《大学物理》第三章 动量与角动量

第三章动量与角动量 牛顿定律是瞬时的规律。但在有些问题中,如:碰撞(宏观)、 散射(微观)…我们往往只关心过程中力的效果,即只关心始末 态间的关系,对过程的细节不感兴趣;而有些问题我们甚至尚弄 不清楚过程的细节 作为一个过程,我们关心的是力对时间和空间的积累效应。 力在时间平动→冲量,改变动量 上的积累 转动→冲量矩,改变角动量 力在空间上的积累→作功,改变动能 §1冲量,动量, 质点动量定理 定义:力的冲量= Fdt 质点动量p=m 由 d(mv) d dt dt 有 d=Fdt=d一动量定理(微分形式) 7=Fdt=p2-一动量定理(积分形式) Fd 平均冲力F= △t 达地面后,以同样速率反弹,接触地面时小的高度下落,到 [例]已知:一篮球质量m=0.58kg,从h=2 0.019s。 求:篮球对地面的平均冲力F球对地 解:篮球到达地面的速率为: V=√2gh=√2×980×2=626ms, 篮球接触地面前后动量改变(大小)为: Ap=2m 由动量定理有 F地对球·△t=4p=2mN 由牛顿第三定律有 风 F风对帆 横 F帆对风

第三章 动量与角动量 牛顿定律是瞬时的规律。但在有些问题中，如：碰撞（宏观）、 散射（微观）…我们往往只关心过程中力的效果，即只关心始末 态间的关系，对过程的细节不感兴趣；而有些问题我们甚至尚弄 不清楚过程的细节。 作为一个过程，我们关心的是力对时间和空间的积累效应。      转动 角动量 平动 动量 冲量矩，改变 冲量，改变 力在空间上的积累  作功，改变动能 §1 冲量，动量， 质点动量定理 定义：力的冲量  = 2 1 d t t I F t   质点动量 v   p = m 由 t p t m F d d d d( v)    = = 有 I F t p    d = d = d ─ 动量定理(微分形式) d 2 1 2 1 I F t p p t t     = = −  ─ 动量定理（积分形式） 平均冲力 t p t t F t F t t   = − =     2 1 2 1 d [例]已知：一篮球质量m = 0.58kg，从h = 2.0m的高度下落，到 达地面后，以同样速率反弹，接触地面时间 t = 0.019s。 求：篮球对地面的平均冲力 F 球对地 解：篮球到达地面的速率为： v = 2gh = 29.802 = 6.26m/s ， 篮球接触地面前后动量改变（大小）为： p = 2mv 由动量定理有： F 地对球  t = p = 2mv 由牛顿第三定律有： 力在时间 上的积累 帆 1 2 F帆对风 1 2 Δ 风 F 风对帆 F 横 F

球对地=F地对球 2m2×0.58×6.26 0.019 3.82×1032N 逆风行舟的原理如下图所示 §2质点系动量定理 对于质点系,设:F为第 i个质点受的合外力,f为第i Fi方 个质点受第j个质点的内力。 对第i个质点:(F+∑f)dt=dp 对质点系:∑(F+∑f)dt=∑dp 由牛顿第三定律有:∑∑f=0 令∑F=F,∑p=P 则Fdt=d1或E、dP dt 质点系动量定理(微分形式) 积分得 F·dt=P2-P 质点系动量定理(积分形式)

F 球对地 = F 地对球 3.82 10 N 0.019 2 v 2 0.58 6.26 2 =    =  = t m 逆风行舟的原理如下图所示： §2 质点系动量定理 对于质点系，设： Fi  为第 i 个质点受的合外力， ij f  为第 i 个质点受第 j 个质点的内力。 对第 i 个质点： i j i Fi f ij t p    +  d = d  （ ） 对质点系：  +  =  i  i i j i i ij F f t p    ( ）d d 由牛顿第三定律有：  = i ji ij f 0  令 F F p P i i i i      = 外 ，  = 则 F t P   外 d = d 或 t P F d d   外 = ──质点系动量定理（微分形式） 积分得 2 1 2 1 F dt P P t t     = −  外 ──质点系动量定理（积分形式） fi j · · · · · · · i j Fi Pi fj i ·

质点系动量定理处理问题可避开内力,较方便。 §3动量守恒定律 由质点系动量定理知,在一过程中,若质点系所受合外力为 零,则质点系的总动量不随时间改变。这就是质点系的动量守恒 定律。即 若F外=0,则P=常量 几点说明: 1.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 2.在牛顿力学中,因为力与惯性系的选择无关,故动量若在 某一惯性系中守恒,则在其它任何惯性系中均守恒(这样的结论 并非对所有守恒定律都适用,能否适用要看其守恒条件的成立是 否不依赖于惯性系的选择)。 3.若某个方向上合外力为零,则该方向上的分动量守恒,尽管 总动量可能并不守恒 4在一些实际问题中,当外力<内力,且作用时间极短时(如 两物体的碰撞),往往可以略去外力的冲量,而认为动量守恒。 5.在牛顿力学的理论体系中,动量守恒定律是牛顿定律的推 论。但动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本的定律,它在 宏观和微观领域、低速和高速范围均适用。 §4质心 质心的概念和质心位置的确定 在研究质点系的运动时,通常引入质量中心(简称质心)的 概念。 如图示,设质心C的位矢为,它的定义式如下: ∑mj m=∑m) F是质点位矢以质量为权重的平 均值

质点系动量定理处理问题可避开内力，较方便。 §3 动量守恒定律 由质点系动量定理知，在一过程中，若质点系所受合外力为 零，则质点系的总动量不随时间改变。这就是质点系的动量守恒 定律。即 若F外 = ，则 P =常量   0 几点说明： 1.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 2.在牛顿力学中，因为力与惯性系的选择无关，故动量若在 某一惯性系中守恒，则在其它任何惯性系中均守恒（这样的结论 并非对所有守恒定律都适用，能否适用要看其守恒条件的成立是 否不依赖于惯性系的选择）。 3.若某个方向上合外力为零，则该方向上的分动量守恒，尽管 总动量可能并不守恒。 4.在一些实际问题中，当外力<<内力，且作用时间极短时（如 两物体的碰撞），往往可以略去外力的冲量，而认为动量守恒。 5. 在牛顿力学的理论体系中，动量守恒定律是牛顿定律的推 论。但动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本的定律，它在 宏观和微观领域、低速和高速范围均适用。 §4 质心 一. 质心的概念和质心位置的确定 在研究质点系的运动时，通常引入质量中心（简称质心）的 概念。 如图示，设质心 C 的位矢为 c r  ，它的定义式如下： m m r iri C =   （ m = mi ） C r  是质点位矢以质量为权重的平 均值。 rC z · · · · · · · · C× m i ri y x O

x m, xi, yo ∑my,∑m三 二.几种系统的质心 ·两质点系统 1 n 质心位置满足关系式(自己推导):x d n C ·质量连续体 rdm rc xdm 均匀的杆、圆盘、圆环和球的质心就是其几何中心。 小线度物体(其上各处g相等)质心和重心(重力合力的作 用点)是重合的。 [例]如图示,从半径为R的均质圆盘上挖掉一块半径为r的小圆 盘,两圆盘中心O和0′相距为d,且(d+r)<R。 求:挖掉小圆盘后,该系统的质心坐标。 解:由对称性分析,质心C应在x轴上。把该系统视为在图中 虚线位置挖掉小圆盘O后剩余部 分(质心在O)和在原处小圆盘O"的 组合。令σ为质量的面密度,则质 心坐标为 d·o·m2+0 TR (R/r)-1 §5质心运动定理 质心运动定理 质心运动的速度为

m m x x i i C = ， m m y y i i C = ， m m z z i i C = 二. 几种系统的质心 ·两质点系统 质心位置满足关系式（自己推导）： m1 r1 = m2 r2 ·质量连续体 m r m rC  = d   m x m xC  = d ，… ·均匀的杆、圆盘、圆环和球的质心就是其几何中心。 ·小线度物体（其上各处 g  相等）质心和重心（重力合力的作 用点）是重合的。 [例] 如图示，从半径为 R 的均质圆盘上挖掉一块半径为 r 的小圆 盘，两圆盘中心 O 和 O′相距为 d，且（d + r）< R 。 求：挖掉小圆盘后，该系统的质心坐标。 解：由对称性分析，质心 C 应在 x 轴上。把该系统视为在图中 虚线位置挖掉小圆盘 O 后剩余部 分（质心在 O）和在原处小圆盘 O 的 组合。令  为质量的面密度，则质 心坐标为： 2 2 2 0 R r d r xC        −  −   + = ( / ) 1 2 − = − R r d §5 质心运动定理 一. 质心运动定理 质心运动的速度为： · m1 r1 C× r2 · m2 r × rC dm C O m z x y C d x y O · O′ d xC O″ r R r

d dr ∑m ∑m 由此可得 mv C m v 质点系的总动量 V 由 F-dp d =(mv)=m=, dt dt 有 外=mac一质心运动定理 由质心运动定理知,质心运动可看成是把质量和力都集中在 质心的一个质点的运动。 质心(参考)系 1.质心系 研究质点系运动常用质心系,它是相对于一个惯性系作平动 的参考系,质心在其中静止。简言之,质心系是固结在质心上的 平动参考系。 质心系不一定是惯性系,只有合外力为零时质心系才是惯性 系 质点系的复杂运动通常可分解为 质点系整体随质心的运动; 各质点相对于质心的运动。 前者即讨论质心的运动,后者就是在质心系中考察质点系的 运动。这样处理问题通常比较方便,在讨论天体运动及碰撞等问 题时经常用到。 2.质心系的基本特征 质心系中系统动量 ∑m=C∑m=0 质心系是零动量参考系。 若系统只有两个质点,则它们在其质心系中总是具有相反的 动量,如图示的两粒子碰撞。 miD m220 1D1

m m m t r m t r i i i i C C   = = = v d d d d v     由此可得 =  i mvC mi vi   质点系的总动量 P m C v   = 由 t m m t t P F C C d d v ( v ) d d d d     外 = = = 有 F maC   外 = ─质心运动定理 由质心运动定理知，质心运动可看成是把质量和力都集中在 质心的一个质点的运动。 二. 质心（参考）系 1.质心系 研究质点系运动常用质心系，它是相对于一个惯性系作平动 的参考系，质心在其中静止。简言之，质心系是固结在质心上的 平动参考系。 质心系不一定是惯性系，只有合外力为零时质心系才是惯性 系。 质点系的复杂运动通常可分解为： 质点系整体随质心的运动； 各质点相对于质心的运动 。 前者即讨论质心的运动，后者就是在质心系中考察质点系的 运动。这样处理问题通常比较方便，在讨论天体运动及碰撞等问 题时经常用到。 2.质心系的基本特征 质心系中系统动量： v ( )v 0   =   C =   mi i mi ， 质心系是零动量参考系。 若系统只有两个质点，则它们在其质心系中总是具有相反的 动量，如图示的两粒子碰撞。 · · · · · · · · C× mi vC vi rC ri z y x O ·· m11  m110  m220  m22 

§6质点的角动量 质点的角动量 若质点m在某时刻的动量为p=m,该时刻质点对某定点 0的矢径为r,则此时刻质 点m对固定点O的角动量定 义为: L=产×p=x(mv) L单位:kg:m/s或Js 质点作匀速率圆周运动时,角动量的大小、方向均不变。 R R 注意:同一质点相对于不同的点,角动量可以不同。在说明 质点的角动量时,必须指明是对哪个点而言的。 质点的角动量定理,力矩 现在讨论质点对惯性系中某固定点的角动量的时间变化率和 什么因素有关 由角动量定义L=F×p,有:

§6 质点的角动量 一. 质点的角动量 若质点 m 在某时刻的动量为 v   p = m ，该时刻质点对某定点 O 的矢径为 r  ，则此时刻质 点 m 对固定点 O 的角动量定 义为： ( v)      L = r  p = r  m L  大小： L = rpsin = rmvsin L 单位： kgm 2 /s 或 Js ·质点作匀速率圆周运动时，角动量的大小、方向均不变。 L = mvR 注意：同一质点相对于不同的点，角动量可以不同。在说明 质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。 二. 质点的角动量定理，力矩 现在讨论质点对惯性系中某固定点的角动量的时间变化率和 什么因素有关。 由角动量定义 L r p    =  ，有： R L  • m ·O •  m O L p r · 

dl d dt dt dr p+rx d p dt vxml+rup 定义M=F×F为力F对固定点0的力矩,如图示,力矩的大小 r6= sina称力臂 质点角动量定理的微分形式 dl M=d或=M山 若力矩作用一段有限时间,则有质点角动量定理的积分形式 Mdt=L rMt称冲量矩,它反映在→t2一段时间内力矩的时间积累 作用。 三.质点对轴的角动量 1.力对轴的力矩 力F对O点的力矩为M=F×F,将 对点的力矩M向轴(例如z轴) 投影,得 M=M·2 平面⊥ (7×F)·2 (×F1)2 F r sina

r F t p m r t p p r t r r p t t L              =  =  +  =  +  =  d d v v d d d d ( ) d d d d 定义 M r F    =  为力 F  对固定点 O 的力矩，如图示，力矩的大小： M = rFsin = r0F ， r0 = rsin 称力臂。 质点角动量定理的微分形式： t L M d d   = 或 d L M dt   = 若力矩作用一段有限时间，则有质点角动量定理的积分形式： d 2 1 2 1 M t L L t t     = −   2 1 t t Mdt  称冲量矩，它反映在 1 2 t →t 一段时间内力矩的时间积累 作用。 三. 质点对轴的角动量 1.力对轴的力矩 力 F  对 O 点的力矩为 M r F    =  ，将 对点的力矩 M  向轴（例如 z 轴） 投影，得： sin ( ) ˆ ( ) ˆ ˆ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ = =   =   =  F r r F z r F z M M z z      z F F ⊥ r⊥  r O M M z r⊥sin 平面 ⊥ z · 轴 F  M r r0 ·O m •

上式表明:力对某点的力矩在过此点的某轴上的投影即为力 对该轴的力矩。 2.质点对轴的角动量 将对O点的角动量L=产×p对轴 (例如z轴)投影,得: r⊥Sln L2=(×p1)·2 P,r sin B 质点对某点的角动量向过该点的某个轴的投影,就是质点对该轴 的角动量 3.对轴的角动量定理 由 L 有M.2= dL dt dL —对轴的角动量定理 §7角动量守恒定律 由角动量定理,若质点所受的合力矩为零,则质点的角动量不 随时间改变,即 若M=0,则L=常矢量 质点角动量守恒定律 F=0 M=0F过O点:中心力(如行星受中 心恒星的万有引力) (中心

上式表明：力对某点的力矩在过此点的某轴上的投影即为力 对该轴的力矩。 2.质点对轴的角动量 将对 O 点的角动量 L r p    =  对轴 （例如 z 轴）投影，得： L r p z z = (  ) ˆ ⊥ ⊥   = p⊥ r⊥ sin 质点对某点的角动量向过该点的某个轴的投影，就是质点对该轴 的角动量。 3.对轴的角动量定理 由 d d t L M   = 有 ( ˆ) d d ˆ d d ˆ L z t z t L M z =  =     即 t L M z z d d = ──对轴的角动量定理 §7 角动量守恒定律 由角动量定理，若质点所受的合力矩为零，则质点的角动量不 随时间改变，即 若M = ，则 L =常矢量   0 ──质点角动量守恒定律      = = 心恒星的万有引力） 过 点：中心力（如行星受中 0 , 0 F O F M    • S F r m  · L α （ 中 心 力） O · z p⊥ r⊥  r r⊥sin

只受中心力作用的质点对力心的角动量L=F×(m)=常矢量, 这表明 (1) my r sina=const (2)轨道在同一平面内 由角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律(书第 版111页[例2],或第二版161页例3.16)。 角动量守恒定律是物理学的基本定律之一,它不仅适用于宏 观体系,也适用于微观体系,而且在高速低速范围均适用 §8质点系的角动量 质点系角动量:L=∑L(对同一点) dl d L1)=∑ dL dt dt d t =∑(M外+M内)=M外+M 式中:M外=∑M=∑xF M=∑M内=∑Gx∑了) A-- 如图示,一对内力 f和厂n(=-n)的力矩和: 后+× ∑M内=0 d L 于是有:M外=dt (M4和L都对同一点) 质点系的角动量定理 由质点系的角动量定理,若对于某点而言,质点系所受的外 力矩之和为零,则质点系对该点的角动量不随时间改变,即:

只受中心力作用的质点对力心的角动量 = ( v) = 常矢量    L r m ， 这表明： （1） mv r sin  =const.， （2）轨道在同一平面内。 由角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律（书第一 版 111 页[例 2]，或第二版 161 页例 3.16）。 角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏 观体系，也适用于微观体系，而且在高速低速范围均适用。 §8 质点系的角动量 质点系角动量： =  i L Li   （对同一点） （ 外 内） 外 内 （ ） M M M M t L L t t L i i i i i i i        = + = + = =    d d d d d d 式中： i i i i M Mi r F     外 =  外 =    (  )  = =  j i i ij i i i M M r f     内 内 如图示，一对内力 ( ) ij ji ij f f f    和 = − 的力矩和： i ij i ji r f r f      +  = ( − ) = 0 i j ij r r f    ∴ =  = 0 i M内 Mi内   ， 于是有： t L M d d   外 = （ M L   外和 都对同一点） ──质点系的角动量定理 由质点系的角动量定理，若对于某点而言，质点系所受的外 力矩之和为零，则质点系对该点的角动量不随时间改变，即： ﹣ · · ri fi j · rj rj ri fj i · · · mi mj m1 m2 Fj Fi O ·

若M外=0,则L= const 质点系角动量守恒定律 注意:M=0与F=0是独立的,故质点系角动量守恒和动 量守恒也是相互独立的 §9质心系中的角动量定理 质心系中的角动量 设O是惯性系中的一个定点。 C是质心,同时作为质心系的坐标系原 pC 点。如图示 质点系对质心的角动量为 O系为惯性 L=∑x(mv) 质点系对O点的角动量为L=∑行x(mV), 质心对O点的角动量为LC=F×P 7×(∑m) 利用关系式 r=r+ ,∑m=0(=0) v=V+vc,∑mv=0(:vc=0) 可以证明(自己推导): L=L-Lc 上式表明:质点系对质心的角动量等于质点系对惯性系中某 固定点的角动量减去质心对该点的角动量 质点系对质心的角动量定理 由L i-元×P有: dl d (L-×P) dl dr d p dt dt

M = 0 L = const.   若 外 ，则 ──质点系角动量守恒定律 注意： M外 = 0与F外 = 0   是独立的，故质点系角动量守恒和动 量守恒也是相互独立的。 §9 质心系中的角动量定理 一. 质心系中的角动量 设 O 是惯性系中的一个定点。 C 是质心，同时作为质心系的坐标系原 点。如图示： 质点系对质心的角动量为 ( v ) i mi i L = r      ， 质点系对 O 点的角动量为 ( v ) i mi i L r    =   ， 质心对 O 点的角动量为 LC rC P    =  = C  mi C r ( )v   利用关系式： i i C r r r    = + ，  = 0 (  = 0) i i C m r r    v = v  + v  v  = 0 ( v  = 0) i i C mi i C       ， 可以证明（自己推导）： L L LC     = − 上式表明：质点系对质心的角动量等于质点系对惯性系中某 固定点的角动量减去质心对该点的角动量。 二. 质点系对质心的角动量定理： 由 L L LC L rC P        = − = −  有： t P P r t r t L L r P t t L C C C d d d d d d ( ) d d d d          = −  −  = −   × ·· x O y rC ri  ·C C i Fi ri m i O 系为惯性 系 · · · z ·