第二章光的衍射 §Ⅰ衍射现象、惠更斯一菲涅耳原理 光的衍射 现象 衍射屏 观察屏 衍射 条纹 衍射屏 观察屏 衍射 条纹 一般地说来,上面装置中波长A~103a或更大时,就能用肉眼观
1 第二章 光的衍射 §1 衍射现象、惠更斯─菲涅耳原理 一.光的衍射 1.现象 一般地说来,上面装置中波长λ~10-3 a 或更大时,就能用肉眼观 * S 衍射屏 观察屏 a 衍射 条纹 衍射屏 观察屏 * S L L a 衍射 条纹
察到明显的衍射条纹。透过手指缝看灯,也能看到衍射条纹。 2.定义:光在传播过程中能绕过障碍物的边缘而偏离直线传播的 现象叫光的衍射。 3.分类 (1)菲涅耳衍谢 —光源和观察屏(或二者之一)离衍射屏的距离有限时的衍射。 它也称近场衍射,其衍射图形会随观察屏到衍射屏的距离而变, 情况较复杂 (2)夫琅禾费衍射——光源和观察屏都离衍射屏无限远时的衍 射。它也称远场衍射,这种衍射实际上是菲涅耳衍射的极限情形 此后我们仅讨论夫琅禾费衍射 惠更斯一菲涅耳原理 菲涅耳(1788-1827)对波动光学的贡献· 惠更斯一菲涅耳原理:波传到的任何一点都是子波的波源, 各子波在空间某点的相干叠加,就决定了该点波的强度。 该原理的数学表达式如下: a(o)k(o) r dE(p S(波前) 设初相为零
2 p dE(p) · r Q dS S(波前) 设初相为零 n · 察到明显的衍射条纹。透过手指缝看灯,也能看到衍射条纹。 2.定义:光在传播过程中能绕过障碍物的边缘而偏离直线传播的 现象叫光的衍射。 3.分类: (1)菲涅耳衍射 ──光源和观察屏(或二者之一)离衍射屏的距离有限时的衍射。 它也称近场衍射,其衍射图形会随观察屏到衍射屏的距离而变, 情况较复杂。 (2)夫琅禾费衍射──光源和观察屏都离衍射屏无限远时的衍 射。它也称远场衍射,这种衍射实际上是菲涅耳衍射的极限情形。 此后我们仅讨论夫琅禾费衍射。 二.惠更斯─菲涅耳原理 菲涅耳(1788-1827)对波动光学的贡献… 惠更斯─菲涅耳原理:波传到的任何一点都是子波的波源, 各子波在空间某点的相干叠加,就决定了该点波的强度。 该原理的数学表达式如下: dS r a Q K dE ( ) ( ) (P)
6=0,K=K 方向因子K(O)0个→K(0)↓ 6≥一,K=0 1882年以后,基尔霍夫解电磁波的波动方程,也得到了Ep 的表示式,这使得惠更斯一菲涅耳原理有了波动理论的根据。E 的计算相当复杂,下节将介绍菲涅耳提出的一种简便的分析方法 波带法,它在处理一些有对称性的问题时,既方便,物理图象 又清晰。 §2单缝的夫琅禾费衍射、半波带法 装置 缝平面透镜L 观察屏 透镜L 0 A 5 S:单色光源,光线正入射 6:衍射角,缝宽AB=a 半波带法 A→P和B→P的光程差 s=asinO ▲O=0,d=0一中央明纹(中心)
3 1882 年以后,基尔霍夫解电磁波的波动方程,也得到了 E(p) 的表示式,这使得惠更斯─菲涅耳原理有了波动理论的根据。E(p) 的计算相当复杂,下节将介绍菲涅耳提出的一种简便的分析方法 ─波带法,它在处理一些有对称性的问题时,既方便,物理图象 又清晰。 §2 单缝的夫琅禾费衍射、半波带法 一.装置 S:单色光源 , 光线正入射 :衍射角 , 缝宽 AB = a 二.半波带法 A→P 和 B→P 的光程差: = asin ▲ = 0, = 0 ─中央明纹(中心) = → = = 0 2 ( ) 0 max K K K K , , * S f f a 透镜 L 透镜 L ·p A B 缝平面 观察屏 0 δ 方向因子 K( )
个δ个 ▲当aSin6=时,可将缝分为两个“半波带” B 半波带 121 半波带 半波带 二半波带 22 光线1与1′在P点的相位差为兀, 光线2与2′在P点的相位差亦为丌,… 所以两个“半波带”上发的光在P处干涉相消形成暗纹; ▲当asin=}时,可将缝分成三个“半波带”,其中两个 相邻的半波带发的光在P处干涉相消,剩一个“半波带”发的光 在P处不被抵消,P处基本上是明纹中心 BO A当asn=2时,可分成个“带”,它发的光在P处好两相
4 → ; ▲当 asin = 时,可将缝分为两个“半波带”: 光线 1 与 1'在 P 点的相位差为 , 光线 2 与 2'在 P 点的相位差亦为 ,… 所以两个“半波带”上发的光在 P 处干涉相消形成暗纹; ▲当 2 3 asin = 时,可将缝分成三个“半波带”,其中两个 相邻的半波带发的光在 P 处干涉相消,剩一个“半波带”发的光 在 P 处不被抵消,P 处基本上是明纹中心; ▲当 a sin = 2 时,可将缝分成四个“半波带”,它们发的光在P处两两相消, a θ 1′ B 2 A 半波带 半波带 1 2′ 2 2 半波带 半波带 1 2 1′ 2′ λ λ λ a B θ A a B A θ 2 2
戒纹文。 一般情况 asinθ=±k,k=1,2,3…一暗纹 asine=2k+1)2,k=123…一明纹(中心) a sinb=o 一中央明纹(中心) θ越大,缝被分的半波带数越多,半波带面积越小,明纹的 光强也越小 半波带法虽然简便,但只能给出衍射光强分布的定性结果 三.光强 从中央往外各次极大的光强依次为:0.0472,0.0165l, 0.008310 次极大 I/lo 相对光强曲线 0.0170.047 0.047 0.017 2(a/a)-(an)0/a2(4an) 6
5 形成暗纹。 一般情况: a sin = k,k =1,2,3… ─暗纹 , 1,2,3… 2 a sin = (2k +1) k = ─明纹(中心) a sin = 0 ─中央明纹(中心) 越大,缝被分的半波带数越多,半波带面积越小,明纹的 光强也越小。 半波带法虽然简便,但只能给出衍射光强分布的定性结果。 三.光强 从中央往外各次极大的光强依次为: 0.0472I0, 0.0165I0, 0.0083I0 ∴ I 次极大 << I 主极大 -2(/a) -(/a) /a 2(/a) sin 0.047 0.017 1 I / I0 0 相对光强曲线 0.047 0.017
四.条纹宽度 1.中央明纹 角宽度:一个完整条纹两侧对透镜光心的张角。 观测屏 衍射屏透镜 △x ke △ a>>九时,sinB≈b, 中央明纹角宽度:A=20≈2 中央明纹线宽度 Ax0=2ft1≈2f=2f-∝ 衍射反比定律 2.其他明纹(次极大) 在sin≈θ时,其余明纹线宽度: ∫1 X≈
6 四.条纹宽度 1.中央明纹 角宽度:一个完整条纹两侧对透镜光心的张角。 a 时, 1 1 sin , 中央明纹角宽度: a 0 = 21 2 中央明纹线宽度: a a x f f f 0 = 2 tg1 2 1 = 2 ── 衍射反比定律 2.其他明纹(次极大) 在 sin 时,其余明纹线宽度: 0 2 1 x a f x = λ 0 1 Δx I 0 x1 x2 衍射屏 透镜 观测屏 Δx0 f
其他明纹的宽度是中央明纹宽度的一半,这是单缝衍射明纹宽度 的特征。 3.波长对条纹宽度的影响 由于Ax∝元,所以波长越长,条纹宽度越宽。当白光入射时, 除中央明纹中心外,其余各级明纹将形成彩带,且不同级亮纹间 有重叠 4.缝宽变化对条纹的影响 由Δx=Ax=∫知:缝宽越小,条纹宽度越宽 2 当2→>0时,光强曲线变为水平直线,屏幕是一片亮 当→0时,Ax→0,各级明纹向中央靠拢,密集得无法分辨, 只显出单一的明条纹,这就是单缝的几何光学像。此时光线遵从 直线传播规律。∴几何光学是波动光学在λa→>0时的极限情 形 五.干涉和衍射的联系与区别 从本质上讲,干涉和衍射都是波的相干叠加。只是干涉指的是有 限多个分立光束的相干叠加,衍射指的是无限多个子波的相干叠加, 而二者又常常同时出现在同一现象中。 六.应用举例 已知:一雷达位于路边d=15m处,射束与公路成15?角,天 线宽度a=0.20m,射束波长=30m。 求:在该雷达监视范围内公路长L=?
7 其他明纹的宽度是中央明纹宽度的一半,这是单缝衍射明纹宽度 的特征。 3.波长对条纹宽度的影响 由于 x ,所以波长越长,条纹宽度越宽。当白光入射时, 除中央明纹中心外,其余各级明纹将形成彩带,且不同级亮纹间 有重叠。 4.缝宽变化对条纹的影响 由 a x x f = = 2 1 知:缝宽越小,条纹宽度越宽。 当 → 0 a 时,光强曲线变为水平直线,屏幕是一片亮。 当 → 0 a 时, x → 0 ,各级明纹向中央靠拢,密集得无法分辨, 只显出单一的明条纹,这就是单缝的几何光学像。此时光线遵从 直线传播规律。∴几何光学是波动光学在 /a →0 时的极限情 形。 五.干涉和衍射的联系与区别 从本质上讲,干涉和衍射都是波的相干叠加。只是干涉指的是有 限多个分立光束的相干叠加,衍射指的是无限多个子波的相干叠加, 而二者又常常同时出现在同一现象中。 六.应用举例 已知:一雷达位于路边 d =15m 处,射束与公路成 15? 角,天 线宽度 a = 0.20m,射束波长 =30mm。 求:在该雷达监视范围内公路长 L = ?
B 61 15° 解:将雷达波束看成是单缝衍射的0级明纹,由 a·sin6= 有sina 230mm =015得O≈863 a020m 如图:a=15°+=2363 B=15°-61=637° L=d(ctgB-ctga)=15cg637°-ctg2363°)≈100m §3光栅衍射 光栅 1.光栅一大量等宽等间距的平行狭缝(或反射面)构成的光学 元件。从广义上理解,任何具有空间周期性的衍射屏都可叫作光 栅 2.种类:可分透射、反射两大类 透射光栅 反射光栅 我们只 历 讨论透 射光栅。 3.光栅常数
8 解 : 将 雷 达 波 束 看 成 是 单 缝 衍 射 的 0 级 明 纹 , 由 asin1 = 有 015 0 20m 30mm sin 1 . a . = = = 得 1 8.63° 如图: =15°+1 = 23.63° =15°−1 = 6.37° L = d(ctg − ctg) =15(ctg 6.37°− ctg 23.63°) 100m §3 光栅衍射 一.光栅 1.光栅—大量等宽等间距的平行狭缝(或反射面)构成的光学 元件。从广义上理解,任何具有空间周期性的衍射屏都可叫作光 栅。 2.种类:可分透射、反射两大类 我们只 讨论透 射光栅。 3.光栅常数 d a 0 15 β L θ1 反射光栅 d d 透射光栅
若透光(或反光)部分的宽度用a表示,不透光(或不反光)部分 的宽度用b表示,则 光栅常数d=a+b,它是光栅的重要参数。 普通光栅刻线为数十条/m一数千条/m 用电子束刻制冋达数万条mn(a-10μm)。 光栅是现代科技中常用的重要光学元件。 光栅衍射 1.多光束干涉 所谓多光束干涉,是指多个等光强的光束的干涉,即先不 考虑衍射对每个光束的影响,来看多束光的相干叠加。 实验装置: 缝平面G透镜L 观察屏 十 d sine 光栅常数:d,单色光正入射 明纹(主极大)条件:[sim日=±kk=0,1,2,3
9 若透光(或反光)部分的宽度用 a 表示,不透光(或不反光)部分 的宽度用 b 表示,则 光栅常数 d = a + b ,它是光栅的重要参数。 普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm, 用电子束刻制可达数万条/mm(d10 μ m −1 )。 光栅是现代科技中常用的重要光学元件。 二.光栅衍射 1.多光束干涉 所谓多光束干涉,是指多个等光强的光束的干涉,即先不 考虑衍射对每个光束的影响,来看多束光的相干叠加。 实验装置: 光栅常数: d , 单色光正入射 。 明纹(主极大)条件: d sin = k k = 0,1,2,3… o P f 缝平面 G 观察屏 透镜 L d sin d
上式称作正入射时的“光栅方程”。 设有N个缝、每个缝发的光在对应衍射角方向的P点的光 振动的振幅为Ep。则P点为庄主极大时,各相邻光相位差△ρ=±2kz。 lp∝N2E2 暗纹条件:d、ima±k (k'≠Mk,k≠0) 由主极大条件和暗纹条件可知: 所以相邻主极大间有M1个暗纹。而在两相邻暗纹间还应有 一个次极大,故相邻主极大间有M2个次极大 如M=4,在零级和一级亮纹之间,k可取1、2、3,有 个极小,分别在 1x2A32 Sin 处 4 d 4 d 4 d 3 对应的相位差为:△02x,4 光强曲线 N=4 2(/)1(a d 2//d sine 由光栅方程知,在和4,定耐:主极大的角位置就确定了, 与M的大小无关。但M大时强度向主极大集中,使条纹亮而窄
10 上式称作正入射时的“光栅方程”。 设有 N 个缝、每个缝发的光在对应衍射角 方向的 P 点的光 振动的振幅为 EP 。则 P点为主极大时,各相邻光相位差 = 2k 。 暗纹条件: N k d sin = (k Nk,k 0) 由主极大条件和暗纹条件可知: 所以相邻主极大间有 N-1 个暗纹。而在两相邻暗纹间还应有 一个次极大,故相邻主极大间有 N-2 个次极大。 如 N = 4,在零级和一级亮纹之间, k 可取 1、2、3, 有 三个极小,分别在 ( 1) ( 2) ( 3) 4 3 , 4 2 , 4 1 sin = = = = k , k , k d d d 处 对应的相位差为: 4 3 , , 2 π = , 由光栅方程知,在 d 和 一定时,主极大的角位置就确定了, 与 N 的大小无关。但 N 大时强度向主极大集中,使条纹亮而窄, 0 -2(/d) -(/d) /d 2/d I I0 sin 光强曲线 N = 4 -(/4d) /4d NEP EP 2 P 2 I P N E