《大学物理》第一章 真空中的静电场

电磁学 第一章真空中的静电场 静电场一静止或低速(υ<c)电荷产生的电场 §1电荷库仑定律 电荷+ 二电荷守恒 三库仑定律 1库仑定律 q F,=k992 适用条件: 点电荷一理想模型 真空 ·电荷静止(或低速) 2国际单位制(SI)中 q一库仑(C),F一牛顿(N)r米(m ·实验定出, k=8.9880×109Nm2/C2

1 电 磁 学 第一章 真空中的静电场 静电场—静止或低速(  << c )电荷产生的电场。 §1 电荷 库仑定律 一.电荷 + - 二.电荷守恒 三.库仑定律 1.库仑定律             = r r r q q F k   2 1 2 2 适用条件： ·点电荷—理想模型 ·真空 ·电荷静止(或低速) 2.国际单位制(SI)中 ·q—库仑(C)， F—牛顿(N) r—米(ｍ) ·实验定出， k = 8.9880109 Nm2 /C2 F1 • • F2 q1 r q2

k≈9×109Nm2/C2 引入常数a,使ks1 4丌E0 ·a一真空介电常数 6。-4k =885×1012C2/Nm2 库仑定律 4兀 ()) §2电场电场强度 电场 1电荷产生电场 2电场性质 (1)力的性质:对处于电场中的其他带电体有作用力; (2)能量的性质:在电场中移动其他带电体时,电场力 要对它作功 电场强度 定义.EF q一检验电荷(电量小、线度小) 点电荷场强公式 求点电荷q源电荷)在p点(场点)产生的电场 在p点放一检验电荷qo

2 k  9109 Nm2 /C2 ·引入常数0 ，使 4 0 1  k = ·0—真空介电常数 k  4 1 0 = 0 = 8.8510-12 C2 /Nm2 ·库仑定律：             = r r r q q F o   2 1 2 2 4 1   §2 电场 电场强度 一.电场 1.电荷产生电场 2.电场性质 （1） 力的性质：对处于电场中的其他带电体有作用力； （2） 能量的性质：在电场中移动其他带电体时，电场力 要对它作功。 二.电场强度 定义： qo F E   = q0—检验电荷(电量小、线度小) 三.点电荷场强公式 ·求点电荷 q(源电荷)在 p 点(场点)产生的电场 ·在 p 点放一检验电荷 q0

·由库仑定律和场强 定义,有q受力 ggo 4T8(r p点场强E=F E 4丌E 点电荷场强公式 §3场强叠加原理电场强度的计算 场强叠加原理 源电荷q1、q、…、q、… p点放检验电荷qo,则q受力 F2+F3 p点场强E=F E=E1+E2+E3+ 场强叠加原理:电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点产生 的场强的叠加(矢量和) 空间某点的场强是空间所有电荷共同产生的

3 ·由库仑定律和场强 定义，有 q0 受力             = r r r qq F o   2 0 2 4 1  p 点场强 qo F E   =             = r r r q E o   2 4 1  ――点电荷场强公式 §3 场强叠加原理 电场强度的计算 一.场强叠加原理 ·源电荷:q1 、 q2、…、qi、… ·p 点放检验电荷 q0， 则 q0 受力      F = F1 + F2 + F3 ·p 点场强 qo F E   =      E = E1 + E2 + E3 + 场强叠加原理：电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点产生 的场强的叠加(矢量和)。 空间某点的场强是空间所有电荷共同产生的

电偶极子 电偶极子:一对靠得很近的等量异号的点电荷。 EEE 电偶极矩 P=gl 方向由-q指向+q 电偶极子在均匀电场中所受的力矩 f=gE F=-aE M-2 gE(2)sine] pAeE =PE Sine F E M=P M使得P苘O减小的方向转(使P向和E尽量一致的方向转) 三连续带电体的场强 de 点电荷场强积分法 解题步骤:

4 二.电偶极子 电偶极子：一对靠得很近的等量异号的点电荷。 l << r ·电偶极矩: P = q l 方向由 -q 指向 +q 电偶极子在均匀电场中所受的力矩 F+= qE ， F-=-qE M=2[qE(l/2) sin ] =PE sin M = P  E M 使得P向 减小的方向转(使P向和E 尽量一致的方向转)。 三.连续带电体的场强 点电荷场强积分法 解题步骤： P  F+ F- l E -q q · · · Q p • dq r dE -q q p • · • l 0 r E- E E+ ·

把Q→无限多dq 由dq→>dE(利用点电荷场强公式) 由dE→E=∫dE(利用场强叠加原理 电荷密度 体电荷密度ρ:单位体积的带电量 面电荷密度σ:单位面积的带电量 线电荷密度λ:单位长度的带电量 [例1]一半径为R、带电量为Q的均匀带 电细圆环,求其轴线上任一点的场 强 dE R d dE⊥ d 解:·把Q分成无限多dq 如图dq产生的场强为dE 由对称性分析知,所有dq产生的dE1相互抵消

5 ·把 Q → 无限多 dq ·由 dq → dE (利用点电荷场强公式) ·由 dE → E =  dE (利用场强叠加原理) 电荷密度 ·体电荷密度  ：单位体积的带电量 ·面电荷密度  ：单位面积的带电量 ·线电荷密度  ：单位长度的带电量 [例 1]一半径为 R、带电量为 Q 的均匀带 电细圆环，求其轴线上任一点的场 强。 解：·把 Q 分成无限多 dq ·如图 dq 产生的场强为 dE ·由对称性分析知，所有 dq 产生的 dE⊥相互抵消 · dq Q R r o x x  · p dE⊥ dE dE • dq dE

整个圆环产生的场强 E29(一 特例:当x>>R时,有E≈9 圆环→>点电荷 可见,点电荷并非真正的“点”。 [例2]求半径为R,面电荷密度为o的均匀带电圆盘在轴线上 任一点产生的场强。 R p dE d 注意积分元dq的取法 ·结果 E 280 (R2+x2) (1)当x“无限大”均匀带电平板

6 ·整个圆环产生的场强 3 0 2 0 || 4 ( ) 4 cos r Qx r x r dq E dE dE     = =  = =    ·特例：当 x>>R 时，有 2 4 0 r Q E   圆环 → 点电荷 可见，点电荷并非真正的“点”。 [例 2] 求半径为 R，面电荷密度为的均匀带电圆盘在轴线上 任一点产生的场强。 解: ·注意积分元 dq 的取法 ·结果：         + = − 2 1 2 2 ( ) 1 2 R x x E  o  (1)当 x << R o E   2 = 圆盘 →“无限大”均匀带电平板 R  dE · x p r o dr dq x

(2)当x>RE≈-q 2丌E07 圆盘→>点电荷 §4电通量,高斯定理 电力线 1画法 (1)电力线上某点的切向和该点场强方向一致; (2)通过垂直于E的单位面积的电力线的根数等于该点E的 大小。 2性质 (1)两条电力线不能相交 (2)电力线起自正电荷(或无穷远处)址于负电荷(或无穷远处) 电力线有头有尾,不是闭合曲线。 二电通量 1定义:通过某面积S的电通量等于通过S的电力线的条数。 (1)均匀电场,S是平面,且与电力线垂 直电通量 E ④=ES (2)均匀电场,S是平面,与电力线不垂 直 ①=ES⊥ a EScosa E

7 (2)当 x >>R 3 2 0 r q E   圆盘 → 点电荷 §4 电通量，高斯定理 一.电力线 1.画法 （1）电力线上某点的切向和该点场强方向一致； （2）通过垂直于 E 的单位面积的电力线的根数等于该点 E 的 大小。 2.性质 （1）两条电力线不能相交； （2）电力线起自正电荷(或无穷远处)止于负电荷(或无穷远处) 电力线有头有尾，不是闭合曲线。 二.电通量 1.定义：通过某面积 S 的电通量等于通过 S 的电力线的条数。 (1) 均匀电场， S 是平面，且与电力线垂 直电通量  = ES (2) 均匀电场， S 是平面，与电力线不垂 直  = ES⊥ = EScos  E S n S⊥ S E

①=E a是S的法线和电力线的夹角 面积作为矢量:大小为S方向沿法向n S=Sn (3)S是任意曲面 E E是非均匀电场 ds 把S分成无限 多dS 通过dS的通量 d④=E·dS 通过整个曲面的电通量 Φ=「EdS 2通过闭合曲面的电通量 Φ=中EdS 规定:闭合面的法线指向面外。 电力线穿出 E ds

8  = E  S ·是 S 的法线和电力线的夹角 ·面积作为矢量：大小为 S 方向沿法向 n S = S n (3)S 是任意曲面， E 是非均匀电场 ·把 S 分成无限 多 dS ·通过 dS 的通量 d = E  dS ·通过整个曲面的电通量 E d S S  =  2.通过闭合曲面的电通量 E d S S  =  ·规定：闭合面的法线指向面外。 ·电力线穿出 E  dS  S  E dS

处 a—一锐角 电通量d④>0。 电力线穿入处, a—一钝角, 电通量d④b<0。 闭合面的电通量为穿过整个闭合面的电 力线的净根数。 三高斯定理 高斯定理是静电场的一个重要定理,反映场和源的关系。 1高斯定理:真空中静电场内,通过任意团合曲面的电通量 等于该曲面所包围的电量的代数和的10倍 5ES=∑ E 2证明 ds (1)q一点电荷, S一球面 (以q为中心,半径为r) fE△=5(=)S

9 处， —锐角 电通量 d > 0。 ·电力线穿入处， —钝角， 电通量 d < 0。 ·闭合面的电通量为穿过整个闭合面的电 力线的净根数。 三.高斯定理 ·高斯定理是静电场的一个重要定理，反映场和源的关系。 1.高斯定理： 真空中静电场内，通过任意 闭合曲面 的电通量 等于该曲面所包围的电量的代数和的 1/0 倍。 0 / S E  dS = q内   2.证明 (1)q—点电荷， S—球面 (以 q 为中心，半径为 r)    = S S dS r q E dS ) 4 ( 2   0   • q dS E r S

f=4m2== 高斯定理成立 (2)q一点电荷, S一任意闭合 曲面 (包围q) E6=5E4=q/5 高斯定理成立。 电力线 (3)q一点电荷, S一任意闭合 曲面 (不包围q 进出S的电力线 电力线 的条薮相等,净通量为零, E·dS=0 高斯定理成立。 推论:对任意连续电荷分布亦正确。 三用高斯定理求电场分布 高斯定理的应用:分析静电场问题;求静电场的分布

10  = S dS r q 2 4 0 2 2 0 4 4 r r q   = ＝ 0  q = 高斯定理成立。 (2) q—点电荷， S—任意闭合 曲面 (包围 q) 0 E dS E dS q / S S  =  =        高斯定理成立。 (3) q—点电荷， S—任意闭合 曲面 (不包围 q) 进出 S的电力线 的条数相等，净通量为零， 高斯定理成立。 推论：对任意连续电荷分布亦正确。 三.用高斯定理求电场分布 ·高斯定理的应用：分析静电场问题；求静电场的分布。 • q S 电力线 • q S S 电力线    = S E dS 0  