第4章功和能 §1功 功:力和力所作用的质点(或质元)的位移的标量积。 12 dw 功依赖于参考系; 功是标量,有正、负之分。 §2动能定理 对质点,由牛顿第二定律,有动能定理: W12=EA2-E(对惯性系) EA=mv2—动能 对质点系,有动能定理 ∑W外+∑W内=∑Ek2-∑E1 即W外+大 注意:内力虽成对出现,但内力功的和不一定为零(∵各 质点位移不一定相同)。 §3一对力的功 对力 分别作用在两个物体上的大小相等、方向相反的力,我 们称之为“一对力”。 对力通常是作用力与反作用力,但也可以不是。如图
第 4 章 功和能 §1 功 功：力和力所作用的质点（或质元）的位移的标量积。 = = (2) (1) (2) (1) W12 dW F d r ·功依赖于参考系； ·功是标量，有正、负之分。 §2 动能定理 对质点，由牛顿第二定律，有动能定理： W12 = Ek 2 − Ek1 （对惯性系） 2 v 2 1 Ek = m ── 动能 对质点系，有动能定理： Wi外 +Wi内 = Ek 2i −Ek1i 即 W外 +W内 = Ek 2 − Ek1 注意：内力虽成对出现，但内力功的和不一定为零（各 质点位移不一定相同）。 §3 一对力的功 一. 一对力 分别作用在两个物体上的大小相等、方向相反的力，我 们称之为“一对力”。 一对力通常是作用力与反作用力，但也可以不是。如图 F dr m • 1 2 L × ×
示的f与厂2就不是作用力与反作用力,但仍是一对力。另外, 对力中的两个力也并不要求必须在同一直线上。 互←0 MO→五=五 2 对力的功 B P2 A2 dW对=f1·d7+f2d f2·(d2-d) f/2·d(2-F)=f2d2t dn21:m相对于m的元位移。 令:(1)表示初位形,即m在A,m在A; (2)表示末位形,即m在B,m在B。 则 ∫·d五(=「d) (1) 说明: 1.陨与参考系选取无关。为方便起见,计算时常认为其中 个质点静止,并以该质点所在位置为原点,再计算另一质 点受力所做的功,这就是一对力的功
示的 1 f 与 2 f 就不是作用力与反作用力，但仍是一对力。另外， 一对力中的两个力也并不要求必须在同一直线上。 二. 一对力的功 d 1 d 1 2 d 2 W f r f r 对 = + (d d ) 2 2 1 f r r = − 2 2 1 2 d 21 f d(r r) f r = − = d 21 r ：m2相对于 m1 的元位移。 令：(1)表示初位形，即 m1在 A1，m2 在 A2； (2)表示末位形，即 m1在 B1，m2 在 B2 。 则： d ( d ) (2) (1) 1 12 (2) (1) 12 2 21 W = f r = f r 对 说明： 1.W对 与参考系选取无关。为方便起见，计算时常认为其中 一个质点静止，并以该质点所在位置为原点，再计算另一质 点受力所做的功，这就是一对力的功。 f2 f1 = - f2 2 1 m1 y × B2 f1 f2 dr1 dr 2 r21 m2 x B1 A1 z A2 o r1 r2 × × × • •
2.一对滑动摩擦力的功恒小于零(摩擦生热是一对滑动摩 擦力作功的结果)。 以地面为参考系: W对=f·S=-fS 以滑块为参考系: W对=广S"=-f"S"=-fS 3.在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情况下, 对力的功必为零。 2 M 光滑 上图中:N不垂直于v1,W≠0 N′不垂直于ⅴ2,W,≠0 但 W=W +W=0 对 (∵N⊥V12,即N⊥dF2) §4保守力 定义 如果一对力所做的功与相对移动的路径无关,而只决定 于相互作用的物体的始末相对位置,这样的力称为保守力。 如图示,在(1)和(2)点间有路径L和路径L2,用积分上 下限反映作功时沿路径的走向。对于保守力作功,必有:
2.一对滑动摩擦力的功恒小于零（摩擦生热是一对滑动摩 擦力作功的结果）。 以地面为参考系： W = f S = − f S 对 以滑块为参考系： W = f S = − f S = − f S 对 3.在无相对位移或相对位移与一对力垂直 的情况下，一 对力的功必为零。 上图中： v1 N 不垂直于 ，WN 0 ， v2 N不垂直于 ，WN 0 ， 但 W对 =WN +WN = 0。 （ N v12 ,即N d r12） ⊥ ⊥ §4 保守力 一. 定义 如果一对力所做的功与相对移动的路径无关，而只决定 于相互作用的物体的始末相对位置，这样的力称为保守力。 如图示，在(1)和(2)点间有路径 L1 和路径 L2 ，用积分上 下限反映作功时沿路径的走向。对于保守力作功，必有： S m f 地面 S f′ N′ N v1 M v12 光滑 m 2 1 v2
C jdi+r jdi d r 12 LI L=LI+L2 即「f·dF=0(F为相对元位移) 上式表明:保守力沿闭合路径一周所做的功为零。这 结论也可以作为保守力的定义,它和保守力的功与路径无关 的定义是完全等价的。 二.几种保守力 万有引力: 如图示,质点M和m间有万有引力作用。认为M静止 且选M为原点,则M对m的万有引力为:=-CMm 对万有引力的功: (2) A Wi2x-=Fdr dxrd r s2)GMm ur.dr GMn GMm Gmm 2 Fi
d d 0 1 2 2 1 2 1 + = f r f r L L 即 d = 0 L f r （ r d 为相对元位移） 上式表明：保守力沿闭合路径一周所做的功为零。这一 结论也可以作为保守力的定义，它和保守力的功与路径无关 的定义是完全等价的。 二. 几种保守力 1.万有引力： 如图示，质点 M 和 m 间有万有引力作用。认为 M 静止， 且选 M 为原点，则 M 对 m 的万有引力为： r r GMm f ˆ 2 = − 。 一对万有引力的功： r r r GMm W f r ˆ d d 2 (2) (1) (2) (1) 12 = − = 对 r r r GMm r d 2 1 2 = − 2 1 r GMm r GMm = − f (2) (1 ) L2 L1 r • m2 d r L=L1+L2 • m1 (2) ^ · d r dr =r·d r × × r m (1) r2 r1 r ^ M f ·
上式表明,一对万有引力的功与路径无关。所以万有引 力是保守力。实际上,任何中心力f()都是保守力。 2弹力:f=-k(一维运动时) x一对自然长度的增加量, k一弹簧的劲度。 3.重力:p=mg 需要指明的是,严格地讲,重力并不是地球表面附近的 万有引力。在第二章中已经指出,重力是地球表面附近的万 有引力和惯性离心力的合力,在重力加速度g中已经考虑了惯 性离心力的贡献 非保守力 作功与路径有关的力称为非保守力。例如: 摩擦力(耗散力):一对滑动摩擦力作功恒为负; ·爆炸力:作功为正。 §5势能 利用保守力的功与路径无关的特点,可引入“势能”的 概念。 系统的势能 设两个以保守力相互作用的质点系统在位形(1)和(2) 分别有势能E和E2。 定义En1=En2=-AEn=W 以上定义式表明,系统由位形(1)变到位形(2)的过
上式表明，一对万有引力的功与路径无关。所以万有引 力是保守力。实际上，任何中心力 f (r)r ˆ 都是保守力。 2.弹力： f = −kxx ˆ （一维运动时） x ─ 对自然长度的增加量， k ─ 弹簧的劲度。 3.重力： p mg = 需要指明的是，严格地讲，重力并不是地球表面附近的 万有引力。在第二章中已经指出，重力是地球表面附近的万 有引力和惯性离心力的合力，在重力加速度 g 中已经考虑了惯 性离心力的贡献。 三. 非保守力 作功与路径有关的力称为非保守力。例如： ·摩擦力（耗散力）：一对滑动摩擦力作功恒为负； ·爆炸力：作功为正。 §5 势能 利用保守力的功与路径无关的特点，可引入“势能”的 概念。 一. 系统的势能 设两个以保守力相互作用的质点系统在位形（1）和（2） 分别有势能 Ep1 和 Ep2 。 定义 Ep1 Ep2 Ep W保12 − = − = 以上定义式表明，系统由位形（1）变到位形（2）的过
程中,保守内力的功等于系统势能的减少(势能增量的负值)。 若规定系统在位形(0)的势能为零,即规定Eσ=0, 则系统在位形(1)的势能为: 1)J保·dF 说明:1.势能属于相互作用的系统 2.势能不依赖于参考系的选择,但不可将势能零点的 选择与参考系的选择相混淆。 几种势能 1.万有引力势能 GMm E,(r) 令E2(∞)=0,则En(r) GMm 2.重力势能 E,(h=mgh +C 令En(0)=0,则En(h)=mgh。 3.弹性势能 E,(x)=kx+C 对自然长度的增加量, k一弹簧的劲度(倔强系数)。 令E(0)=0,则En(x)=kx2。 §6由势能求保守力
程中，保守内力的功等于系统势能的减少（势能增量的负值）。 若规定系统在位形（0）的势能为零，即规定 Ep 0 = 0 , 则系统在位形（1）的势能为： = (0) (1) 1 E f d r p 保 说明：1.势能属于相互作用的系统； 2.势能不依赖于参考系的选择，但不可将势能零点的 选择与参考系的选择相混淆。 二. 几种势能 1.万有引力势能 C r GMm E r p ( ) = − + ， 令 Ep () = 0 ，则 ( ) r GMm E r p = − 。 2.重力势能 E (h) mgh C p = + ， 令 Ep (0) = 0 ，则 Ep (h) = mgh。 3.弹性势能 2 1 ( ) 2 Ep x = kx + C ， x ─ 对自然长度的增加量， k ─ 弹簧的劲度（倔强系数）。 令 Ep (0) = 0 ，则 2 1 ( ) 2 E x kx p = 。 §6 由势能求保守力
保守力的元功 ∫保·d=-dE f候dl=-dEn ∫保:三∫保C0s6 de de (是E,在方向上的变化率若En=kx2,则2(x2)=k 这正是弹簧的弹力 通常E可以是几个坐标的函数,则 aE l 如 En=En(x,y,z),则 CE +”j 算符V≡x+j VE,称为E的梯度。 §7机械能守恒定律 功能原理
保守力的元功： l p p f l E f l E d d d d = − = − 保 保 ∴ l E f p l d d 保 = − ) d d ( 是E 在l方向上的变化率 l E p p kx kx x E kx f p = x = − ) = − 2 1 ( d d , 2 若 1 2 则 2 这正是弹簧的弹力。 通常 EP可以是几个坐标的函数，则 l E f p l 保 = − 如 E E (x, y,z) p = p ， 则 z E f y E f x E f p z p y p x , , 保 = − 保 = − 保 = − 保 （ z） z E y y E x x E f p p p ˆ ˆ ˆ = − + + = −Ep z z y y x x 算符 ˆ + ˆ + ˆ Ep 称为 EP的梯度。 §7 机械能守恒定律 一. 功能原理 dl f 保 m l f 保 l =f 保 cosθ •
对质点系有动能定理: W外+W内=Ek2-Ek1 将内力分为保守内力与非保守内力,有: W外+W内保+内非=Ek2=Ek 由保守力的功和势能增量的关系: 保内=-(En2-En) 有W 外十内保=(EA2+En2)-(E1+E 引入系统的机械能E=EA+En,有 W外+W非=E2-E1一功能原理(积分形式) dH外+dW内非=dE一功能原理(微分形式) 机械能守恒定律 由功能原理,在只有保守内力作功的情况下,系统的机 械能不变。即 过程中若dW外=O且dW内非=O,则E=常量 机械能守恒定律 需要指明,根据功能原理的微分形式,机械能守恒的条 件应是d外+dW内非=0但是实际中dW外≠0且dW非≠0而又满 足dW外+dW内非=0的情况几乎是不存在的。所以从实际出发, 机械能守恒的条件定为“只有保守内力作功”,也就是说过程 中既要求dW外=0,又要求dW内非=0
对质点系有动能定理： W外 +W内 = Ek 2 − Ek1 将内力分为保守内力与非保守内力，有： W外 +W内保 +W内非 = Ek 2 − Ek1 由保守力的功和势能增量的关系： W保内 = −（Ep2 − Ep1） 有 W外 +W内保 =（Ek 2 + Ep2）−（Ek1 + Ep1） 引入系统的机械能 E = Ek + Ep ，有： W外 +W内非 = E2 − E1 ─功能原理 （积分形式） dW外 + dW内非 = d E ─功能原理 二. 机械能守恒定律 由功能原理，在只有保守内力作功的情况下，系统的机 械能不变。即 过程中若dW外 = 0且dW内非 = 0，则E =常量 ──机械能守恒定律 需要指明，根据功能原理的微分形式，机械能守恒的条 件应是 dW外 + dW内非 = 0 。但是实际中 dW外 0 且 dW内非 0 而又满 足 dW外 + dW内非 = 0 的情况几乎是不存在的。所以从实际出发， 机械能守恒的条件定为“只有保守内力作功”，也就是说过程 中既要求 dW外 = 0 ，又要求 dW内非 = 0。 （微分形式）
如果系统内各个质点间的作用力都是保守力,那么这样 的系统称为保守系统。 个不受外界作用的系统称为孤立系统(必然有 W外=0)。显然,孤立的保守系统机械能守恒 当△E=0时,△Ek=-△E=W内保 保守内力作功是系统的势能与动能之间转化的手段和度量。 §8守恒定律的意义 自然界中许多物理量,如动量、角动量、机械能、电荷、 质量、宇称、粒子反应中的重子数、轻子数等等,都具有相 应的守恒定律。物理学特别注意守恒量和守恒定律的研究, 这是因为: 守恒定律揭示了自然界普遍的属性一对称性 对称一在某种“变换”下的不变性。 每一个守恒定律都相应于一种对称性(变换不变性) 动量守恒相应于空间平移的对称性 能量守恒相应于时间平移的对称性; 角动量守恒相应于空间转动的对称性
如果系统内各个质点间的作用力都是保守力，那么这样 的系统称为保守系统。 一个不受外界作用的系统称为孤立系统（必然有 W外 = 0 ）。显然，孤立的保守系统机械能守恒。 当E = 0时，Ek = −Ep =W内保 , 保守内力作功是系统的势能与动能之间转化的手段和度量。 §8 守恒定律的意义 自然界中许多物理量，如动量、角动量、机械能、电荷、 质量、宇称、粒子反应中的重子数、轻子数等等，都具有相 应的守恒定律。物理学特别注意守恒量和守恒定律的研究， 这是因为： 守恒定律揭示了自然界普遍的属性─对称性。 对称─在某种“变换”下的不变性。 每一个守恒定律都相应于一种对称性（变换不变性）： 动量守恒相应于空间平移的对称性； 能量守恒相应于时间平移的对称性； 角动量守恒相应于空间转动的对称性
基本要求 1.掌握功的定义及变力作功的计算方法 2.掌握保守力作功的特点及势能的概念,并会计算势能。 3.理解一对力作功的特点及其计算方法。 4.能灵活运用动能定理、功能原理解决动力学问题 5.掌握机械能守恒的条件,并能应用机械能守恒定律解决动 力学问题。 二、知识系统图 动能EK 功的定义:AAB=F·d 质点的动能定理 弹性势能En=1kx2 势能 质点系的动能定理: A保内=-(EP-EP0) 万有引力势能Ep=0物 au+a 保内 A 非保内=EK-EK0 重力势能ED=mgh 机械能守恒定律 机械能E=Ex+E 若A外+4非保内=0则E=E 功能定理:A外+4非保内=E-E 例题
一、基本要求 1. 掌握功的定义及变力作功的计算方法。 2. 掌握保守力作功的特点及势能的概念，并会计算势能。 3. 理解一对力作功的特点及其计算方法。 4. 能灵活运用动能定理、功能原理解决动力学问题。 5. 掌握机械能守恒的条件，并能应用机械能守恒定律解决动 力学问题。 二、知识系统图 例题 功的定义： = B AB A A F dr 动能 2 2 1 E mv K = 质点的动能定理： K K0 A = E − E 势能 P E ( ) P P0 A保内 = − E − E 质点系的动能定理： K K0 A外 + A保内 + A非保内 = E − E 弹性势能 2 2 1 kx p E = 万有引力势能 r Mm E p = −G 重力势能 mgh p E = 机械能 K P E = E + E 功能定理： 0 A外 + A非保内 = E − E 机械能守恒定律： 若 A外 + A非保内 = 0 则 0 E = E
