则 =   =   =  =  AB AB dl cos dt r dB dl cos i dl E i d E AB AB     2   = dt l dB R l dt dB l h dl dt l h dB 2 2 2 4 2 2 0  = = −   AB 0 说明 VB VA  。 补充习题 1. 在圆柱形空间内有一磁感应强度为 B  的均匀磁场，如图所示。 B  的大小以速率 dt dB 变化。 在磁场中有 A、B 两点，其间可放直导线 AB 和弯曲的导线 ， 则 （Ａ）电动势只在 AB 导线中产生。 （Ｂ）电动势只在 导线中产生。 （C）电动势在 AB 和 中都产生，且两者大小相等。 （Ｄ） AB 导线中的电动势小于 导线中的电动势。 2. 如图，平板电容器（忽略边缘效应）充电时，沿环路 L1、 L2 磁场强度的环流中，必有： (A)      1 2 L L H dl H dl     (B)  =    1 2 L L H dl H dl     (C)      2 L L H dl H dl     1 (D) 0 1   = L H dl   3. 反映电磁场基本性质和规律的积分形式的麦克斯韦方程组为 dt d m E dl L    = −   （２）   = 0 S B dS   （３）  =   = n i i D dS q S 1   （１）

fH·d=∑ do (4) 试判断下列结论是包含于或等效于哪一个麦克斯韦方程式的。将你确定的方程式用代号添 在相应结论后的空白处。 (A)变化的磁场一定伴随有电场 (B)磁感应线是无头无尾的 (C)电荷总伴有电场 4.在没有自由电荷与传导电流的变化磁场中 fH·dl 用导线围成如图所示的回路(以O点为心的圆,加一直径),放在轴线通过O点垂直于 图面的圆柱形均匀磁场中,如磁场方向垂直图面向里,其大小随时间减小,则感应电流 的流向为 × (4) (B) (C) 6.用导线围成的回路(两个以O点为心半径不同的同心圆,在一处用导线沿半径方向相 连),放在轴线通过O点的圆柱形均匀磁场中,回路平面垂直于柱轴,如图所示。如磁场 方向垂直图面向里,其大小随时间减小,则(A)→(D)各图中哪个图上正确表示了 感应电流的方向 7.在圆柱形空间内有一磁感应强度为B的均匀磁场,如图所示,B的大小以速率一变化 有一长度为l'的金属棒先后放在磁场的两个不同位置1(ab)和 2(ab’),则金属棒在这两个位置时棒内的感应电动势的大小关系为 (A)E2=E1≠0 (B)E2)E1 (C)E2(E1 (D)E2=E1 a××b 8.如图所示,空气中有一无限长金属薄壁圆筒,在表面上沿圆周方 向均匀的流着一层随时间变化的面电流i(),则 (A)圆筒内均匀的分布着变化磁场和变化电场 (B)任意时刻通过圆筒内假想的任意球面的磁通量 和电通量都为零

dt dΦ L D n i i H dl  I + =   = 1   （４） 试判断下列结论是包含于或等效于哪一个麦克斯韦方程式的。将你确定的方程式用代号添 在相应结论后的空白处。 （Ａ）变化的磁场一定伴随有电场 ； （Ｂ）磁感应线是无头无尾的 ； （Ｃ）电荷总伴有电场 。 4. 在没有自由电荷与传导电流的变化磁场中   = L H dl     = L E dl   5. 用导线围成如图所示的回路（以 O 点为心的圆，加一直径），放在轴线通过 O 点垂直于 图面的圆柱形均匀磁场中，如磁场方向垂直图面向里，其大小随时间减小，则感应电流 的流向为 6. 用导线围成的回路（两个以 O 点为心半径不同的同心圆，在一处用导线沿半径方向相 连），放在轴线通过 O 点的圆柱形均匀磁场中，回路平面垂直于柱轴，如图所示。如磁场 方向垂直图面向里，其大小随时间减小，则（Ａ）→（Ｄ）各图中哪个图上正确表示了 感应电流的方向？ 7. 在圆柱形空间内有一磁感应强度为 B  的均匀磁场，如图所示， B  的大小以速率 dt dB 变化。 有一长度为 l’的金属棒先后放在磁场的两个不同位置 1(ab)和 2(a’b’)，则金属棒在这两个位置时棒内的感应电动势的大小关系为 (A)  2 =  1  0 ； (B) 2 1   ； (C) 2 1   ； (D)  2 =  1 = 0 。 8. 如图所示，空气中有一无限长金属薄壁圆筒，在表面上沿圆周方 向均匀的流着一层随时间变化的面电流 i(t)，则 (A) 圆筒内均匀的分布着变化磁场和变化电场。 (B) 任意时刻通过圆筒内假想的任意球面的磁通 量 和电通量都为零。     • O (A)     • O (B)     • O (C)     • O (D)

(C)沿圆筒外任意闭合环路上电场强度的环流为零。 (D)沿圆筒外任意闭合环路上磁感应强度的环流为零。 9.圆形平行板电容器,从q=0开始充电,试画出充电过程中 极板间某点P处电场强度的方向和磁场强度的方向。 10.图示为一圆柱体的横截面,圆柱体内有一均匀电场E,其 方向垂直纸面向内,E的大小随时间t线性增加,P为柱体 内与轴线相距为r的一点。则 (1)P点的位移电流密度的方向为 (2)P点感生磁场的方向为 xx

(C) 沿圆筒外任意闭合环路上电场强度的环流为零。 (D) 沿圆筒外任意闭合环路上磁感应强度的环流为零。 9. 圆形平行板电容器，从 q=0 开始充电，试画出充电过程中， 极板间某点 P 处电场强度的方向和磁场强度的方向。 10. 图示为一圆柱体的横截面，圆柱体内有一均匀电场 E  ，其 方向垂直纸面向内， E  的大小随时间 t 线性增加，P 为柱体 内与轴线相距为 r 的一点。则 （１）P 点的位移电流密度的方向为 。 （２）P 点感生磁场的方向为