《大学物理》第五章 刚体定轴转动

第五章刚体定轴转动 刚体:任何情况下形状和体积都不改变的物体(理想化模型)。 刚体是特殊的质点系,其上各质点间的相对位置保持不变。 有关质点系的规律都可用于刚体,而且考虑到刚体的特点,规 律的表示还可较一般的质点系有所简化 §1刚体的运动 刚体的运动形式 1.平动 在运动中,如果连接刚体内任意两点的直线在各个时刻的 位置都彼此平行,则这样的运动称为刚体的平动。平动是刚体 的基本运动形式之一,刚体做平动时,可用质心或其上任何 点的运动来代表整体的运动。以前所讲过的关于质点的运动学 规律都适用于刚体的平动 2.转动 转动也是刚体的基本运动形式之一,它又可分为: 定轴转动:运动中各质元均做圆周运动,且各圆心都在同 条固定的直线(转轴)上。(本章着重讨论定轴转动) 定点转动:运动中刚体上只有一点固定不动,整个刚体绕 过该定点的某一瞬时轴线转动(如陀螺的运动)。 在动力学的处理中,通常选取质心为基点比较方便。 刚体转动的描述(运动学问题)

第五章 刚体定轴转动 刚体：任何情况下形状和体积都不改变的物体（理想化模型）。 刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变。 有关质点系的规律都可用于刚体，而且考虑到刚体的特点，规 律的表示还可较一般的质点系有所简化。 §1 刚体的运动 一. 刚体的运动形式 1.平动 在运动中，如果连接刚体内任意两点的直线在各个时刻的 位置都彼此平行，则这样的运动称为刚体的平动。平动是刚体 的基本运动形式之一，刚体做平动时，可用质心或其上任何一 点的运动来代表整体的运动。以前所讲过的关于质点的运动学 规律都适用于刚体的平动。 2.转动 转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为： 定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同 一条固定的直线（转轴）上。（本章着重讨论定轴转动） 定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕 过该定点的某一瞬时轴线转动（如陀螺的运动）。 在动力学的处理中，通常选取质心为基点比较方便。 二. 刚体转动的描述（运动学问题）

1.定点转动 (1)角量的描述 刚体绕基点O的转动,其转轴是可以改变的。为反映瞬时 轴的方向及刚体转动的快慢和转 向,引入角速度矢量o。 刚体 d 基点Q o=o d t 瞬时、 式中d是刚体绕瞬时轴转动 的无限小角位移 规定角速度的方向沿瞬时轴,且与刚体转向成右手螺旋关 系 为反映刚体角速度的变化情况,引入角加速度矢量a= 般情况下,∝并不一定沿着瞬时轴 在定轴转动的情况下,o和都只有沿固定转轴的分量, 此时可用代数量o和a来表示角速度和角加速度。设定转轴的 取向,规定转向与转轴取向成右手螺旋关系时的ω和α为正量, 反之为负量。 (2)线量和角量的关系 刚体上任意点P都在绕瞬时轴转动, P点线速度: 刚体 基点 瞬时

1.定点转动 （1）角量的描述 刚体绕基点 O 的转动，其转轴是可以改变的。为反映瞬时 轴的方向及刚体转动的快慢和转 向，引入角速度矢量   。 d t d  = =  式中 d 是刚体绕瞬时轴转动 的无限小角位移。 规定角速度的方向沿瞬时轴，且与刚体转向成右手螺旋关 系。 为反映刚体角速度的变化情况，引入角加速度矢量 d t d    = 一般情况下，   并不一定沿着瞬时轴。 在定轴转动的情况下，   和   都只有沿固定转轴的分量， 此时可用代数量  和  来表示角速度和角加速度。设定转轴的 取向，规定转向与转轴取向成右手螺旋关系时的  和  为正量， 反之为负量。 （2）线量和角量的关系 刚体上任意点 P 都在绕瞬时轴转动， P 点线速度： r r      v = ⊥ = 基点 O v • ω r r P × 瞬 时 轴 刚体 v • ω r r P 基点×O 瞬 时 轴 刚体

P点线加速度 dv d dr a xr+OX =axr+OXV dxF称作旋转加速度 ∂×ⅴ称作向轴加速度。 2.定轴转动 此时转轴固定,矢量o、c退化为 代数量。刚体上各点都绕同一轴 作圆周运动,且各点O、&都分别 相同 刚体 参考方向 riO rO d do 定轴 r=,=F dt dt 当恒定时,刚体作匀角加速转动,此时有运动学关系 O=Oo (6-60)=t+at o2-b=2a(6-6) §2刚体的定轴转动定律 把刚体看作无限多质元构成的质点系,则( n △ 刚体 定轴

P 点线加速度： v d d d d d d v           =  +  = =  +      r t r r t t a r     称作旋转加速度； v    称作向轴加速度。 2.定轴转动 此时转轴固定，矢量     、 退化为 代数量。刚体上各点都绕同一轴 作圆周运动，且各点 、 都分别 相同。 v = r⊥    ⊥ ⊥ ⊥ = = = = r t r t a a r t n d d d d v 2 当  恒定时，刚体作匀角加速转动，此时有运动学关系：        − = − − = + = + 2 ( ) 2 1 ( ) 0 2 0 2 2 0 0             t t t §2 刚体的定轴转动定律 把刚体看作无限多质元构成的质点系，则 刚体 O v P × ω,α r r 定轴 • 参 考 方 向 θ z Fi 刚体 vi O× ω,α ri ri 定轴 • z θi Δmi

dl M外=dt 对O点) dl (对轴) L=∑L=∑Amvl =C∑△m2)O 令 J=∑Mm-刚体对z轴的转动惯量 则L dl do 即 Ja一转动定律 其中M外=∑F1sinO是对z轴的外力矩和。定轴情况下, 可不写下标z,记作:M=J/a, J反映刚体的转动惯性 转动定律与牛顿第二定律相比,有 M F,/ a §3转动惯量的计算 J=∑△Mm2(分立) J=Jr2dm(连续) J由质量对轴的分布决定。 常用的几种转动惯量表示式 细圆环:Jo=mR2 R 均匀圆盘:J=mR2 CR

=   = =  = =    ⊥ ⊥ ( ) v ( ) d d ( ) d d 2 i i i i i i i i z iz z z m r L L m r z t L M O t L M 对 轴 对 点 外 外   令 =  ⊥ i z i i J m r 2 ─ 刚体对 z 轴的转动惯量 则 Lz = Jz  ， t J t L M z z z d d d d  外 = = 即 M外z = Jz ─ 转动定律 其中 =   ⊥ ⊥ i z i i i M 外 F r sin 是对 z 轴的外力矩和。定轴情况下， 可不写下标 z，记作： M = J ， J 反映刚体的转动惯性。 转动定律与牛顿第二定律相比，有 M～ F ， J ～ m ，  ～ a 。 §3 转动惯量的计算   =  =  ⊥ ⊥ m i i J r m J m r d ( ) ( ) 2 2 连续 分立 J 由质量对轴的分布决定。 一. 常用的几种转动惯量表示式 细圆环： 2 JO = mR 均匀圆盘： 2 2 1 JC = mR O R m C R m C A 2 l 2 l m

均匀细杆: 12 二.计算转动惯量的几条规律 1.对同一轴J具有可叠加性 2.平行轴定理 Jc+ md C火 平行 §4转动定律应用举例 已知:如图示,轮 R=0 定轴 绳 lkg,v=0,h=1.51 m=0 绳轮间无相对滑动,绳不可伸长 下落时间t=3s。 求:轮对O轴J=? 解:动力学关系: 对轮:T·R=小a 对 mg-T=ma(2)

均匀细杆： 2 12 1 J ml C = ， 2 3 1 J ml A = 二.计算转动惯量的几条规律 1.对同一轴 J 具有可叠加性 =  i J J 2.平行轴定理 2 J = JC + md min J J  C = §4 转动定律应用举例 已知：如图示，轮 R = 0.2m， m =1kg，vo=0，h =1.5m， 绳轮间无相对滑动，绳不可伸长， 下落时间 t =3s。 求：轮对 O 轴 J =？ 解：动力学关系： 对轮： T  R = J  (1) 对 m： mg −T = ma (2) 定轴 O · R t h m v0= 0 绳 C d m JC J 平行 ×

运动学关系: R h (1)(4)联立解得 g 1)mR 2h 分析结果:·单位对 h、m一定,J↑→t↑,合理; 若J=0,得 正确 代入数据 98×32 1)×1×0.2 2×1.5 1. 14 kg. m §5定轴转动中的功能关系 力矩的功 F 力矩的空间积累效应: dw= Fl cosa(r de de =( F. cosa·r1)d6 Mde 力矩的功= Mde 二.定轴转动动能定理 d W=Mdo=d=[Jode d t J

运动学关系： R a  = (3) 2 2 1 h = at (4) (1)~(4)联立解得 2 2 1) 2 ( mR h gt J = − 分析结果：·单位对； ·h、m 一定，J↑→t↑，合理； ·若 J = 0，得 2 2 1 h = gt ，正确。 代入数据： 2 2 2 1.14 kg m 1) 1 0.2 2 1.5 9.8 3 ( =  −     J = §5 定轴转动中的功能关系 一. 力矩的功 力矩的空间积累效应：      d ( cos )d d cos ( d ) M F r W F r = =  = ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ 力矩的功 2 1  =   W Md 二. 定轴转动动能定理    = = = 2 1 2 1 2 1 d d d d d            J t W M J 2 1 2 2 2 1 2 1 = J − J α R · G T N T =′–T mg m a  d z x ω ·  轴 r F

Ek=ja 转动动能 (可证:o2=∑Mmv2) 于是得到刚体定轴转动动能定理: W=Ek2-Ek 四.应用举例 对于包括刚体的系统,功能原理和机械能守恒定律仍成立。 [例]已知:如图示,均匀直杆质量为m,长为l,初始水平静止。 轴光滑, AO=l/4。 轴 求:杆下摆到θ角时,角 B 速度O=?轴对杆的作用力 N 解:(杆+地球)系统,只有重力作功,E守恒 初态:EA1=0,令E1=0 末态:F1 Joo, Ep2 =-mg sin 8 则 Jo@-mg sin=0 由平行轴定理J=J+md2 有J=,m2+m( 2 48

令 2 2 1 Ek = J ─ 转动动能 （可证： 2 =   v 2） 2 1 2 1 mi i J 于是得到刚体定轴转动动能定理： W = Ek2 − Ek1 四. 应用举例 对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立。 [例]已知：如图示，均匀直杆质量为 m，长为 l，初始水平静止。 轴光滑， AO = l / 4 。 求:杆下摆到  角时，角 速度  = ？轴对杆的作用力 N =  ？ 解：（杆+地球）系统，只有重力作功，E 守恒。 初态： Ek1 = 0， 令 EP1 = 0 末态： , 2 1 2 Ek 2 = JO sin 4 2 l EP = −mg 则： sin 0 2 4 1 2  −  = l JO mg (1) 由平行轴定理 2 JO = JC + md ， 有 2 2 2 48 7 ) 4 ( 12 1 ml l JO = ml + m = (2) θ · · ω 轴 O C A B l , m l /4

(1)、(2)解得: 6gsin0 7I 应用质心运动定理求轴力N N+ 7方向:- mosin+N1=ma 1方向: mg cos0+N1=ma(4) 6 sine (gn I i mg cos e 3g cos 0 C 由(3)(4)(5)(6)解得: N=-mg sing I. m 4 N,=-=mg cos0 7 8Sin6.1-=mg cos0.i

(1)、(2)解得： l g 7 6 sin 2   = 。 应用质心运动定理求轴力 N  ： N mg maC    + = mg Nl maCl l ˆ方向：− sin + = (3) mg Nt maCt t ˆ方向： cos + = (4) 2 4  l aCl = sin 7 6 = g (5) O l Ct J l l mg a   cos 4 4 4 = =  7 3g cos = (6) 由(3)(4)(5)(6)解得： sin , 7 13 Nl = mg  cos 7 4 N mg t = − N mg l mg cos t ˆ 7 4 ˆ sin 7 13 =   −    B   θC O· · A l , m θ Nl Nt N m g aCt aCl ^ l ^ ^ t ^ β O θC · · ω A B l , m Nl Nt N ^ l ^ ^ t ^

m8.√53sin2+16 B=tg tg ctg 0) 13 §6刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 现在讨论力矩对时间的积累效应。 质点系: 对点:n_dE M外dt=L2-L1 dt 对轴: M外:dt=L2:-L 刚体 L2=2o 由此得到刚体定轴转动的角动量定理: mo dt= 刚体定轴转动的角动量守恒定律: 若M外=0,则、Ja=常量. 若几个刚体组成一个刚体系,且其中各刚体都绕同一轴 转动。则在刚体系M外=0的情况下,有∑JO=cont,这时 角动量可在系统内部各刚体间传递,而却保持刚体系对转轴的 总角动量不变。 [例]如图示,已知:h,R,M=2m,b=60° 求:碰撞后的瞬刻盘的 卩tm(黏土块)

153sin 16 7 2 =   + mg N ctg ) 13 4 tg ( | | tg 1 1   − − = = l t N N §6 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 现在讨论力矩对时间的积累效应。 质点系： 对点： t L M d d   外 = ， 2 1 2 1 M dt L L t t    = −  外 对轴： z t t M z t L2z L1 2 1 d = −  外 刚体： Lz =Jz 由此得到刚体定轴转动的角动量定理： 2 1 2 1 d z z t t z M t =J − J  外 刚体定轴转动的角动量守恒定律： 若 M 外 z= 0，则 Jz = 常量. 若几个刚体组成一个刚体系，且其中各刚体都绕同一轴 转动。则在刚体系 = 0 M外z 的情况下，有  = const. iz i J  ，这时 角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的 总角动量不变。 [例] 如图示，已知：h，R，M=2m， =60 求：碰撞后的瞬刻盘的 0 =？ y m(黏土块) h P

P转到x轴时盘的 解:m下落: gh (1) 对(m+盘)系统,碰撞Δ极小,冲力远大于重 力,故重力对O轴力矩可忽略,又轴处外力对轴 的力矩为零,故系统角动量守恒 mvRcos8=JOo 又 MR2+mR2=2mR2(3) 由(1)(2)(3)得 2gh g 2R R 对(m+M+地球)系统,只有重力作功, g E守恒,令P、x重合时E=0,则: mgRsin0+=Jo 由(3)(4)(5)得

P 转到 x 轴时盘 的  =?  = ? 解：m 下落： = v 2  2 1 mgh m v = 2gh (1) 对（m +盘）系统，碰撞 t 极小，冲力远大于重 力，故重力对 O 轴力矩可忽略，又轴处外力对轴 的力矩为零，故系统角动量守恒： 0 mvRcos = J (2) 又 2 2 2 2 2 1 J = MR + mR = mR (3) 由(1)(2)(3)得：  cos 2 2 0 R gh = (4) 对（m + M +地球）系统，只有重力作功， E 守恒，令 P、x 重合时 EP = 0，则： 2 2 0 2 1 2 1 mgRsin + J = J (5) 由(3)(4)(5)得： m P h v , m mg · O M R