《大学物理》第二章 光的衍射

第二章光的衍射 §Ⅰ衍射现象、惠更斯一菲涅耳原理 光的衍射 现象 衍射屏 观察屏 衍射 条纹 衍射屏 观察屏 衍射 条纹 一般地说来,上面装置中波长A~103a或更大时,就能用肉眼观

1 第二章 光的衍射 §1 衍射现象、惠更斯─菲涅耳原理 一.光的衍射 1.现象 一般地说来，上面装置中波长λ～10-3 a 或更大时，就能用肉眼观 * S 衍射屏 观察屏 a  衍射 条纹 衍射屏 观察屏  * S L L a 衍射 条纹

察到明显的衍射条纹。透过手指缝看灯,也能看到衍射条纹。 2.定义:光在传播过程中能绕过障碍物的边缘而偏离直线传播的 现象叫光的衍射。 3.分类 (1)菲涅耳衍谢 —光源和观察屏(或二者之一)离衍射屏的距离有限时的衍射。 它也称近场衍射,其衍射图形会随观察屏到衍射屏的距离而变, 情况较复杂 (2)夫琅禾费衍射——光源和观察屏都离衍射屏无限远时的衍 射。它也称远场衍射,这种衍射实际上是菲涅耳衍射的极限情形 此后我们仅讨论夫琅禾费衍射 惠更斯一菲涅耳原理 菲涅耳(1788-1827)对波动光学的贡献· 惠更斯一菲涅耳原理:波传到的任何一点都是子波的波源, 各子波在空间某点的相干叠加,就决定了该点波的强度。 该原理的数学表达式如下: a(o)k(o) r dE(p S(波前) 设初相为零

2 p dE(p) · r Q dS S(波前) 设初相为零 n  · 察到明显的衍射条纹。透过手指缝看灯，也能看到衍射条纹。 2.定义：光在传播过程中能绕过障碍物的边缘而偏离直线传播的 现象叫光的衍射。 3.分类： (1)菲涅耳衍射 ──光源和观察屏（或二者之一）离衍射屏的距离有限时的衍射。 它也称近场衍射，其衍射图形会随观察屏到衍射屏的距离而变， 情况较复杂。 (2)夫琅禾费衍射──光源和观察屏都离衍射屏无限远时的衍 射。它也称远场衍射，这种衍射实际上是菲涅耳衍射的极限情形。 此后我们仅讨论夫琅禾费衍射。 二.惠更斯─菲涅耳原理 菲涅耳（1788-1827）对波动光学的贡献… 惠更斯─菲涅耳原理：波传到的任何一点都是子波的波源， 各子波在空间某点的相干叠加，就决定了该点波的强度。 该原理的数学表达式如下： dS r a Q K dE ( ) ( ) (P)  

6=0,K=K 方向因子K(O)0个→K(0)↓ 6≥一,K=0 1882年以后,基尔霍夫解电磁波的波动方程,也得到了Ep 的表示式,这使得惠更斯一菲涅耳原理有了波动理论的根据。E 的计算相当复杂,下节将介绍菲涅耳提出的一种简便的分析方法 波带法,它在处理一些有对称性的问题时,既方便,物理图象 又清晰。 §2单缝的夫琅禾费衍射、半波带法 装置 缝平面透镜L 观察屏 透镜L 0 A 5 S:单色光源,光线正入射 6:衍射角,缝宽AB=a 半波带法 A→P和B→P的光程差 s=asinO ▲O=0,d=0一中央明纹(中心)

3 1882 年以后，基尔霍夫解电磁波的波动方程，也得到了 E(p) 的表示式，这使得惠更斯─菲涅耳原理有了波动理论的根据。E(p) 的计算相当复杂，下节将介绍菲涅耳提出的一种简便的分析方法 ─波带法，它在处理一些有对称性的问题时，既方便，物理图象 又清晰。 §2 单缝的夫琅禾费衍射、半波带法 一.装置 S：单色光源 ， 光线正入射  ：衍射角 , 缝宽 AB = a 二.半波带法 A→P 和 B→P 的光程差：  = asin ▲  = 0， = 0 ─中央明纹(中心)         = →  = = 0 2 ( ) 0 max K K K K ， ，       * S f f  a  透镜 L 透镜 L ·p A B 缝平面 观察屏 0 δ 方向因子 K( )

个δ个 ▲当aSin6=时,可将缝分为两个“半波带” B 半波带 121 半波带 半波带 二半波带 22 光线1与1′在P点的相位差为兀, 光线2与2′在P点的相位差亦为丌,… 所以两个“半波带”上发的光在P处干涉相消形成暗纹; ▲当asin=}时,可将缝分成三个“半波带”,其中两个 相邻的半波带发的光在P处干涉相消,剩一个“半波带”发的光 在P处不被抵消,P处基本上是明纹中心 BO A当asn=2时,可分成个“带”,它发的光在P处好两相

4  →   ； ▲当 asin =  时，可将缝分为两个“半波带”： 光线 1 与 1＇在 P 点的相位差为  ， 光线 2 与 2＇在 P 点的相位差亦为  ,… 所以两个“半波带”上发的光在 P 处干涉相消形成暗纹； ▲当   2 3 asin = 时，可将缝分成三个“半波带”，其中两个 相邻的半波带发的光在 P 处干涉相消，剩一个“半波带”发的光 在 P 处不被抵消，P 处基本上是明纹中心； ▲当 a sin = 2 时，可将缝分成四个“半波带”，它们发的光在P处两两相消， a θ 1′ B 2 A 半波带 半波带 1 2′ 2  2  半波带 半波带 1 2 1′ 2′ λ λ λ a B θ A a B A θ 2  2 

戒纹文。 一般情况 asinθ=±k,k=1,2,3…一暗纹 asine=2k+1)2,k=123…一明纹(中心) a sinb=o 一中央明纹(中心) θ越大,缝被分的半波带数越多,半波带面积越小,明纹的 光强也越小 半波带法虽然简便,但只能给出衍射光强分布的定性结果 三.光强 从中央往外各次极大的光强依次为:0.0472,0.0165l, 0.008310 次极大 I/lo 相对光强曲线 0.0170.047 0.047 0.017 2(a/a)-(an)0/a2(4an) 6

5 形成暗纹。 一般情况： a sin = k，k =1,2,3… ─暗纹 ， 1,2,3… 2 a sin = (2k +1) k =   ─明纹(中心) a sin = 0 ─中央明纹(中心)  越大，缝被分的半波带数越多，半波带面积越小，明纹的 光强也越小。 半波带法虽然简便，但只能给出衍射光强分布的定性结果。 三．光强 从中央往外各次极大的光强依次为: 0.0472I0, 0.0165I0, 0.0083I0 ∴ I 次极大 << I 主极大 -2(/a) -(/a) /a 2(/a) sin 0.047 0.017 1 I / I0 0 相对光强曲线 0.047 0.017

四.条纹宽度 1.中央明纹 角宽度:一个完整条纹两侧对透镜光心的张角。 观测屏 衍射屏透镜 △x ke △ a>>九时,sinB≈b, 中央明纹角宽度:A=20≈2 中央明纹线宽度 Ax0=2ft1≈2f=2f-∝ 衍射反比定律 2.其他明纹(次极大) 在sin≈θ时,其余明纹线宽度: ∫1 X≈

6 四.条纹宽度 1.中央明纹 角宽度:一个完整条纹两侧对透镜光心的张角。 a   时， 1 1 sin  ， 中央明纹角宽度： a   0 = 21  2 中央明纹线宽度： a a x f f f    0 = 2 tg1  2 1 = 2  ── 衍射反比定律 2.其他明纹(次极大) 在 sin   时，其余明纹线宽度： 0 2 1 x a f x  =   λ  0 1 Δx I 0 x1 x2  衍射屏 透镜 观测屏 Δx0 f

其他明纹的宽度是中央明纹宽度的一半,这是单缝衍射明纹宽度 的特征。 3.波长对条纹宽度的影响 由于Ax∝元,所以波长越长,条纹宽度越宽。当白光入射时, 除中央明纹中心外,其余各级明纹将形成彩带,且不同级亮纹间 有重叠 4.缝宽变化对条纹的影响 由Δx=Ax=∫知:缝宽越小,条纹宽度越宽 2 当2→>0时,光强曲线变为水平直线,屏幕是一片亮 当→0时,Ax→0,各级明纹向中央靠拢,密集得无法分辨, 只显出单一的明条纹,这就是单缝的几何光学像。此时光线遵从 直线传播规律。∴几何光学是波动光学在λa→>0时的极限情 形 五.干涉和衍射的联系与区别 从本质上讲,干涉和衍射都是波的相干叠加。只是干涉指的是有 限多个分立光束的相干叠加,衍射指的是无限多个子波的相干叠加, 而二者又常常同时出现在同一现象中。 六.应用举例 已知:一雷达位于路边d=15m处,射束与公路成15?角,天 线宽度a=0.20m,射束波长=30m。 求:在该雷达监视范围内公路长L=?

7 其他明纹的宽度是中央明纹宽度的一半，这是单缝衍射明纹宽度 的特征。 3.波长对条纹宽度的影响 由于 x   ，所以波长越长，条纹宽度越宽。当白光入射时， 除中央明纹中心外，其余各级明纹将形成彩带，且不同级亮纹间 有重叠。 4.缝宽变化对条纹的影响 由 a x x f   =  = 2 1 知：缝宽越小，条纹宽度越宽。 当 → 0  a 时，光强曲线变为水平直线，屏幕是一片亮。 当 → 0 a  时， x → 0 ，各级明纹向中央靠拢，密集得无法分辨， 只显出单一的明条纹，这就是单缝的几何光学像。此时光线遵从 直线传播规律。∴几何光学是波动光学在 /a →0 时的极限情 形。 五.干涉和衍射的联系与区别 从本质上讲，干涉和衍射都是波的相干叠加。只是干涉指的是有 限多个分立光束的相干叠加，衍射指的是无限多个子波的相干叠加， 而二者又常常同时出现在同一现象中。 六.应用举例 已知：一雷达位于路边 d =15m 处，射束与公路成 15? 角，天 线宽度 a = 0.20m，射束波长  =30mm。 求：在该雷达监视范围内公路长 L = ?

B 61 15° 解:将雷达波束看成是单缝衍射的0级明纹,由 a·sin6= 有sina 230mm =015得O≈863 a020m 如图:a=15°+=2363 B=15°-61=637° L=d(ctgB-ctga)=15cg637°-ctg2363°)≈100m §3光栅衍射 光栅 1.光栅一大量等宽等间距的平行狭缝(或反射面)构成的光学 元件。从广义上理解,任何具有空间周期性的衍射屏都可叫作光 栅 2.种类:可分透射、反射两大类 透射光栅 反射光栅 我们只 历 讨论透 射光栅。 3.光栅常数

8 解 ： 将 雷 达 波 束 看 成 是 单 缝 衍 射 的 0 级 明 纹 ， 由 asin1 =  有 015 0 20m 30mm sin 1 . a . = = =   得 1  8.63° 如图：  =15°+1 = 23.63°  =15°−1 = 6.37°  L = d(ctg  − ctg) =15(ctg 6.37°− ctg 23.63°) 100m §3 光栅衍射 一.光栅 1.光栅—大量等宽等间距的平行狭缝（或反射面）构成的光学 元件。从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫作光 栅。 2.种类：可分透射、反射两大类 我们只 讨论透 射光栅。 3.光栅常数 d a 0 15 β L  θ1 反射光栅 d d 透射光栅

若透光(或反光)部分的宽度用a表示,不透光(或不反光)部分 的宽度用b表示,则 光栅常数d=a+b,它是光栅的重要参数。 普通光栅刻线为数十条/m一数千条/m 用电子束刻制冋达数万条mn(a-10μm)。 光栅是现代科技中常用的重要光学元件。 光栅衍射 1.多光束干涉 所谓多光束干涉,是指多个等光强的光束的干涉,即先不 考虑衍射对每个光束的影响,来看多束光的相干叠加。 实验装置: 缝平面G透镜L 观察屏 十 d sine 光栅常数:d,单色光正入射 明纹(主极大)条件:[sim日=±kk=0,1,2,3

9 若透光（或反光）部分的宽度用 a 表示，不透光（或不反光）部分 的宽度用 b 表示，则 光栅常数 d = a + b ，它是光栅的重要参数。 普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm， 用电子束刻制可达数万条/mm(d10 μ m −1 )。 光栅是现代科技中常用的重要光学元件。 二.光栅衍射 1.多光束干涉 所谓多光束干涉，是指多个等光强的光束的干涉，即先不 考虑衍射对每个光束的影响，来看多束光的相干叠加。 实验装置： 光栅常数: d , 单色光正入射 。 明纹（主极大）条件： d sin = k k = 0，1，2，3… o P f 缝平面 G 观察屏 透镜 L   d sin d 

上式称作正入射时的“光栅方程”。 设有N个缝、每个缝发的光在对应衍射角方向的P点的光 振动的振幅为Ep。则P点为庄主极大时,各相邻光相位差△ρ=±2kz。 lp∝N2E2 暗纹条件:d、ima±k (k'≠Mk,k≠0) 由主极大条件和暗纹条件可知: 所以相邻主极大间有M1个暗纹。而在两相邻暗纹间还应有 一个次极大,故相邻主极大间有M2个次极大 如M=4,在零级和一级亮纹之间,k可取1、2、3,有 个极小,分别在 1x2A32 Sin 处 4 d 4 d 4 d 3 对应的相位差为:△02x,4 光强曲线 N=4 2(/)1(a d 2//d sine 由光栅方程知,在和4,定耐:主极大的角位置就确定了, 与M的大小无关。但M大时强度向主极大集中,使条纹亮而窄

10 上式称作正入射时的“光栅方程”。 设有 N 个缝、每个缝发的光在对应衍射角  方向的 P 点的光 振动的振幅为 EP 。则 P点为主极大时，各相邻光相位差  = 2k 。 暗纹条件：   N k d sin    = (k  Nk,k  0) 由主极大条件和暗纹条件可知： 所以相邻主极大间有 N-1 个暗纹。而在两相邻暗纹间还应有 一个次极大，故相邻主极大间有 N-2 个次极大。 如 N = 4，在零级和一级亮纹之间， k 可取 1、2、3， 有 三个极小，分别在 ( 1) ( 2) ( 3) 4 3 , 4 2 , 4 1 sin  =  =  = =    k , k , k d d d 处     对应的相位差为： 4 3 , , 2 π    = ， 由光栅方程知，在 d 和  一定时，主极大的角位置就确定了， 与 N 的大小无关。但 N 大时强度向主极大集中，使条纹亮而窄， 0 -2(/d) -(/d) /d 2/d I I0 sin 光强曲线 N = 4 -(/4d) /4d NEP EP 2 P 2 I P  N E