第二章波动 §1机械波的产生和传播 机械波的产生 1.产生条件:(1)波源 2)媒质 2.弹性波:机械振动在弹性媒质中的传播(如弹性绳上的波)。 弹性媒质的质元之间以弹性力相联系。 3.简谐波(SW):若媒质中的所有质元均按一定的相位传播规律 做简谐振动,此种波称简谐波。 以下我们主要讨论简谐波。 二.波的传播 1.波是振动状态的传播 以弹性绳上的横波为例(教材P44图)。由图可见: (1)媒质中各质元都只在自己的平衡位置附近振动,并未“随波 逐流”。波的传播不是媒质质元的传播 ②2)“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动(依靠质元间 的弹性力)。 (3)某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现, 这就是“波是振动状态的传播”的含义。 (4)有些质元的振动状态相同,它们称作同相点。相邻的同相点 间的距离叫做波长4,它们的相位差是2π 2.波是相位的传播 ·由于振动状态是由相位决定的,“振动状态的传播”也可说成 是“相位的传播”,即某时刻某点的相位将在较晚时刻重现于“下 游”某处 于是沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。 ,传播方向 a b
第二章 波 动 §1 机械波的产生和传播 一.机械波的产生 1.产生条件： (1)波源 (2)媒质 2.弹性波：机械振动在弹性媒质中的传播(如弹性绳上的波)。 弹性媒质的质元之间以弹性力相联系。 3.简谐波(SHW)：若媒质中的所有质元均按一定的相位传播规律 做简谐振动，此种波称简谐波。 以下我们主要讨论简谐波。 二.波的传播 1.波是振动状态的传播 以弹性绳上的横波为例(教材 P44 图)。由图可见： (1)媒质中各质元都只在自己的平衡位置附近振动，并未“随波 逐流”。波的传播不是媒质质元的传播。 (2)“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动(依靠质元间 的弹性力)。 (3)某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现， 这就是“波是振动状态的传播”的含义。 (4)有些质元的振动状态相同，它们称作同相点。相邻的同相点 间的距离叫做波长 ，它们的相位差是 2。 2.波是相位的传播 ·由于振动状态是由相位决定的，“振动状态的传播”也可说成 是“相位的传播”，即某时刻某点的相位将在较晚时刻重现于“下 游”某处。 ·于是沿波的传播方向，各质元的相位依次落后。 · · a b x x u 传播方向
图中b点比a点的相位落后 2兀)△ 即a点在t时刻的相位(或振动状态)经Δt的时间传给了与它相 距为Ax的b点,或b点在t+△t时刻的相位(或振动状态)与a 点在t时刻的情况相同(即波的传播速度) 三.波形曲线(波形图) 1.波形曲线(x曲线 5-质元的位移 x一质元平衡位置的坐标0 5x线反映某时刻t各味元位移 在空间的分布情况 (t时刻用照相机为所有庋元拍的团体相) ·波的传播在外貌上表现为波形的传播。不同时刻对应有不同 的波形曲线。每过一个周期(质元振动一次),波形向前传播一个 波长的距离。 在波形曲线上必须标明时刻t和波的传播方向。 波形曲线不仅能反映横波也能反映纵波的位移情况。 2.注意区别波形曲线和振动曲线 波形曲线:2x曲线 振动曲线:ξ—t曲线,反映某一质元的位移随t的变化 四.波的特征量 1.波长A:两相邻同相点间的距离。 波长一也即波形曲线上一个完整波形的长度,或一个振动周期 内波传过的距离
图中 b 点比 a 点的相位落后 = )x 2 ( 即 a 点在 t 时刻的相位(或振动状态)经t 的时间传给了与它相 距为x 的 b 点，或 b 点在 t +t 时刻的相位(或振动状态)与 a 点在 t 时刻的情况相同 ( t x 即波的传播速度 )。 三.波形曲线(波形图) 1.波形曲线(⎯x 曲线) －质元的位移 x－质元平衡位置的坐标 ⎯ x 曲线反映某时刻 t 各质元位移 在空间的分布情况。 (t 时刻用照相机为所有质元拍的团体相) ·波的传播在外貌上表现为波形的传播。不同时刻对应有不同 的波形曲线。每过一个周期(质元振动一次)，波形向前传播一个 波长的距离。 ·在波形曲线上必须标明时刻 t 和波的传播方向。 ·波形曲线不仅能反映横波也能反映纵波的位移情况。 2.注意区别波形曲线和振动曲线 波形曲线：⎯ x 曲线 振动曲线：⎯ t 曲线，反映某一质元的位移随 t 的变化。 四.波的特征量 1.波长：两相邻同相点间的距离。 波长—也即波形曲线上一个完整波形的长度，或一个振动周期 内波传过的距离。 o x u t
2.波的频率v即媒质质点(元)的振动频率。 波的频率一也指单位时间传过媒质中某点的波的个数。 ·通常情况下有波的频率v=波源的振动频率v 3.波速v:单位时间波所传过的距离。 T 波速u主要决定于媒质的性质和波的类型(横波、纵波)。 ·波速u又称相速度(相位传播速度)。 要注意区分波的传播速度u和媒质质元的振动速度。 五.横波和纵波 横波:质元振动方向⊥波的传播方向 纵波:质元振动方向‖波的传播方向 §2一维简谐波的表达式(波函数) 维简谐波的表达式(波函数) 讨论:沿+x方向传播的一维简谐波 (波速U,振动角频率为o) 假设:媒质无吸收(质元振幅均为A 波速矿 参考点a 任一点p d 已知:参考点a的振动表达式为 5a(t)=Acos (ot +pa) 求写:任一点p的振动表达式 比较:p点和a点的振动 其A和o均各相同 但p点比a点相位落后
2.波的频率：即媒质质点(元)的振动频率。 ·波的频率—也指单位时间传过媒质中某点的波的个数。 ·通常情况下有波的频率 = 波源的振动频率s 3.波速 u：单位时间波所传过的距离。 v T u = = ·波速 u 主要决定于媒质的性质和波的类型(横波、纵波)。 ·波速 u 又称相速度(相位传播速度)。 ·要注意区分波的传播速度 u 和媒质质元的振动速度。 五.横波和纵波 横波：质元振动方向 ⊥ 波的传播方向 纵波：质元振动方向 ‖波的传播方向 §2 一维简谐波的表达式(波函数) 一.一维简谐波的表达式(波函数) 讨论：沿+x 方向传播的一维简谐波 (波速 u，振动角频率为) 假设：媒质无吸收(质元振幅均为 A) 已知：参考点 a 的振动表达式为 a(t) = Acos(t + a) 求写：任一点 p 的振动表达式 比较: p 点和 a 点的振动 ·其 A 和 均各相同 ·但 p 点比 a 点相位落后 x · · · d o x 参考点 a 任一点 p 波速 u
2丌 (x-d) 任一点p的振动表达式为 丌 S(x, t)=Acoswt+a-(x-d) 维简谐波的表达式 它即是任一点的振动表达式,反映任一点(位置在x)在任 时刻t的位移。 此情形下波的表达式还有几种形式: 5(x, t)=Acos Lot -kx S(x, t)=Acos wt t)= Acos klut -xI 三.平面波和球面波 1.波的几何描述 波线:沿波传播方向的射线。 波面:波在同一时刻到达的各点组成的面。一个波面上各点 是同时开始振动的,具有相同的相位,波面又称同相面。 波前(波阵面):最前沿的波面。 平面波:波面是一些平行平面的波 球面波:波面是一些同心球面的波。 在各向同性的媒质中波线⊥波面。 波面 波线 平面波 球面波
( ) 2 x − d 任一点 p 的振动表达式为 ( )] 2 (x,t) = Acos[wt + a − x − d 一维简谐波的表达式 它即是任一点的振动表达式，反映任一点(位置在 x)在任一 时刻 t 的位移。 此情形下波的表达式还有几种形式： (x, t) = Acos[t - kx] ( , ) cos [ ] u x x t = A w t − (x, t) = Acosk[ut - x] 三.平面波和球面波 1.波的几何描述 ·波线：沿波传播方向的射线。 ·波面：波在同一时刻到达的各点组成的面。一个波面上各点 是同时开始振动的，具有相同的相位，波面又称同相面。 ·波前(波阵面)：最前沿的波面。 ·平面波：波面是一些平行平面的波。 ·球面波：波面是一些同心球面的波。 在各向同性的媒质中 波线 ⊥ 波面。 平面波 球面波 波线 波面
2.平面简谐波的表达式 若平面简谐波沿+x向传播,空间任一点p(x,y,z)的振动相 位只和x与t有关,而和其它空间坐标无关。所以前面讲的一维 简谐波的表达式就可以表示平面简谐波。 3.球面简谐波的表达式 设一各向同性的点波源,在各向同性媒质中向四面八方发出 球面波。 ·各点的频率仍决定于波源, 但振幅和各点到波源的距离r成反比(原因见波的能量部分) 其表达式为 2(r,)=(00)cos(t-kr) 式中A为距波源1处的振幅。 为r处的振幅,随r的增大而减小 §3波动方程和波速 本节对媒质的波动行为作动力学分析,导出连续弹性媒质 中波所遵守的运动微分方程一波动方程。 平面波波动方程 1.一般形式 此即沿x向传播的平面波的动力学方程,等号右端项的系 数即波速u的平方 前面所讲的一维简谐波的表达式就是此波动方程的解(可用代 入法检验)
2.平面简谐波的表达式 若平面简谐波沿+x 向传播，空间任一点 p(x, y, z)的振动相 位只和 x 与 t 有关，而和其它空间坐标无关。所以前面讲的一维 简谐波的表达式就可以表示平面简谐波。 3.球面简谐波的表达式 设一各向同性的点波源，在各向同性媒质中向四面八方发出 球面波。 ·各点的频率仍决定于波源， ·但振幅和各点到波源的距离 r 成反比(原因见波的能量部分)， 其表达式为 ( , ) ( )cos( ) 0 0 wt kr r A r r t = − 式中 A0为距波源 r0处的振幅。 r A0 为 r 处的振幅，随 r 的增大而减小 §3 波动方程和波速 本节对媒质的波动行为作动力学分析，导出连续弹性媒质 中波所遵守的运动微分方程⎯波动方程。 一.平面波波动方程 1.一般形式 2 2 2 2 2 x u t = ·此即沿 x 向传播的平面波的动力学方程，等号右端项的系 数即波速 u 的平方。 ·前面所讲的一维简谐波的表达式就是此波动方程的解(可用代 入法检验)
2.弹性绳上的横波 ·波动方程: as Ta n ax 波速 T-绳的初始张力 n-绳的线密度 3.固体棒中的纵波 波动方程 波速:=,P-杨氏弹性模量-体密度 F ·相应形变:长变 F ↑F切 F切 V0+△ 面积S l0+△ P 长变(拉、压) 切变 容变 4.固体中的横波
2.弹性绳上的横波 ·波动方程： 2 2 2 2 x T t = ·波速： T u = ， T -绳的初始张力 -绳的线密度 3.固体棒中的纵波 ·波动方程： 2 2 2 2 x Y t = − ·波速： Y u = ， Y -杨氏弹性模量 -体密度 ·相应形变：长变 0 l l Y S F = 4.固体中的横波 长变(拉、压) l0 l0 + l F F F 切 F 切 面积 S 切变 容变 p p p p V0+V
波动方程:ar2pax 一 波速:l G-切变模量 G<Y,固体中u横波<L纵波 相应形变:切变<=G0 固体棒中纵波的波动方程(推导) 思路:·由胡克定律(应力、应变关系 由牛顿第二定律 某截面处的应力、应变关系 x士△x 自由状态 x截面 x+△x截面 t时刻8 )5(x+△x,0 在棒上取长为Δx的一小段质元, κ时刻,x处截面的位移:5(x,t)x+△x处截面的位移:2(x△x, ·波引起的△x段的平均应变 (x+△x,t)-2(x,)
·波动方程： 2 2 2 2 x G t = ·波速： G u = ， G -切变模量 ∵ Ｇ <Ｙ，固体中 u 横波< u 纵波 ·相应形变：切变 G S F = 二.固体棒中纵波的波动方程(推导) 思路：·由胡克定律(应力、应变关系) ·由牛顿第二定律 1.某截面处的应力、应变关系 在棒上取长为x 的一小段质元， ·t 时刻，x 处截面的位移：(x, t)x +x 处截面的位移：(x+x, t) ·波引起的x 段的平均应变： x x x t x t ( + , ) − ( , ) x 自由状态 · o · · x x + x x t 时刻 (x,t) (x+x, t) x 截面 x+x 截面
当Δx→>0时,得x处截面t时刻的应变 为 F(,t) x处截面的应力为 S 由胡克定律有 x处截面的应力、应变关系 F yas 2.波动方程 2 ○。 截面Sx1截面5x,0 截面 在棒上取质元Δx,其质心位移为(x,t) 由牛顿定律有, SA ·将前述应力、应变结果代入有
·当x→0 时，得 x 处截面 t 时刻的应变 为 x ·x 处截面的应力为 S F(x,t) ·由胡克定律有 x 处截面的应力 、应变关系 x Y S F = 2.波动方程 ·在棒上取质元x，其质心位移为(x, t) ·由牛顿定律有， 2 2 1 2 ( ) F F t S x = − x S F S F t − = 2 1 2 2 ·将前述应力、应变结果代入有 x 2 x · x o ·x1 ·x · (x, t) F1 F2 截面 S x1 截面 x2 截面 ··
as 令△x→)0,并取极限即得所求波动方程 Y as §4波的能量 前已讲:波是振动状态的传播相位的传播,外观上有波形在 传播。 现讨论:随着波的传播能量也在传播。 ·对于“流动着”的能量,要由能量密和能流密度两个概念来 描述。 弹性波的能量,能量密度 波在弹性媒质中传播时,各质元都在振动。 ·对一块弹性媒质, 因振动→有振动动能 因形变→>有形变势能, 两者之和称此媒质中弹性波的能量。 (一)弹性波的能量密度 1.动能密度 取细长棒上质元Δx,其动能为 S△x( ·动能密度ck S△x as
x x x Y t − = 2 1 2 2 ( ) ( ) ·令x→0，并取极限即得所求波动方程 2 2 2 2 x Y t = §4 波的能量 ·前已讲：波是振动状态的传播相位的传播，外观上有波形在 传播。 ·现讨论：随着波的传播 能量也在传播。 ·对于“流动着”的能量，要由能量密和能流密度两个概念来 描述。 一.弹性波的能量,能量密度 波在弹性媒质中传播时，各质元都在振动。 ·对一块弹性媒质， 因振动 → 有振动动能； 因形变 → 有形变势能， 两者之和称此媒质中弹性波的能量。 (一)弹性波的能量密度 1.动能密度 ·取细长棒上质元 x，其动能为 2 2 ( ) 2 1 2 1 t W mV S x k = = ·动能密度 S x Wk k = 2 ( ) 2 1 t wk =
2.势能密度 考虑一棒的长变, 棒长:1,截面:S ·两端拉力:由0→>F 相应形变:增至Δl,形变∝拉力。 拉力作功:F△!,它等于棒形变Δl时的弹性势能。 势能密度: 棒中有纵波时,各小段反复地拉、压,某时某地的w由当时 当地的应力和应变决定。由胡克定律有, 3.能量密度 ()2+Y()2 (二)平面简谐波的能量密度 设沿x轴传播的平面简谐波为 t)=Acos ot-kx 1.能量密度 可得 Wx=poa sin(ot-kx 〃2Asn(ot-kx W lE=wk+wp=pa A sin(at-kx) (计算时利用了 Y 和2=)
2.势能密度 考虑一棒的长变， ·棒长：l ，截面：S ·两端拉力：由 0 → F ·相应形变：增至l，形变 拉力。 ·拉力作功： Fl 2 1 ， 它等于棒形变l 时的弹性势能。 ·势能密度： ( )( ) 2 1 ( ) 2 1 l l S F Sl F l p = = ·棒中有纵波时，各小段反复地拉、压，某时某地的 wp由当时 当地的应力和应变决定。由胡克定律有， 2 ( ) 2 1 x wp Y = 3.能量密度 2 2 k p ) x Y( 2 1 ) t ( 2 1 w w + = + = w能 (二)平面简谐波的能量密度 ·设沿 x 轴传播的平面简谐波为 (x, t) = Acos(t - kx) 1.能量密度 ·可得 A sin ( t kx) 2 1 w 2 2 2 k = − A sin ( t kx) 2 1 w 2 2 p = − w 能 = wk+wp = 2A 2 sin2 (t - kx) 2 u k 2 2 = 和 u 2 = Y ( 计算时利用了 )